Primeros desarrollos en serie (VIII)

El mismo año en que Mercator publicó su trabajo sobre la serie logarítmica, William Brouncker (1620 – 1684) probó que el área encerrada por la hipérbola $(x+1)y=1$, el eje X y las ordenadas $x=0$ y $x=1$ venía dada por la serie infinita $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$$ o lo que es lo mismo por $$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{5\cdot6}+\cdots$$ fórmula que se obtiene de la anterior sumando los términos dos a dos.

Este resultado de Brouncker es el mismo de Mercator para el caso t=1. Brouncker sumó los suficientes térmimos de la serie como para llegar al valor 0.69314709, constante sobre la que dijo que era proporcional a $\log 2$. Exactamente Brouncker escribió, ‘Therefore the logar. of 10 is to the log. of 2 as 2,302585 to 0,693147’, tal y como se recoge en The Philosophical Transactions of The Royal Society, Vol II, página 236. Obviamente hoy conocemos que dicha proporcionalidad es una igualdad, ya que como todos sabemos, el logaritmo que aparece en la cuadratura de la hipérbola es el logaritmo en base e.

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