El autómata planetario de Huygens y las fracciones continuas

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Vista interior del autómata planetario de Christiaan Huygens

Christiaan Huygens fue un astrónomo, físico y matemático holandés del siglo XVII. Es considerado uno de los grandes sabios del siglo y dedicó gran parte de su trabajo al estudio de la astronomía. Nos interesa particularmente el autómata planetario que ideó y construyó, previsiblemente entre 1665 y 1681, aunque su descripción no se publicó hasta 1703, después de su muerte.

La principal dificultad del autómata, que simularía el movimiento de los planetas del Sistema Solar, era la dimensiones de las ruedas dentadas. Huygens, que tenía experiencia en la construcción de relojes, sabía que la relación entre las órbitas de los planetas debía reflejarse con precisión en los engranajes que regían los movimientos de los planetas.

Por esas fechas, John Wallis trabajaba en sucesiones de recurencia, utilizando las fracciones que él denominaría “continue fractum”, fracciones continuas. Huygens, que conoció el trabajo de Wallis, pensó en las fracciones continuas para calcular los engranajes. Si deseamos que un engranaje produzca $n$ revoluciones en un eje y $m$ en otro, el número de dientes deben segir la proporción $\frac{n}{m}$.

En el estudio de las orbitas para los planetas, Huygens se topó con la dificultad de la duración de un año terrestre y uno de Saturno. El giro de la Tierra en un año consistía en 359º 45′ 40” 31”’, mientras que en Saturno Huygens lo había estimado en 12º 13′ 34” 18”’. Si lo trasladamos a una fracción esta sería $$\frac{2640858}{77708431}.$$

Huygens utiliza las fracciones continuas para reducir el perido más largo sobre el más corto:
$$
\frac{2640858}{77708431}=
29+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}}}}}}}
$$
Huygens decidió coger la razón $\frac{2640858}{77708431}$ como $\frac{7}{206}$, a causa de que
$$\frac{2640858}{77708431}\approx\frac{206}{7}=29+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{1}}},$$
con un error del orden de $\frac{3}{1000}$. Así Christiaan Huygens construye un engranaje con una rueda de 206 dientes, para Saturno, un piñon de 7 en la barra de hierro principal. Para el resto de planetas determina ruedas de 166 dientes con un piñón 14(166/14) para Júpiter; 158/84 para Marte; 32/52 para Venus; 17/7 para Mercurio.

Una nueva prueba de cómo para resultados matemáticos “aparentemente inútiles” el tiempo descubre consecuencias que no se habían reparado.

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

Referencias:

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