Autovalores y autovectores

Todos sabemos que es difícil hacer entender los conceptos matemáticos, sobre todo cuando no vemos su aplicación directa. En este caso vamos a ver una razón para estudiar los autovalores y autovectores en aplicación a la transformación de imágenes.

La segunda imagen muestra podemos deformar la imagen del cuadro de tal manera que su eje vertical no ha cambiado.

El vector azul, representado por la flecha azul que va desde el pecho hasta el hombro, ha cambiado de dirección, mientras que el rojo, representado por la flecha roja, no ha cambiado. El vector rojo es entonces un vector propio de la transformación, mientras que el azul no lo es. Dado que el vector rojo no ha cambiado de longitud, su valor propio es 1. Todos los vectores de esta misma dirección son vectores propios, con el mismo valor propio. Forman el espacio propio de este valor propio.

Veamos que ocurre si cambiamos el vector rojo y mantenemos el azul.

¿Cómo realizamos el proceso? Sencillo, el la segunda imagen podemos ver que cada pixel se encuentra en una posición determinada, eligiendo una matriz que preserve la dirección de los vectores paralelos a uno determinado conseguimos la transformación que buscamos.

Este es un ejemplo de como la matriz A=[2 1; 1 2] conserva la dirección de los vectores paralelos a (1,1).

Todo esto lo podéis ver en la wikipedia: Eigenvalues and eigenvectors.

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