¿Contradijo Goldbach a Fermat?

Carta de Christian Goldbach a Leonhard Euler, 7 de junio de 1742.

En 1730 Goldbach y Euler se carteaban acerca de problemas matemáticos. De la correspondencia mantenida durante años surgió la conjetura de Goldbach(1742). Pero volvamos a 1730 y la carta de Goldbach cuando le plantea a Euler como los números de Fermat ($F_n=2^{2^n}+1$) cumplen la recurrencia $$\prod_{k=0}^{n-1}F_k=F_n-2.$$

He leído en varios sitios que esta relación indujo a Goldbach a justificar la infinitud de los números primos al observar que dos números de Fermat distintos son coprimos; por tanto, siempre hay un factor primo que no se contiene en ningún otro número de Fermat. Hasta aquí la lógica es correcta. Pero partimos de un supuesto que no concuerda con la historia.

Fermat conjeturó (bueno, Fermat nunca conjeturaba: afirmaba) que todos los números de $F_n$ eran primos(su único error). Fue Euler quien, en 1732, probó que no era así: $F_5=641\cdot 6700417$. Vemos que las fechas no concuerdan.

Si Goldbach comentó la prueba a Euler con los, entonces llamados, Primos de Fermat, no era necesario llegar a establecer que eran coprimos para probar la infinitud: hay infinitos números de Fermat, por tanto, a finales del XVII había infinitos Primos de Fermat. Cabe que, ya entonces, Goldbach pusiese en duda la conjetura de Fermat y buscase el razonamiento desde otra línea. Entonces, esa duda transmitida a Euler le provocó el reto de encontrar un factor para los números de Fermat, y lo hizo, como hemos dicho antes. Y no solo eso: demostró que cada factor de un número de Fermat debería ser de la forma $$k2^{m+1}+1.$$

Estaría bien tener el original de la carta de Goldbach y descubrir si, además de su conjetura, se aventuró a contradecir a Fermat.

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