El volumen del tetraedro

Un tetraedro es una pirámide de base triangular. Como figura geométrica hablamos de un poliedro de cuatro caras triangulares. El tetraedro es un de los sólidos platónicos, cuando los triángulos son equiláteros, siendo conocido desde la Grecia clásica. Así que el volumen era conocido, siendo $$V=\frac{1}{3}hA,$$ donde $h$ es la altura y $A$ el área de la base.

Triangle with notations 2.svg


De David Weisman (Dweisman) – En-Wiki. Original description is/was here, Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2596911

Herón de Alejandría(siglo I d. C.) había encontrado una fórmula para determinar el área de un triángulo:
$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

donde $s=\frac{a+b+c}{2}$, el semiperímetro del triángulo. Esta fórmula la probó en su libro Metrica, escrito sobre el 60 de nuestra era. Es probable que Arquímedes la conociera y Heron simplemente la recogió.

Siglos después Tartaglia, a mediados del siglo XVI, extendería la fórmula de Herón (ver Heron-type formula for the volume of a tetrahedron)

Fue en el siglo de las luces cuando Lagrange encontró un sencillo modo de calcular el volumen, atendiendo a las coordenadas, que hoy mantenemos. En su artículo Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires, publicado en 1775, propone (las fórmulas hoy adaptadas)  que el área de un triángulo es

$$A = \frac{1}{2!}\, \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2  & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix},$$

y el volumen de un tetraedro

$$V = \frac{1}{3!}\, \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix}$$

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