Simson y el número áureo

Tendemos a pensar que si hablamos de Simson, en matemáticas, estamos cometiendo un error de escritura, por que es Simpson, de Thomas Simpson uno de los matemáticos que más contribuyó a expandir el cálculo de las fluxiones de Newton; pero no es así. No hablamos de Thomas Simpson, sino de otro habitante de las islas, esta vez en la próspera Escocia, profesor de matemáticas en la Universidad de Glasgow y que se llamaba Robert Simson.

Este Simson parece que tuvo menos prestigio que su camarada contemporáneo inglés Simpson. De él apenas tenemos un resultado mal atribuido, Simson line, y una relación con los números de Fibonacci y el número áureo que traemos aquí.

En 1753 publicó “An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard’s Commentary upon Simon Stevin’s Works“, en Philosophical Transactions ,(Phil. Trans. 1753-1754 48, doi: 10.1098/rstl.1753.0056, published 1 January 1753). Simson trata de dar un poco de luz a uno de los trabajos de Albert Girard. Es precisamente este Girard a quien debemos la expresión de la sucesión de Fibonnaci como sucesión recursiva. En la obra L’Arithmétique de Simon Stevin de Bruges (1634), Albert Girard introduce la fórmula $$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,$$ que hoy tanto conocemos.

Ya Girard se había percatado de que las sucesivas fracciones de los términos de la sucesión de Fibonnaci convergían en el número áureo. Robert Simson lo vio y, además, observó que, en general, cualquier sucesión recurrente de la forma dada por la recurrencia de Girard convergería al número áureo y cumpliría que el cuadrado de uno de sus términos sería igual al producto de sus términos adyacentes salvo más menos una unidad.

Su deducción carecía de la gran herramienta que proporcionaría mas tarde el uso de los límites, que aquí utilizaré esta por ser más sencilla.  Si atendemos que $$L=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}},$$ sustituimos la recurrencia y obtenemos $$L=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n}}{u_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}-u_{n-1}}{u_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{u_{n-1}}{u_{n+1}}\right)=$$ $$=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{u_{n-1}}{u_n}\,\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)=1-L^2.$$

Esto nos dice que el límite es solución de la ecuación $$L^2+L-1=0,$$ que como sabemos tiene por solución $$L=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}.$$ Como no nos vale la solución negativa tenemos $$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n}}{u_{n+1}}=\frac{ \sqrt{5}-1}{2}.$$

Así

$$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{2}{ \sqrt{5}-1}=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}.$$

No quiero terminar sin hacer una pequeña reflexión, que me lleva a realizar esta entrada: independientemente de la belleza de la sucesión de Fibonacci y su fascinación, no hay nada místico que la relacione con el número áureo, es una consecuencia de la sucesión de recurrencia de donde procede. Tanto es válido para la sucesión de Fibonacci como para cualquier sucesión dada por la recurrencia de Albert Girard.

Esta entrada participa en la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Juegos Topológicos.

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2 thoughts on “Simson y el número áureo

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