Viète y la suma de senos

vieta0El pasado día vimos como François Viète realizó la demostración del teorema de Pitágoras utilizando la circunferencia. Hoy vamos a traer otra de sus famosas fórmulas, la suma de dos senos:

$$\sin x +\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Lo podríamos resolver de forma sencilla, con los conocimientos que poseemos; pero volvamos al siglo XVI para ver cómo lo consiguió Viète. Una vez más la clave nos la proporciona la imagen que tenemos.

Si recordamos que la longitud de un arco de circunferencia es proporcional al ángulo y el radio, para nuestra circunferencia de la imagen, de radio unidad, $x$ representa tanto la longitud de arco como el ángulo de esta imagen

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Del mismo modo $y$ nos representa el ángulo del arco

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Lo que Viète pretendía hacer era calcular $$\sin x +\sin y.$$ Pero estos senos se corresponde con los segmentos dados por la siguiente imagen

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Es decir, $$\sin x +\sin y=\overline{AB}+\overline{CD},$$ o lo que es lo mismo

vieta4$$\sin x +\sin y=\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AE}.$$

Ahora, si consideramos el triángulo  $\widehat{EAC}$

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resulta $\overline{AE}=\overline{AC}\cos \angle EAC$. Por tanto

$$\sin x +\sin y=\overline{AC}\cos \angle EAC.$$

Por último tenemos el triángulo $\widehat{AOC}$, que es isósceles y su ángulo  $\angle AOC \equiv x+y$.

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Como la bisectriz de $\angle AOC$ divide el segmento $\overline{AC}$ en dos partes iguales, resultará que $$\sin \frac{\angle AOC}{2}=\frac{1}{2}\overline{AC},$$ y, por consiguiente $$\sin x +\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \angle EAC.$$

Sólo nos resta deducir que $\cos \angle EAC=\cos\frac{x-y}{2}$, que lo dejaremos como ejercicio para el lector.

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