El número e en la obra de Euler (I)

EL pasado 15 de octubre os hablé de la Primera conferencia sobre Historia de las Matemáticas, y en la cual el profesor Federico Ruiz López nos hablé del número e. Hoy inicia una colaboración con nosotros exponiéndonos en una serie de artículos parte de lo que nos comentó.

 

Las siguientes líneas son una transcripción bastante fiel de lo que nos cuenta Leonhard Euler sobre exponenciales y logaritmos. El capítulo VII de su obra "Introducción al Análisis de los Infinitos", constituye la presentación en sociedad de una de las constantes más importantes de la matemática, y una constante fundamental en cálculo: el número e.

Trataremos de mostrar de la manera más sencilla posible y con la notación empleada en la época, cómo se crearon de la nada dos de las funciones más importantes de la Matemática: la función exponencial y la función logarítmica.

El proceso ideado por Napier para el cálculo de logaritmos (decimales) era largo y tedioso. Euler nos proporciona un método mucho más potente para determinar los logaritmos en cualquier base y con un elevado número de cifras decimales. Toda una genialidad.

Escojamos un número cualquier a (constante mayor que 1) como base de nuestro sistema de logaritmos. De todos es conocido que

$ a^{0}=1 $

Si $\omega$ representa un número infinitamente pequeño, es claro que

$ a^{\omega} = 1 + \psi $

Aquí Euler razona que el valor de $ \psi $ puede ser mayor o menor que 1. En cualquier caso este valor depende de a, en buena medida. Entonces se le ocurre la siguiente genialidad. Pongamos

$ a^{\omega} = 1 + k \omega $

Si piensan un poco verán aquí que en el fondo Euler considera la exponencial como una función que se comporta a pequeña escala de un modo lineal. En sí, estamos hablando de los fundamentos del cálculo infinitesimal, donde las curvas, son en definitiva suma de pequeños segmentos rectilíneos (localmente euclídeos).

Debe existir una estrecha relación entre a y k, de suerte que $k=k(a)$ y viceversa. Lo que hace Euler es estudiar con profundidad qué tipo de relación es ésta.

Si consideramos i un número infinitamente grande, es claro que

$iw=z \rightarrow w=\frac{z}{i} $

porque un número infinitamente grande por un número infinitamente pequeño nos puede generar cualquier número (complejo). Este hecho hoy día lo representamos con la indeterminación $ 0 \cdot \infty $. Pero entonces

$ a^{z} = a^{iw} = (1+k\omega)^{i} = \left( 1 + \frac{kz}{i} \right)^{i} $

(Autor Federico Ruiz López.)

Enlaces de interés:

 

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