Caspar Wessel y la representación geométrica de los complejos

Se puede ser famoso escribiendo un sólo artículo cuya trascendencia reconozcan tus colegas. Para que así sea deben darse algunas coincidencias: que el artículo se publique en una revista de impacto, que te muevas en el círculo adecuado, y, lo más importante, que a ningún genio se le ocurra tu idea antes de que la comunidad se entere de que la has publicado. En cuyo caso la primicia no te otorga el derecho a la fama.

Puede que las cosas no sean exactamente así. Que publiques en una revista de poco difusión, que no te rodees de matemáticos y que algún famoso encuentre tu trabajo y lo saque a la luz; pero entonces no estaríamos hablando de  Caspar Wessel.

En 1796, Caspar Wessel, había trabajado durante años en cartografía: triangulando la posición de su tierra natal, Dinamarca, determinando estudios trigonométricos de ducados… Todo un extenso ejercicio que contribuyó al elaboración del primer mapa exacto del país. Este trabajo le hizo adentrarse en el álgebra, la trigonometría y la geometría, percatándose de una interpretación que hasta esos días nadie había observado. Lo plasmó en el único artículo matemático que publicó: Essai sur la représentation analytique de la direction. En él escribe:

“El presente artículo trata la cuestión de cómo podemos representar una dirección de forma analítica; esto es, cómo expresaremos rectas (segmentos rectos) de tal manera que en una ecuación que arroje como resultado una recta desconocida y otras conocidas, la longitud y la dirección de la recta desconocida puedan ser expresadas.”

Y puestos a representar decide:

“Sea +1 la unidad rectilínea positiva y $+\varepsilon$ otra unidad perpendicular a la unidad positiva tomada antes, teniendo ambas el mismo origen; entonces el ángulo de la dirección de +1 resulta igual a 0º, y por lo tanto para −1 es 180º, para $+\varepsilon$ es 90º, y para $-\varepsilon$ es −90º o 270º. Por la regla que establece que el ángulo de la dirección del producto es igual a la suma de los ángulos de los factores, tenemos:$(+1)(+1) = +1; (+1)(−1) = −1;$ $(−1)(−1) = +1;$ $(+1)(+\varepsilon) = +\varepsilon; (+1)(−\varepsilon) =$ $ −\varepsilon; (−1)(−\varepsilon) =+\varepsilon;$ $ (+\varepsilon)(+\varepsilon) = −1;$ $ (+\varepsilon)(−\varepsilon) = +1;$ $ (−ǫ)(−ǫ) = −1$. De este resultado se observa que $\varepsilon$ es igual al $\sqrt{−1}$, y que la divergencia del producto se determina de tal forma que ninguna de las reglas operativas comunes son contravenidas.”

Wessel acababa de representar los número complejos como puntos en el plano, indicando que cualquier segmento recto podía representarse mediante $a+b\varepsilon$, siendo su multiplicación
$$(a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon)=(ac-bd)+(ad+bc)\varepsilon.$$

Hasta aquí tenemos para, cuanto menos, nuestros quince minutos de fama, salvo que Caspar Wessel lo publicó en una revista con muy poco impacto (es decir, sin el JCR de la época), y a todos pasó desapercibido.

Tanto que al francés Jean Robert Argand se le ocurrió la misma idea y la enseñó entre los matemáticos franceses. Pero, quizás por esos convulsos años 1806-1813, donde Argand presentó sus ideas, no se difundieron los suficiente para que el mayor genio de las matemáticas no le incase el diente, engullendo todo el mérito para él, dejando al resto sin una mención hasta pasado casi un siglo.

Carl Friedich Gauss trató los números complejos como puntos en el plano en 1831, omitiendo la idea de segmento y representando el número a+bi como (a,b). De modo que sentenció:

“Este tema (de las magnitudes imaginarias) ha sido tratado hasta ahora desde un punto de vista erróneo, rodeado de una misteriosa oscuridad, y esto es debido a la utilización de una notación inadecuada. Si, por ejemplo, +1, −1, $\sqrt{−1}$ hubieran sido denominadas directa, inversa y unidad lateral respectivamente, en lugar de positiva, negativa e imaginaria (o incluso imposible) tal oscuridad hubiera estado fuera de lugar.”

Amén.

 

Esta entrada contribuye a la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blogResistencia Numantina.

Referencias

Did you like this? Share it:
This entry was posted in Historia and tagged , . Bookmark the permalink.

2 thoughts on “Caspar Wessel y la representación geométrica de los complejos

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *