Primeros desarrollos en serie (IV)

Newton era consciente de los resultados de Saint Vincent y sabía que el área encerrada bajo la hipérbola $y=\frac{1}{x}$, el eje $X$ y las rectas $x=1$ y $x=t$ era una función logarítmica, llamémosle $\log t$ aunque ni Saint Vincent, ni Newton mencionaron la base del logaritmo. Por tanto, el área encerrada por la hipérbola $y=\frac{1}{x+1}$ el eje $X$ y las rectas $x=0$ y $x=t$ debía obedecer a la fórmula $\log(1+t)$.

De esta manera Newton, aplicando la fórmula de Fermat a la ecuación $$(1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots$$ obtuvo la famosa y conocida serie $$\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}+\cdots$$

Como ya sabemos Newton fue reticente a lo largo de toda su vida a publicar sus resultados, y en este caso no hizo excepción alguna, este es el motivo de que en la mayoría de los textos se reconozca a Nicolaus Mercator como el descubridor de la fórmula $$\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}+\cdots$$

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