El problema del trigo y del tablero de ajedrez

Granos de trigo en el tablero de ajedrez.

La mayoría hemos oído alguna vez el problema del trigo y del tablero de ajedrez, (o, como nos dice en la wikipedia, expresado en términos de granos de arroz):

 

 

 

“Si se colocase sobre un tablero de ajedrez (lo suficientemente grande) un grano de trigo en el primer casillero, dos en el segundo, cuatro en el tercero y así sucesivamente, doblando la cantidad de granos en cada casilla, ¿cuántos granos de trigo habría en el tablero al final?”

El problema es muy común cuando introducimos las series geométricas en nuestras clases, pues la solución se plantea como una serie geométrica; en concreto:

$$T_{64}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}=\sum _{i=0}^{63}2^{i}$$

La historia de este problema se envuelve en leyenda, y esta está asociada a la leyenda de Sisa. La leyenda nos lleva al noroeste de la India, cómo no, el lugar del nacimiento del ajedrez; pero lo que hoy traigo es el cómo llegó a nosotros. Hilando la madeja de la historia debemos retroceder a la explosión cultural que supuso la Casa de la sabiduría o Casa del saber, donde bajo el auspicio del califa Mamun (reinó entre 813-833), se intentó reunir el saber científico del momento,  atrayendo a Bagdad a multitud de eruditos para compartir información, ideas y cultura. Uno de los propósitos era traducir libros de diferentes idiomas al árabe.

Entre los grandes sabios que trabajaron nos encontramos con el sabeo Thabit ibn Qurrá (826–901), el traductor más renombrado. El legado de Thabit ibn Qurrá siempre se ha centrado en traducción de los trabajos de Euclides, que sirvió a Gerardo de Cremona para mejorar las traducciones que había realizado Adelardo de Bath. Pero en el siglo XIII, Abu-l ‘Abbas Ahmad ibn Khallikan (1211-1282), nos hizo una observación: los sabios de la Casa de la sabiduría estudiaron el problema que abordamos y encontraron la solución. Sería al-Biruni (973-1048) quién calcularía la solución de la increíble suma de la serie geométrica ideada por Thabit ibn Qurrá como solución del problema del trigo y del tablero de ajedrez, llegando a la conclusión que se necesitarían 18.446.744.073.709.551.615 granos.

Hoy encontramos en muchas referencias a Thabit ibn Qurrá como un estudioso de la serie geométrica, pero no suele decirse que fue con el propósito de resolver problema del trigo y del tablero de ajedrez. Lo más probable es que Thabit ibn Qurrá plantease la solución matemática mediante una suma parcial de la serie geométrica, que al-Biruni calculase el resultado, y que ibn Khallikan, como historiador que era, nos lo recordase, para que no olvidemos que si hemos logrado ver más lejos, es porque nos hemos subido a hombros de gigantes.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima tercera edición, también denominada X.3, está organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss.

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