La demostración más sencilla del teorema de Pitágoras

pitagoras_vietaA muchos matemáticos, o aficionados por las matemáticas, les dio, y les sigue dando, por buscar demostraciones del teorema Pitágoras. En la wiki encontramos diversas demostraciones, y gaussianos nos ofrece un buen surtido (
Lo que se puede hacer con GeoGebra (IX): Demostración visual del teorema de Pitágoras,La demostración del presidente,Demostración “simétrica” del teorema de Pitagoras,
Demostrando el teorema de Pitágoras con la fórmula de Herón, Sencilla demostración del teorema de Pitágoras, entre otras)

Aquí sugeriremos una más: la demostración que nos proporcionó François Viète (o como más lo conocemos con su nombre españolizado, Francisco Vieta)

Veamos cómo lo hace:

pitagoras_vietaFijándonos en la figura observamos que $$\overline{DC}=\overline{DA}+\overline{AC}$$ y $$\overline{DA}=\overline{AB},$$ pues tanto $\overline{DA}$ como $\overline{AB}$ son radios de la circunferencia. Así $$\quad \quad \overline{DC}=\overline{AB}+\overline{AC}\quad \quad (1).$$

Veamos ahora que $$\overline{CE}=\overline{AE}-\overline{AC},$$ y, como $\overline{AE}$ es el radio, $$\overline{AE}=\overline{AB}.$$ Por tanto, $$\quad \quad \overline{CE}=\overline{AB}-\overline{AC}\quad \quad (2).$$pitagoras_vieta

El producto $$\overline{DC}\cdot\overline{CE}$$ puede obtenerse de (1) y (2), siendo $$\overline{DC}\cdot\overline{CE}=(\overline{AB}+\overline{AC})(\overline{AB}-\overline{AC})=\overline{AB}^2-\overline{AC}^2\quad (3)$$

Ahora sólo nos resta aplicar el resultado de Euclides III.35 que nos relaciona las longitudes de segmentos de rectas que pasan por un punto y cortan a una circunferencia fija. Como $\overline{CB}$ es perpendicular a $\overline{DE}$, Euclides III.35 nos dice que  $$\overline{DC}\cdot\overline{CE}=\overline{CB}^2\quad (4)$$

pitagoras_vietaYa tenemos lo que buscábamos, de (3) y (4) resulta $$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{CB}^2.$$

Es muy probable que Vieta dedujese este resultado cuando estudiaba los trabajos de Pappus, en 1589 Federico Commandino tradujo sus obras en un libro titulado Mathematicae Collectiones. E Igualmente de probable que este libro inspirase a Vieta como la Arithmetica de Diofanto inspiraría a Fermat unos años después.  En el siglo XX, Hardy utilizaría la misma idea de Vieta para encontrar otra demostración similar.

Seguro que hemos exagerado con el titular, algunos pueden pensar que no es la demostración más sencilla. Lo dejaremos que es la demostración más sencilla que hasta ahora he visto; aunque, reconozco, que me quedan muchas por ver.
Esta entrada participa en la Edición 5.9 Emma Castelnuovo del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

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2 thoughts on “La demostración más sencilla del teorema de Pitágoras

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