Primeros desarrollos en serie (VII)

Teniendo en cuenta que Mercator estableció la serie logarítmica sólo con palabras, como hemos señalado con anterioridad, podemos hacernos una idea de las dificultades que encontraríamos para seguir su razonamiento a partir del texto original. Sin embargo, Wallis en su revisión de Logarithmotechnia publicada en The Philosophical Transactions en 1668 presenta una exposición más detallada del proceso seguido por Mercator con una notable mejora en la notación. Además Wallis sí que menciona, cosa que no hizo Mercator, la necesidad de que $x<1$ para la convergencia de la serie. Wallis añade además el desarrollo de otra serie infinita, desarrollo que con la notación actual podríamos escribir $$\int_0^x\frac{dt}{1-t}=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\cdots$$

En términos actuales el razonamiento de Mercator sería como sigue:

Dividamos el intervalo $[0,x]$ en $n$ subintervalos de igual amplitud $h=x/n$ y construyamos los rectángulos circunscritos con base en los subintervalos.

Las alturas de los rectángulos son $$1,\frac{1}{1+h},\frac{1}{1+2h},\cdots,\frac{1}{1+(n-1)h}.$$ Desarrollando cada una de las alturas como series geométricas tenemos que el área buscada es

$A\approx h+\sum_{j=1}^{n-1}\frac{h}{1+jh}$

$=h+h\left(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kh^k\right)+h\left(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k(2h)^k\right)+$

$+\cdots+h\left(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k((n-1)h)^k\right)$

Agrupando los términos con las mismas potencias de $h$ y sustituyendo $h$ por $\frac{x}{n}$ obtendremos:
$$A\approx nh-h\left[h+2h+\cdots+(n-1)h\right]$$ $$+h\left[h^2+(2h)^2+\cdots+(n-1)^2h^2\right]$$ $$+\cdots+$$ $$+(-1)^kh\left[h^k+(2h)^k+\cdots+(n-1)^kh^k\right]+\cdots =$$ $$=x-h^2\left[1+2+\cdots+(n-1)\right]$$ $$+h^3\left[1^2+2^2+\cdots(n-1)^2\right]$$ $$+\cdots+$$ $$+(-1)^kh^{k+1}\left[1^k+2^k+\cdots(n-1)^k\right]+\cdots=$$ $$=x-\frac{x^2}{n^2}\left(\sum_{i=1}^{n-1}i\right)+\frac{x^3}{n^3}\left(\sum_{i=1}^{n-1}i^2\right)+\cdots$$ $$+(-1)^k\frac{x^{k+1}}{n^{k+1}}\left(\sum_{i=1}^{n-1}i^k\right)+\cdots$$
En su Aritmética Infinitorum de 1656 Wallis había probado que
$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\sum i^k}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}$$

Tomando límites término a término obtenemos la serie $$A=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$

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