¿Existe el conjunto Universal?

Ya estamos a comienzo del curso lectivo, y que mejor para empezar que una de esas paradojas que nos hacen meditar sobre la complicación que plantean algunas preguntas sencillas. En este caso la pregunta es: ¿existe el conjunto Universal?; es decir, el conjunto que contengan a todos los conjuntos.

Hace casi un año planteábamos en estas páginas la paradoja de Sancho Panza, como introducción a la pregunta: ¿qué es un conjunto? Hoy el problema es similar, si existen los conjuntos, por qué no ha de existir el conjunto de todos ellos.

Abordemos el problema desde la naturaleza de su cardinal. Sin entrar en el detalle de todas nuestras afirmaciones (cosa que se deja para el lector, recodar que el propósito es despertar la curiosidad),  asumiremos que es cierta la proposición:

El cardinal de las partes de un conjunto  cualquiera $A$, es estrictamente mayor que el cardinal del conjunto $A$.

Escrito en términos matemáticos: $|A|<\wp(A)|$ .

Ahora bien, si designamos por $U$ el conjunto universal, al ser las partes de $U$, $\wp(U)$, un conjunto, se cumple que $\wp(U)\subseteq U$, y por tanto, $|\wp(U)|\leq |U|$. Pero por definición de las partes de un conjunto $U\subseteq \wp(U)$, luego $|U|\leq \wp(U)|$.

Felix Bernstein probó que si dos conjuntos cumplen que $|A|\leq |B|$ y  $|B|\leq |A|$, entonces ambos tiene el mismo cardinal. Por tanto, de $|\wp(U)|\leq |U|$ y  $|U|\leq \wp(U)|$, concluimos que $|U|=|\wp(U)|$. ¡Oh, contradicción!, pues la proposición afirma que el cardinal debe ser distinto.

Ahora surge las dudas del alumno: “pero, si no puedo construir el conjunto de todos los conjuntos… ¿qué conjuntos puedo construir?”. Muy sencillo, aquellos con los que trabajemos en clase,  los demás se los dejaremos a los teóricos de la Teoría de Conjuntos.

Aportación a la Edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza ZTFNews.

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