Breve historia de los métodos numéricos en ecuaciones diferenciales

Navegando podemos encontrar pequeñas historias que nos vienen muy bien recordar. El Departamento de Matemáticas e Informática Aplicada a la Ingeniería Civil, de la E.T.S.I. CAMINOS, CANALES Y PUERTOS, Universidad Politécnica de Madrid, comparte en la web, no solo su Revista de Pensamiento Matemático, de la cual hablamos en otra ocasión, además nos deja pequeñas historias de las matemáticas que explican y que son muy instructivas.

En este caso una referencia hacia Métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales: Historia:

“La búsqueda de soluciones aproximadas a problemas matemáticos en general, es un proceso antiguo. Se puede citar como ejemplo los polinomios de Taylor que aproximan a una función, o los polinomios interpoladores obtenidos por Newton y Lagrange para ajustar una función polinómica a una tabla de n valores, o el método de Newton para hallar una solución aproximada de una ecuación, o por último, el método de Euler para el cálculo de una solución aproximada de una ecuación diferencial.

El método de Euler , que data de 1768, está aún “vivo”, no sólo porque juega un papel excepcional en la enseñanza como base metodológica para explicar métodos más complicados, sino que incluso se sigue utilizando en la actualidad para obtener una primera aproximación en la resolución de ecuaciones.

El mismo Euler en los ejercicios propone métodos de orden superior que son los que hoy se conocen como métodos de Taylor , donde la idea geométrica la proporciona el calcular la derivada segunda, en lugar de utilizar para aproximar la solución por la tangente se hace mediante la parábola que más se aproxima, o en general por el polinomio de grado n que más se aproxima.

Los siguientes métodos se deben a John C. Adams (1819 – 1892). Analizando anomalías en la órbita de Saturno, Adams conjeturó en 1846 la existencia de otro planeta, siendo observado Neptuno en 1846. Fue catedrático en Escocia en St. Andrews, en 1858, y en Cambridge en 1859, siendo nombrado director del Observatorio de Cambridge en 1 861. Los métodos que llevan su nombre, Adams no los publicó (quizás no los considerara suficientemente serios). Aparecen publicados por primera vez por Bashford, en 1883, en un trabajo sobre problemas de capilaridad, tensión superficial, la forma de una gota…, aunque dijo que ya los conocía de Adams desde 1855.

Con el polinomio interpolador más sencillo, una constante, se recupera el método de Euler. Si se usa una recta se obtiene un método de segundo orden, y con esta forma de razonar, aumentando el grado del polinomio y el número de puntos de partida, es posible obtener métodos del orden que se quiera. De esta forma se obtienen los métodos explícitos que se conocen con el nombre de métodos de Adams-Bashford . La cantidad de trabajo en cada paso es la misma que en el método de Euler, pues aunque cada valor se usa varias veces, en cada paso sólo se evalúa una vez la función. Adams construyó otros métodos, los implícitos, que en la bibliografía se conocen como métodos de Adams-Moulton .

Carl David Tolmé Runge nació en 1856 en Brena. Vivió en La Habana. Estudió hacia 1 876 en Munich y Berlín con Kronecker y Weierstrass, donde se ocupó del estudio de la variable compleja. En 1886 se trasladó a Hannover a la Escuela Técnica Superior donde conoció a Plank, que investigaba en espectroscopia, centrándose en trabajos de matemática aplicada. En 1905 fue llamado a Göttingen por Félix Klein, donde fue nombrado como el primer catedrático de Matemática Aplicada. En 1895 apareció publicado su trabajo en la revista “Mathematische Annalenn”.

Wilhelm Martin Kutta en 1901 utilizó este formato general y describió varios métodos de orden cuatro con cuatro etapas. Uno de ellos es el que ha pasado a los libros como el método de Runge-Kutta , lo cual es inexacto, pues no lo descubrió Runge , sino Kutta , y es uno entre varios, y no precisamente del que se muestra más orgulloso. Aunque bien es cierto que Runge lo mencionó en un libro sobre Matemática Aplicada.

El primer estudio riguroso de la teoría matemática encerrada en la resolución numérica de ecuaciones diferenciales se debe a Dahlquist que escribió su tesis, ya mayor, en el año 1956, siendo publicada en 1959. Es el primero en escribir una teoría que explique conceptos como estabilidad o el orden alcanzable. Sólo escribió seis o siete artículos, pero que son de una importancia excepcional.”

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One thought on “Breve historia de los métodos numéricos en ecuaciones diferenciales

  1. estoy muy contento por saber un poco de historia de los m.numericos

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