Primeros desarrollos en serie (V)

Nicolaus Mercator (1620 – 1687) nació en Holstein, entonces parte de Dinamarca, aunque pasó la mayoría de su vida en Inglaterra. Mercator fue un distinguido matemático, físico y astrónomo, aunque hoy en día su trabajo haya sido injustamente olvidado. En 1651 publicó las obras Trigonometria sphaericorum logarithmica, Cosmographia y Astronomica sphaerica. Ya en 1668 Mercator publicó Logarithmotechnia. Esta obra constaba de tres partes y en la tercera de ellas Mercator presenta en sociedad el desarrollo de $log(1+x)$ (quizás un pequeño grupo de elegidos, colegas de Newton, ya habían tenido la oportunidad de conocer el resultado). Mercator fue además el primero en utilizar la expresión logaritmo natural, sin mencionar en ningún momento al número $e$, número que como vemos a largo del texto, se resiste a aparecer explícitamente aunque podamos sentir su presencia en muchas de las fórmulas escritas hasta ahora.

Detengámonos un poco en la Logarithmotechnia de Mercator. Como indicamos anteriormente, la obra tiene tres partes, partes muy desiguales ya que las dos primeras, que fueron publicadas separadamente en 1667, están dedicadas en exclusiva al cálculo de logaritmos mientras que en la tercera aparece el desarrollo en serie del logaritmo.

En las dos primeras partes Mercator procede de una manera muy intuitiva dividiendo el intervalo $[1,10]$ en 10 millones de partes mediante medias geométricas. A esas partes las llama \textit{ratiunculae}. De esta manera el logaritmo de un número entre 1 y 10 vendrá determinado por el número de ratiunculae existentes entre 1 y el número dado.

Para hacernos una idea de como procedió Mercator veamos como calculó $\log_{10}1.005$. Llamando $g=1.005$ Mercator encontró elevando sucesivamente al cuadrado que $g^{256}$<10<$g^{512}$. Refinando después los cálculos Mercator obtiene que $g^{461}$<10<$g^{462}$. Finalmente mediante interpolación obtiene que $g^{461.6868}\approx10$ por lo que el número de \textit{ratiunculae} entre $1$ y $1.005$ es $10^7/461.6868=21659,7$ de donde obtiene que $\log_{10}1.005=0.00216597$ (su valor real es $0.00216597$)

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