Cauchy y la fórmula de Euler

Augustin Louis Cauchy.JPG

«Augustin Louis Cauchy». Disponible bajo la licencia Public domain vía Wikimedia Commons.

Por fórmula de Euler conocemos varios resultados, pero al que nos queremos referir al que involucra lo que se denominará por Característica de Euler o Característica de Euler-Poincaré, pues fue este último que la extendió a la topología incipiente que se estaba pergeñando a finales del XIX. Cuando la Característica de Euler la aplicamos a un poliedro obtenemos la famosa Fórmula de Euler para los poliedros:

En un poliedro convexo con $C$ caras, $A$ aristas y $V$ vértices se cumple que: $$C-A+V=2$$

Euler la encontró mientras trataba de clasificar los poliedros, y en 1758 nos dejó por escrito:

Mientras que en geometría plana los polígonos se podrían clasificar muy fácilmente según el número de sus lados que, por supuesto, siempre es igual al número de sus ángulos, en esterometría la clasificación de los poliedros representa un problema mucho más difícil, puesto que el solo número de caras es insuficiente para este fin.

Lo curiosos es que Euler dio con la fórmula, pero no logró dar una demostración de su validez general. Parece que Descartes, más de un siglo antes, había encontrado un resultado equivalente, sino el mismo, pues en un manuscrito de Leibniz se ve un resultado similar que dice haber copiado de otro manuscrito de Descartes, hoy desaparecido. Es muy posible que la prueba de Descartes sea la que nos enseña gaussianos en La fórmula de Euler, ¿la descubrió Descartes?.

Independientemente de esa prueba de Descartes, hasta 1811 nadie conocía una prueba general de la Fórmula de Euler para los poliedros, hasta que un joven aspirante a ingeniero puso su interés en ella. Augustin Louis Cauchy encontró la primera demostración publicada. Esta la podéis ver en Euler’s polyhedron formula.

Referencia:

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