Nov 27

Matemáticas contra la viruela

Daniel Bernoulli 001.jpg


«Daniel Bernoulli 001» por Johann Jakob HaidHere. Disponible bajo la licencia Dominio público vía Wikimedia Commons.

La epidemiología es la parte de la medicina que estudia el desarrollo epidémico y la incidencia de las enfermedades infecciosas en la población. Hoy viajaremos hasta el siglo XVIII, a uno de los primeros intentos de los matemáticos en poner sus herramientas al servicio del estudio de las epidemias.

Durante el siglo XVIII las epidemias de viruela asolaron Europa. En 1760 la viruela era la causa principal de mortalidad infantil en el viejo continente. La historia nos cuenta cómo lady Montagu se esforzó por extender la práctica de la inoculación, que había visto en Turquía, para salvar vidas frente a la viruela. Durante su estancia en Turquía, junto a su marido, nombrado embajador, lady Montagu, asistió a la práctica de la inoculación que realizaban las madres como profilaxis contra la viruela. Esperanzada con los resultados vividos en la lucha contra la viruela por el Imperio Turco, decidió divulgar la inoculación, luchando contra los prejuicios que había contra tal práctica.

La disputa entre los partidarios y contrarios (por ejemplo, Voltaire fue un ardiente defensor en Francia) llegó a plantear la necesidad de estudiar si era beneficiosa o no. Para tal empeño, Maupertuis, como miembro de la Academia Real de Ciencias de París, solicitó a Daniel Bernoulli, en aquellos momento un reconocido gran geómetra, un estudio que decantase la balanza de la inoculación contra la viruela.

Posiblemente sea el trabajo de 1760 de D. Bernoulli el primero en proponer un modelo epidemiológico. En el trabajo, Daniel, emplea las escasas ayudas que el siglo podía ofrecerle. El mismo reconoce que con mayor información los resultados serían más acertados. Considera que el número personas que no han tenido la viruela, $s$, de una edad $x$, dependen del número de supervivientes, $y$, mediante la relación

$$s=\frac{8}{7e^{\frac{x}{8}}+1}y.$$

Una vez planteada esta fórmula, estudia lo que ocurriría si todos fuesen inoculados al nacer y, como consecuencia, la viruela fuese erradicada como causa de muerte. Daniel Bernoulli concluye que un recién nacido tendría una esperanza de vida con una ganancia de 3 años y 1 mes. Esto sería suficiente para decantar la balanza por la inoculación, pero Daniel Bernoulli sabe de las precarias tablas que le han ofrecido para obtener esos datos. Analiza el riesgo de la inoculación y obtiene una fórmula para el número de supervivientes en un estado no inoculado, para cada edad,

$$z=\frac{me^{\frac{x}{n}}}{1+(m-1)e^{\frac{x}{n}}}y,$$

siendo $n$, el número de individuos que no hayan tenido viruela en el plazo de un año, y $m$ el número de individuos que enferman de viruela en el mismo año.

Con todo, D. Bernoulli, no se atreve a decantar claramente la balanza, y, aunque considera que la inoculación es muy útil, reconoce que el problema no es el mismo para particulares que para los Estados: la decisión, inoculación si o no, dependerá “en tanto que se quiera adoptar el principio de la mayor utilidad de toda la humanidad…

Como decimos no todos estaban de acuerdo. Incluso en los que apoyaban la inoculación tampoco eran partidarios de aceptar el trabajo de D. Bernoulli. Aunque Bernoulli leyera la memoria el 30 de abril de 1760, esta no se publicó hasta 1765. Posiblemente debido a la oposición de d’Alembert, uno de los miembros más influyentes de la Academia, que publicó su propio trabajo en 1761, criticando la solución del problema de la inoculación dada por D. Bernoulli.

D’Alembert  no coge el punto de vista de la colectividad, sino únicamente el del individuo que debe elegir entre el riesgo inmediato de la inoculación, y el riesgo más distante de la enfermedad: se goza mejor de la vida cuando se es joven, dice él, y una ganancia de tres o cuatro años de vida media, perspectiva lejana (¿años de vejez?) no es suficiente para justificar que se exponga a morir en pocos días de una inoculación voluntaria.[1]

A lo que Daniel Bernoulli le respondió, cuando se publicó su trabajo en 1765:

…[no estaba] sorprendido de que al vulgo le llame poco la atención este último aspecto, pero no puedo impedir estarlo cuando veo personas de mérito y de una gran reputación, plantearse seriamente si vale la pena sufrir una operación como la inoculación, con la esperanza de prolongar su vida en dos años: sería de desear que las críticas fuesen más reservadas y más circunspectas, y sobre todo que hiciesen el esfuerzo de ponerse en el hecho de las cosas que se proponen criticar por anticipado.

Se cree, además, que D’Alembert criticaba el trabajo de Bernoulli por basarse en la teoría de las probabilidades, que hasta los trabajos de Laplace no adquirió la importancia que vivió en el siglo IXX.

No podemos decir que el trabajo de Daniel Bernoulli, y otros matemáticos que intentaron mejorar los modelos, ayudasen a salvar vidas, la inoculación de la viruela cambió cuando E. Jenner descubrió la vacuna en 1796 (curiosamente una especie de inoculación con viruela de vaca, menos virulenta) ; pero sí dio una razón más a los seguidores, una razón basada en las matemáticas.

Epílogo:

¿Y qué propuso d’Alembert? Criticando los criterios asumidos por Bernoulli, d’Alembert considera $v(x)$ la mortalidad por viruela a la edad $x$, $m(x)$, la mortalidad por otras causas y $P(x)$ el número de supervivientes, para plantear

$$\frac{dP}{dx}=-v(x)P-m(x)P.$$

A partir de aquí obtendría sus propios resultados. Para verlo puede consultarse [2].

Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

Referencia:

  • [1] SMALLPOX AND THE MEMORY OF D. BERNOULLI. AN EARLY
    EXAMPLE OF APPLIED STATISTICS, José Antonio Camúñez Ruiz, Francisco Javier Ortega Irizo.
  • [2]A Short History of Mathematical Population Dynamics, Nicolas Bacaër
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Nov 19

Teoría Analítica de las Probabilidades

Laplace10bEl concepto de probabilidad se llevaba utilizando desde el principio del siglo XVII, pero es en 1812 cuando Pierre-Simón de Laplace lo expone con notable éxito. La obra Teoría Analítica de las Probabilidades está considerada uno de los grandes libros de la ciencia. Tal fue el exito de la misma que en la tercera edición de 1820 se le agregó un capítulo llamado Ensayo Filosófico de las Probabilidades. Laplace se une al elenco de matemáticos que trascienden sus matemáticas a la filosofía.

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Nov 12

Deflexión gravitacional de la luz

deflexion-gravitacional El 25 de noviembre de 1915 cambió la concepción física de la ciencia, Albert Einstein presentaba la teoría de la relatividad general. Para recordar tan magno suceso se están realizando eventos que lo conmemoran, por ejemplo La noche de la ciencia: 100 Años de Relatividad General. Desde aquí nos unimos con esta pequeña píldora.

Más información en el artículo Cuando Einstein eclipsó a Newton de Los Mundos de Brana.

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Nov 05

El barómetro de Torricelli

En 1643, el físico y matemático, Evangelista Torricelli realizó el experimento que dió ranzón a la existencia de la presión atmósferica, inventando el barómetro de mercurio.

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Oct 20

La catenaria

catenariaLa catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme.

En sus principios la catenaria se consideraba una curva única, cuyo nombre derivaba del latín catenarius (propio de la cadena). Esta curva trajo de cabeza a los matemáticos del siglo XVII, encontrándose en el famoso desafío que planteó Jakob Bernoulli. Aunque en este desafío el problema no trataba de encontrar la catenaria en sí misma, sino la braquitócrona. Más tarde las ecuaciones confirmaría que ambas curvas son la misma.

La mención decatenaría aparece por primera vez en una carta de Thomas Jefferson a Thomas Paine, sobre la contrucción de un arco para un puente.

Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg

«Ponteulla Vedra Galicia 03». Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons.

Si colocamos una catenaria invertida podríamos comprobar que es la forma del eje baricéntrico que minimiza las tensiones; lo cual es ideal para el diseño de arcos.  Se reconoce, que Robert Hooke fue el primero en darse cuenta  de este hecho, y así lo comunicó en la Royal Society en 1671. A decir verdad, comunicó que conocía la curva pero no dijo cuál era, la solución la dejó encriptada en un anagrama:

abcccddeeeeefggiiiiiiiillmmmmnnnnnooprrsssttttttuuuuuuuux

Lo más probable sería que la deducción de la curva la consiguiese por intuición, durante la reconstrucción de Londres, donde fue el principal colaborador de Sir Christopher Wren.

‘Esta entrada participa en la Edición 6.7: El punto del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Matifutbol.
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Oct 09

Modelo matemático para predecir lugares de crímenes

Ayer publicó EUROPA PRESS la noticia de un interesante trabajo Un algoritmo consigue reducir la delincuencia en Los Ángeles.

Los autores manifiestan el éxito de seis años de investigación matemática y una década de datos sobre delincuencia policial, con el resultado de desarrollar un programa que predice tiempos y lugares donde se producirá los delitos graves en un área determinada.

El modelo matemático predijo correctamente los lugares de los crímenes en un 4,7% frente al 2,1% que predecían los analistas humanos.

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Oct 08

Enfriamiento newtoniano

La Ley nos dice que $$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_a)$$
donde $T_a$ es la temperatura ambiente y $k$ una constante de proporcionalidad. Esta ecuación aparece entre los primeros ejemplos de ecuaciones diferenciales, pues su solución es muy sencilla.

Observando vemos que resulta una ecuación diferencial de variables separadas:
$$\frac{dT}{T-T_a}=-kdt,$$ que integrando dará
$$\log|T(t)-T_a|=-kt+c’$$
donde $c’$ es una constante de integración. Esto nos dice que
$$T(t)-T_a=e^{-kt+c’}=ce^{-kt},$$
y, por tanto, $$T(t)=ce^{-kt}+T_a.$$
Conociendo algún valor inicial y la $T_a$ obtenemos la solución particular de cada problema.

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Sep 21

La balística y cinemática en el Renacimiento

Tartaglia2Si estudiamos la evolución de las armas de fuego, en particular de los cañones, en el Renacimiento encontramos un empeño en intentar entender cuál era la trayectoria descrita por el proyectil: saberlo implicaba una ventaja frente al adversario.

Una de las principales obras que intentó marcar diferencia fue Nova Scientia de Niccolo Fontana Tartaglia, publicada en 1537 y donde aventura cuál sería la trayectoria, sin que coincidiera en ninguna curva conocida. En este periodo lo más aceptado era que la trayectoria sería como la de las figuras mostradas.

Tartaglia1Otros ejemplos los podéis encontrar en Cómo dibujaban los matemáticos la trayectoria de una bola de cañón antes de la invención del cálculo de Francis.

Tendremos que esperar a Galileo para que en su obra, Las dos nuevas ciencias (1638) , de consistencia a la balística y la cinemática que transformó el mundo de las batallas.

Esta entrada participa en la Edición 6.6: números vampiro del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Scire Science.

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