Quiero media derivada

Una de las muuuuchas cosas que podemos hacer con las matemáticas es sorprender a nuestros alumnos. Quién no ha comprobado la incredulidad de un alumno cuando afirmamos que 2 · 3 =0, claro está en $\mathbb{Z}_6$. Luego tenemos que justificar que $\mathbb{Z}_6$ es el anillo de las clases residuales módulo 6, donde la multiplicación resulta aparentemente extraordinaria; tanto que 4 · 3 =0 y ¡$5^2=1$!. El álgebra del primer curso en las universidades proporciona desconciertos a los ojos de un alumno preuniversitario. Pero el cálculo no se queda atrás.

La expresión $$\frac{d^{\tfrac{1}{2}}x}{dx^{\tfrac{1}{2}}}=2\sqrt{\frac{x}{\pi}}$$ la desarrolló Sylvestre François Lacroix, en 1819, como ejemplo de un intento de definir la derivada para cualquier orden.

Otros matemáticos persiguieron el mismo propósito, dado que el planteamiento de Lacroix presentaba problemas. Por ejemplo, en 1848 el reverendo William Center observó que sabiendo que la derivada fraccionaria de una constante era cero, resultaba que
$$\frac{d^{\tfrac{1}{2}}x^0}{dx^{\tfrac{1}{2}}}=\frac{\Gamma(1)}{\Gamma(\tfrac{1}{2})}x^{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\pi x}}.$$
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Es normal, rara vez la definición matemática surge espontáneamente: los conceptos matemáticos son el resultado de una gestación ardua y una depuración exhaustiva.

En la depuración del cálculo fraccionario participaron eminentes matemáticos como Lioville, Cayley, Riemann, Weyl o Hardy, llegando hasta H. T. Davis que en 1936 escribió The Theory of Linear Operators, un texto bibliográfico sobre la teoría de operadores y donde desarrolló el cálculo fraccionario.

La definición de la derivada fraccionaria está ligada inseparablemente a la función $\Gamma$, y puede darse para una función $f(x)$ y un valor $0<\alpha<1$ como
$$\frac{d^\alpha}{dx^{\alpha}}f(x)=\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}\,\frac {d}{dx}\int _{0}^{x}\,\frac {f(t)}{(x-t)^{\alpha}}\,dt.$$
Para otros valores, es otra historia.

Esta entrada participa en la Edición 7.9 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog de José Luis Muñoz.

Para más información puede leerse el trabajo Génesis y desarrollo del Cálculo Fraccional de José Manuel Sánchez Muñoz, Revista Pensamiento Matemático, V1, Octubre, 2011.

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