Zu Chongzhi y el cálculo de pi

zu_chongzhi Zu Chongzhi fue un astrónomoy matemático chino que vivió entre 429-500 d.C. Fue uno de los grandes matemáticos chinos que surgió tras Los nueve capítulos sobre arte matemático, el gran compendio de matemáticas chinas, similar a los elementos de Euclides para cultura china. Liu Hui fue el iniciador del periodo de esplendor de las matemáticas chinas. Comentó Los nueve capítulos sobre arte matemático, e introdujo a los siguientes matemáticos en el deseo de calcular $\pi$ con precisión.

Precisamente hace casi un año Daniel Martín nos hablaba de Zu Chongzhi(Carnaval de Matemáticas 6.2: Número Pi. 23-29 de marzo), y su relación con el número $\pi$.

Uno de sus logros más renombrados es conseguir $\pi$ con una precisión de 6 cifras decimales. Para este logro nos comenta que utiliza el método conocido de inscribir polígonos regulares, como había realizado su antecesor Liu Hui, probablemente aprendido de los trabajos de Arquímedes.

Sin embargo, cuesta creer que Zu Chongzhi utilizase ese método para obtener la fracción con menor denominar(<16600) más próxima a $\pi\approx \frac{355}{113}$. El método de inscribir polígonos habría necesitado de un polígono de 24.576 lados. Esa construcción y la precisión con la que tendría que haber trabajado, induce a pensar que obtuvo la fracción de otro modo. Nunca lo sabremos con exactitud, pues su trabajo se perdió, quedando sólo la fracción como reconocimiento del hallazgo.

Para imaginar cómo la obtuvo, con un procedimiento alternativo al de los polígonos, debemos pensar en las herramientas que dispuso. Ya se conocía la aproximación de $\pi$ dada por $$3<\pi<\frac{22}{7}.$$ De igual modo que el resultado para fracciones:
$$\frac{a}{b}\leq \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}\leq \frac{a+c}{b+d}\leq \frac{c}{d}.$$
Utilizando ambas relaciones podemos aproximar
$$\pi\approx \frac{3x+22y}{x+7y}.$$
Ahora sólo necesitamos tomar $y=16x$ para despejar
$$\pi\approx \frac{3x+22\times 16x}{x+7\times 16x}=\frac{355}{113}.$$
Esta manera no resulta la única, en  Zu Chongzhi, MacTutor History of Mathematics archive, podemos ver que nos hacen referencias a otras posibilidades, pero no nos negarán que esta es bonita y sencilla.

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