Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de la forma $$y’+a(x)y=b(x)y^n$$ se denomina ecuación de Bernoulli. Hace referencia al mayor de los Bernoulli, Jakob(1654-1705), de cuya familia tenemos amplios conocimientos en las matemáticas. Jakob la mostró en 1695 en “Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis”, Acta Eruditorum.

Un curiosidad de esta ecuación es que si $n>1$ podemos considerar $z=y^{1-n}$, resulta $z’=-\frac{n-1}{y^n}y’$, y la ecuación anterior se puede expresar como $$z’+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x),$$ una ecuación diferencial lineal.

Esta sustitución se le ocurrió a Leibniz, mentor de los hermanos Jakob y Johann(quien también la había resuelto, pero por otro método), en 1696. El inconveniente es que eliminamos las solución singular $y=0$, pero teniéndolo en cuenta podemos utilizar este método.

Por ejemplo en el siguiente problema: El modelo de crecimiento de von Bertalanffy, plantea un modelo matemático de la población de peces, en concreto la predicción del crecimiento de un tipo de pez: $$\frac{dW}{dt}=\alpha W^{\frac{2}{3}}-\beta W,$$ donde $W=W(t)$ representa el peso del un pez, y $\alpha$ y $\beta$ son constantes positivas.

Como el problema presenta una ecuación de Bernoulli, podemos resolver fácilmente preguntas del tipo: la solución general de la ecuación, el peso límite del pez ($W_\infty=\lim_{t\to\infty}W(t)$), o una solución para el problema de valor inicial $W(0)=0$. Como veis, una potente herramienta.

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