Mar 08

Zu Chongzhi y el cálculo de pi

zu_chongzhi Zu Chongzhi fue un astrónomoy matemático chino que vivió entre 429-500 d.C. Fue uno de los grandes matemáticos chinos que surgió tras Los nueve capítulos sobre arte matemático, el gran compendio de matemáticas chinas, similar a los elementos de Euclides para cultura china. Liu Hui fue el iniciador del periodo de esplendor de las matemáticas chinas. Comentó Los nueve capítulos sobre arte matemático, e introdujo a los siguientes matemáticos en el deseo de calcular $\pi$ con precisión.

Precisamente hace casi un año Daniel Martín nos hablaba de Zu Chongzhi(Carnaval de Matemáticas 6.2: Número Pi. 23-29 de marzo), y su relación con el número $\pi$.

Uno de sus logros más renombrados es conseguir $\pi$ con una precisión de 6 cifras decimales. Para este logro nos comenta que utiliza el método conocido de inscribir polígonos regulares, como había realizado su antecesor Liu Hui, probablemente aprendido de los trabajos de Arquímedes.

Sin embargo, cuesta creer que Zu Chongzhi utilizase ese método para obtener la fracción con menor denominar(<16600) más próxima a $\pi\approx \frac{355}{113}$. El método de inscribir polígonos habría necesitado de un polígono de 24.576 lados. Esa construcción y la precisión con la que tendría que haber trabajado, induce a pensar que obtuvo la fracción de otro modo. Nunca lo sabremos con exactitud, pues su trabajo se perdió, quedando sólo la fracción como reconocimiento del hallazgo.

Para imaginar cómo la obtuvo, con un procedimiento alternativo al de los polígonos, debemos pensar en las herramientas que dispuso. Ya se conocía la aproximación de $\pi$ dada por $$3<\pi<\frac{22}{7}.$$ De igual modo que el resultado para fracciones:
$$\frac{a}{b}\leq \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}\leq \frac{a+c}{b+d}\leq \frac{c}{d}.$$
Utilizando ambas relaciones podemos aproximar
$$\pi\approx \frac{3x+22y}{x+7y}.$$
Ahora sólo necesitamos tomar $y=16x$ para despejar
$$\pi\approx \frac{3x+22\times 16x}{x+7\times 16x}=\frac{355}{113}.$$
Esta manera no resulta la única, en  Zu Chongzhi, MacTutor History of Mathematics archive, podemos ver que nos hacen referencias a otras posibilidades, pero no nos negarán que esta es bonita y sencilla.

Did you like this? Share it:
Posted in Personajes | Tagged | Leave a comment
Feb 23

El geógrafo Pedro Nunes y el nonius

nunes

Los historiadores nos cuentan que un gran salto de la navegación se produjo en el siglo XV cuando las naves otomanas dominaban el mar Mediterráneo. Hasta ese momento la navegación tradicional era de cabotaje, como se denominaba a navegar con la costa a la vista. Las técnicas de navegación no permitían alejarse mar adentro.

El resurgir de los textos griegos traídos en los siglos precedentes, hizo reavivar el uso de la trigonometría en navegación. Si a ello aunamos el creciente interés geógrafo y cartógrafo, se produjo un cambio de rumbo en la navegación.

Astrolabio con nonius de Pedro Nunes

Uno de los principales intrumentos de medición era el astrolabio, un instrumento que permitía determinar la posición y la altura de las estrellas sobre la bóveda celesta. Del astrolabio se tiene constancia desde la grecia antigua, aunque no se sabe con certitud su inventor. Algunos autores se lo asignan a Apolonio de Pérgamo. Claudio Ptolomeo describe su contrucción y los musulmanes  lo usaron extensamente.

En el siglo XVI el matemático y geógrafo portugués Pedro Nunes se le ocurrió colocar en el astrolabio una pequeña escala adicional: nació el nonius.

La contribución de Pedro Nunes a la navegación lo llevó a ser uno de los geógrafos más importantes del siglo XVI. A él le debemos la loxodrómica, conocida como la curva de los navegantes de la que nos habló Daniel Martín Reina.

 

Esta entrada participa en la Edición 7.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Did you like this? Share it:
Posted in Historia, Personajes | Tagged , , | Leave a comment
Feb 22

Alan Turing y MATLAB

imation0La figura del matemático Alan Turing es recurrente en este blog. Sus logros y el interés por su trabajo se reaviva cada cierto tiempo. La película The Imitation Game ha sido otro detonante para volver a hablar de él. En MathWorks, Cleve Moler la usa de escusa para enseñarnos la conexión de Alan Turing con MATLAB.

Después de hacernos un repaso sobre el trabajo más conocido de Turing, Moler, nos comenta el interés de Turing en la computación matricial. Los ordenadores se estaban desarrollando, en especial, en la mente de Turing. Publicó en 1947, “Rounding-off Errors in Matrix Processing” , que podría considerarse un inicio en cálculo de computación matricial que consolidaría John Todd en la década de 1950. Cleve Moler, nos muestra que una de sus conclusiones en el artículo se convierte en la función LU que utiliza MATLAB. No sólo ahí, el desarrollo teórico que elaborará John Todd se verá en las funciones norm, cond, y condest de MATLAB.

Para terminar, Cleve Moler, nos enseña un emulador de Enigma, que Corey Lagunowich y Seth Popinchalk desarrollaron para  MATLAB.

 

Esta entrada participa en la Edición 7.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Did you like this? Share it:
Posted in Historia, Personajes | Tagged , , | Leave a comment
Feb 04

El problema de las damas

jonathan_schaeffer El profesor Jonathan Schaeffer encontró la resolución matemática para el juego de damas, siendo su resultado el de tablas. La revista Science publicó Checkers Is Solved (Science 14 Sep 2007:Vol. 317, Issue 5844, pp. 1518-1522 DOI: 10.1126/science.1144079). La publicación ganó la International Computer Games Association Best Publication prize for 2007, y está considerada como una avance en el campo de la Inteligencia Artificial.

Did you like this? Share it:
Posted in Historia, Ocio, Personajes | Tagged , | Leave a comment
Ene 21

Una curva llamada cardioide


La cardioide está englobada dentro de la epicicloide.

EpitrochoidOn3-generation.gif

«EpitrochoidOn3-generation» por Sam Derbyshire – Original file got from WP:EN. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons.

Cuando el radio de la grande y de la pequeña coincide es la cardioide. La cardioide también aparece en los estudios de Gilles de Roberval para encontrar ejemplos de lineas tangentes.

Roberval fue amigo de la familia Pascal. Étienne Pascal, padre de Blaise Pascal, la estudió particularmente, de ahí que ha pasado a la historia como el Caracol de Pascal.

Pascal limaçons.png


«Pascal limaçons» por ToshaTrabajo propio. Disponible bajo la licencia Dominio público vía Wikimedia Commons.

Otro sitio curioso donde nos aparece esta curva en la representación gráfica de la armonía musical (Armonógrafo)

 Harmonograph, a visual guide to the mathematics of music. Anthony Ashton. Ontenida de woodenbooks.com

Harmonograph, a visual guide to the mathematics of music. Anthony Ashton. Obtenida de woodenbooks.com


Si quieréis saber más de ella, consultar Astroide, cardioide y demás -oides de gaussianos.

Esta entrada participa en la Edición 6.X “El grafo” del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

Did you like this? Share it:
Posted in Historia, Ocio | Tagged , , | 1 Comment
Ene 19

Matemáticas contra la malaria

Ronald Ross

Cuando hablamos de modelos matemáticos aplicados a un campo, simplificamos el conjunto de formulismos matemáticos que empleamos para expresar un problema dado. Ya nos decía Galileo Galilei que «las matemáticas son el lenguaje con el que Dios ha escrito el universo». A lo largo de la historia muchos científicos han tenido que recurrir a las herramientas proporcionadas por las matemáticas para encontrar una solución a sus problemas. De los modelos matemáticos para la malaria ya os hable con anterioridad (enlace). Hoy quiero traer al primero, el modelo que presentó un médico, Ronald Ross.

Este médico escocés ha pasado a la historia por ser el descubridor del parásito de la malaria. Galardonado, por este descubrimiento, en 1902, con el Premio Nobel de Fisiología y Medicina.

Con formación matemática, Ronald Ross, publicó en 1911 su libro The Prevention of Malaria. En un apéndice del mismo aparece lo que sería el primer modelo matemático de la malaria. Un modelo sencillo presentado como apoyo a su argumentación de que para erradicar el paludismo era suficiente con disminur la población de mosquitos a un nivel bajo, sin necesidad de extinguirla.

En 1916 —Ross, R.,: An application of the theory of probabilities to the study of priori pathometry, Proc. Roy. Soc., A. 92 (1916), 204-230.– reformuló su modelo. En él planteó $\eta$, el tamaño total de la población humana en un determinado momento; $\gamma$, el número total de humanos infectado; $f$, la proporción de humanos infectados que también son infecciosos; $\gamma$ la cifra de recuperación de los humanos;$\mu$, la tasa de nacimiento; $\nu$, la tasa de mortalidad;$\beta_\nu$, la tasa de picaduras de mosquitos a humanos(*), en una ecuación diferencial(1)
$$\frac{dy}{dt}=\frac{\beta_\nu f_\nu(\eta-y)}{\eta}-(\gamma+\nu),$$ donde los subíndices correspondían a la población de mosquitos. De similar forma la aplicó a la población de mosquitos. Este modelo le sirvió para corroborar sus hipótesis iniciales.

En 1950, el epidemiólogo George Macdonald retomó el trabajo de Ronald Ross, publicando en 1956 el modelo que se conoce como el modelo de Ross-Macdonald. Este modelo lo describen las ecuaciones diferenciales(2)
$$\left\{ \begin {array}{l} \frac{dm}{dt}=\alpha p_mh(1-m)-\delta m\\ \frac{dh}{dt}=\alpha p_h\frac{M}{H}m(1-h)-\gamma h \end{array}\right.$$

El  trabajo de Ross dió salida otros más que intentan mejorarlo, como el mencionado de Ross-Macdonald, o el de un equipo de la Escuela de Higiene y Medicina Tropical del Imperial College de Londres. Se continuan realizando estudios como el publicado en 2012, La Malaria. Modelacion Matematica En El Analisis Entomoepidemiologico, y formando investigadores que Con matemáticas describen comportamiento de la malaria.  Todos con un nexo en común: matemáticas contra la malaria.

Desde que se empezase a estudiar la evolución de una epidemia a lo largo del tiempo, que hoy denominamos Epidemiología, las matemáticas han sido un herramienta fundamental en su desarrollo. Ronald Ross no fue el primero, puede que los trabajos de Willian Heaton en el estudio del sarampión diesen el banderazo de salida, pero esa es otra historia.

Esta entrada participa en la Edición 6.X “El grafo” del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

(*)En su modelo, Ronald Ross, también planteó la variable de los mosquitos mordidos por humanos, pero estimo que esta podría considerarse cero.

Did you like this? Share it:
Posted in Historia, Personajes | Tagged , | 2 Comments
Ene 14

Los Elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría.

Esta es una obra fundamental en la ciencia, como nos mostró Stephen Hawking en Dios creó los números. Los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia. Y es, posiblemente, el libro más divulgado de las historia. Sobre él se sientan los cimientos de la geometría que hoy conocemos como geometría euclidiana, y que en un principio abarcaba toda la geometría existente.

Did you like this? Share it:
Posted in Libros, Personajes | Tagged , , | Leave a comment