Cómo resolver un juego de monedas con inducción matemática (I)

Conocemos cientos de ejemplos donde las matemáticas nos ilustran el procedimiento para resolver un problema aparentemente alejado de ellas. A los alumnos este tipo de juegos les despierta la curiosidad. Precisamente al estudiar la inducción matemática me ha surgido un ejemplo digno de captar la atención de nuestros alumnos más hambrientos de conocimiento. En esta entrada relataremos el problema y en la próxima daremos la solución matemática del mismo.

Primero le pondremos un nombre: El solitario de monedas, o, Fila cero. La verdad es que cualquiera de estos nombres es inventado, porque el original lo desconozco(si alguien sabe el nombre o su procedencia que lo indique; es posible que Martin Gardner esté detrás).

Comencemos con la exposición de nuestro particular solitario. Supongamos que disponemos de un número de monedas (grande o pequeño da igual) que colocaremos en filas sobre la mesa donde vamos a jugar. Al colocarlas al azar, dispondremos de una serie de filas donde veremos la cara o cruz de las mismas. Por ejemplo:

monedas1

La cara es el dibujo de nuestros reyes y la cruz muestra al quijote. El juego consiste en, eliminando todas las monedas de una fila que muestren una cara, dejar libre la fila de monedas, de ahí Fila cero. Pero debemos ejecutar una acción en la fila cada vez que eliminemos una cara. ¿Cuál?: dar la vuelta a las monedas colindantes de la misma fila. Hagamos un ejemplo que nos lo ilustre. Para una mejor visualización marquemos nuestra mesa:

monedas2

El jugar novato elegiría la 3 fila para jugar porque sólo tiene 4 monedas, y, aparentemente, será la más sencilla de vaciar.

monedas3

Empezamos con la cara de la primera columna. Al ser cara podemos eliminar la moneda, pero debemos darle la vuelta a su colindante, en este caso sólo la moneda situada en la columna 2(c2). Se nos quedaría así:

monedas4

Siguiente movimiento. Buscamos otra cara y la eliminamos, dándole la vuelta a la de al lado; por ejemplo la columna 4(c4).

monedas5

Ya vislumbramos que elijamos la que elijamos su retirada hará que la otra de la vuelta y quede cruz:

monedas6

El resultado es que no podemos eliminar la moneda restante, y, por tanto, no habremos resuelto satisfactoriamente  nuestro solitario.

Sigamos jugando, porque la fila a elegir es arbitraria, por ejemplo la última fila.

monedas7

Movamos rápido: eliminamos la c6 y damos las vueltas a sus colindantes, c5 y c7:

monedas8

La c7 queda sola, podemos eliminarla como la c5 dándole la vuelta a la c4:

monedas9

Ahora un movimiento audaz: eliminamos la c2 y cambiamos c1 y c3.

monedas10

Y el siguiente paso salta a la vista del jugador avezado: eliminamos c1 por ser cara y c4, y cambiamos c3, apareciendo una cara en c3 solita en la fila y lista para ser eliminada en el siguiente movimiento. Final. Listo. Hemos conseguido dejar la fila a cero. Terminamos nuestro solitario satisfactoriamente.

Fijémonos que, en el movimiento audaz eliminamos c2, de elegir la cara de c3 para eliminar, darían la vuelta las caras contiguas, resultando tres monedas c1, c2 y c4 donde se ve sólo la cruz, las únicas monedas presentes en la fila, y no podríamos eliminar ninguna más. Consecuencia: la fila no se podría vaciar.

Ahora le toca a la mente matemática: ¿Cuándo podremos encontrar una solución a nuestro problema? ¿Existe para cualquier fila que escojamos? ¿Tenemos un algoritmo que nos lleve a la solución? En tal caso, ¿bajo que condiciones? Como leéis, los matemáticos somos gente dada a calentarnos la cabeza. La cuestión es que algunas de las preguntas podemos darle solución matemática, y ese es el problema que os traslado. Concretemos; por ejemplo, ¿cuándo la fila elegida será factible vaciarla? Y recordad, no basta con enunciar  una conjetura, hay que probarla.

Esta entrada participa en la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Nota: La pista está en el título.

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