El binomio de Newton por inducción

Tengo una especial predilección por las matemáticas de los siglos XVII y XVIII, por ello vamos a continuar con la demostración de un clásico: el binomio de Newton. Esta vez demostrado por inducción.

Consideremos la proposición matemática

y veamos que ocurre para n=1:

La proposición se cumple. Ahora supongamos que se cumple para cierto n=k; es decir,

Veamos que también se cumple para n=k+1; es decir,

Para demostrarlo, podemos calcular $ (a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^k$ y aplicar la hipótesis de inducción para $ (a+b)^k$. Por tanto,

Con lo que queda demostrado para todo n entero positivo.

Referencia:

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8 thoughts on “El binomio de Newton por inducción

  1. Muchas gracias por la demostración, me ha sido muy útil. Sin embargo, no entiendo por qué en la 6ª linea de la última fotografía, en los términos que no son sumatorios, pasa de k a k+1. Le estaría muy agradecida si pudiera responderme.
    Gracias

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  4. No entiendo de donde sale la cuarta linea. Podrias hacer el proceso un poco mas lento en esa linea? Sobre todo de la segunda sumatoria. Me confunde de donde sale el k+1 e i=1, y como eso afecta a la combinatoria.
    Gracias.

    • $$\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}a^{k-i}b^{1+i}=$$
      $$=\binom{k}{0}a^{k-0}b^{1+0}+\binom{k}{1}a^{k-1}b^{1+1}+\ldots+\binom{k}{k}a^{k-k}b^{1+k}$$
      $$=\binom{k}{1-1}a^{k-(1-1)}b^{1+(1-1)}+\binom{k}{2-1}a^{k-(2-1)}b^{1+(2-1)}+\ldots$$ $$+\binom{k}{(k+1)-1}a^{k-((k+1)-1)}b^{1+((k+1)-1)}=$$
      $$=\sum_{i=1}^{k+1}\binom{k}{i-1}a^{k-(i-1)}b^{i}$$

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