Leibniz y las series telescópicas

Todos conocemos que las series telescópicas son aquellas cuyo término general es el resultado de una resta de términos de otra sucesión, por ejemplo $a_n=b_{n+1}-b_n$. Ahora nos trasladaremos hasta 1672 cuando Leibniz conoce a Huygens y este le traslada su afición por las matemáticas.

Huygens le propone un problema curioso, cómo calcular la suma

$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+…+\frac{2}{n(n+1)}+…$

Un curioso de los números habrá visto los números triangulares en el problema, y, sí, el reto era calcular la suma de los inversos de los números triangulares. En ese siglo les dieron por resolver la sumas de los inversos de toda serie numérica conocida.

Leibniz observó que

$\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$,

luego

$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+…=2\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+…=2$.

Implícitamente había utilizado una suma telescópica. Como amateur no podemos pedirle rigurosidad en su hallazgo, que, por cierto, le aventuró a sentirse capacitado para resolver cualquier suma (en otra ocasión hablaré de ello); no obstante, es la primera vez que veo la aplicación de la serie telescópica.  ¿Alguien la ha visto antes?

Esta entrada será nuestro aporte de la VII Edición del Carnaval de Matemáticas. En este caso el anfitrión será El Máquina de Turing.

 

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