Exponencial de una matriz

Es curioso cómo nuestros alumnos se sorprende al ver operaciones sencillas que se transforman en elementos aparentemente complejos, y resultan igual de sencillos. Un caso es la exponencial de una matriz. En álgebra lineal surge como ejemplo que más tarde se aplicará en ecuaciones diferenciales. Pero tratemos de explicarla para aquellos lectores curiosos.

De nuestro primer año de cálculo de cualquier curso universitario, recordamos la exponencial real como suma en serie. En mi época de estudiante la dábamos incluso antes, cuando estudíabamos los desarrollos de Taylor en COU. El clásico desarrollo de Maclaurin nos decía que

$$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n).$$

Por cierto, la notación «$o(x^n)$» se debe a Edmun Georg H. Landau(1877-1938), un matemático alemán amante del ajedrez. Antes de doctorarse en 1899 había publicado dos libros de problemas de ajedrez.

Tenemos lo necesario para introducir las matrices. Dada una matriz cuadrada $A$ de $n\times n$ con coeficientes constantes, definimos
$$e^{At}=I_n+tA+\frac{t^2}{2!}A^2+\ldots+\frac{t^n}{n!}A^n+\ldots,$$
siendo $I_n$ la identidad de orden $n$. Si $t=1$ tenemos la expresión la exponencial de una matriz que más conocemos
$$e^{A}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}A^k.$$

La convergencia de la serie se prueba fácilmente utilizando la norma de una matriz y la desigualdad
$$\left\| \frac{A^k}{k!}\right\| \leq \frac{\parallel A\parallel^n }{k!}.$$

Puesto que la serie $\sum a^k/k!$ converge para todo número real $a$, el teorema de Weierstrass (de series), nos confirma que la exponencial de una matriz, como hemos definido, es convergente.

Para probarse hemos de introducir la norma de una matriz, podemos utilizar por ejemplo la más sencilla:
$$\parallel A\parallel=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|a_{ij}|.$$

Esta definición permite observar propiedades muy similares a la exponencia real:

  • Si $AB=BA$, entonces $e^{A}e^{B}=e^{A+B}$
  • $\left(e^{A}\right)^{-1}=e^{-A}$.
  • $\parallel e^{At}\parallel\leq e^{\parallel A\parallel t}$

Por último otro cálculo sencillo, su derivada:
$$\frac{d}{dt}e^{At}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{A(t+h)-e^{At}}}{h}=
\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{Ah}-I_n}{h}=$$
$$=e^{At}\underset{h\to 0}{lim}\,\underset{i\to \infty}{lim}
\left(A+\frac{h}{2!}A^2+\ldots+\frac{h^{i-1}}{i!}A^i\right)=Ae^{At}.$$

Maravilloso, ¿verdad?.

Esta entrada participa en la edición 6.9: el conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

 

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