Primeros desarrollos en serie (III)

Anteriormente hicimos referencia a cómo en la carta donde Newton explicaba el teorema del binomio, le decía a Leibniz diciéndole que el cálculo de raíces resultaba más corto aplicando su teorema. Veamos brevemente cómo aplicaba Newton la fórmula al cálculo, por ejemplo de $\sqrt{7}$. Observemos que $$7=9\left(\frac{7}{9}\right)=9\left(1-\frac{2}{9}\right)$$ y que por tanto $$\sqrt{7}=\sqrt{9\left(1-\frac{2}{9}\right)}=3\sqrt{1-\frac{2}{9}}$$
Reemplazando ahora la expresión del interior de la raíz por los seis primeros términos del desarrollo escrito anteriormente conde $x=\frac{2}{9}$ obtenemos que $$\sqrt{7}\approx3\left(1-\frac{1}{9}-\frac{1}{162}-\frac{1}{1458}-\frac{5}{52488}-\frac{7}{472393} \right)=2.64576…$$ resultado que sólo se diferencia del valor exacto de $\sqrt{7}$ en una cienmilésima.

Evidentemente el mismo proceso se puede repetir para calcular raíces cúbicas, cuartas, etc. Con este método Newton no sólo conseguía extraordinarias aproximaciones de números irracionales sumando sólo 5 fracciones, sino que además el desarrollo del binomio le permitía saber exactamente qué fracciones eran.

Cerremos este interesante paréntesis y volvamos a la hipérbola. Newton estudio la ecuación $(x+1)y=1$ cuya gráfica es como todos sabemos, la de la hipérbola $xy=1$ desplazada una unidad a la izquierda. Newton escribió esta ecuación como $(x+1)^{-1}$ y aplicando el desarrollo visto anteriormente, obtuvo que $$(1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdot \cdot \cdot$$

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