Primeros desarrollos en serie (II)

Debemos tener en cuenta que Newton no demostró la validez de la fórmula, sino que sólo conjeturó que debía ser así. Por ejemplo, para comprobar la validez de la expresión anterior, Newton multiplicó en cruz para obtener cancelando términos la igualdad $$(1+3x+3x^2+x^3)(1-3x+6x^2-10x^3+…)=1$$

Si curiosa es la fórmula de Newton cuando los exponentes son negativos, no lo es menos cuando los exponentes son fraccionarios y resulta además sorprendente la aplicación que Newton encontró.

Consideremos, por ejemplo la expresión $(1-x)^{1/2}$. Dejamos como ejercicio la aplicación de la fórmula para obtener $$\sqrt{1-x}=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{128}x^4-\frac{7}{256}x^5- \cdot \cdot \cdot$$

Para comprobar la validez de esta fórmula Newton elevó la expresión obtenida al cuadrado y cancelando términos obtuvo $$\left(1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{128}x^4-\frac{7}{256}x^5- \cdot \cdot \cdot\right)^2=$$ $$1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{8}x^2-\cdot \cdot \cdot=$$ $$1-x+0x^2+0x^3+\cdot \cdot \cdot$$

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