Los griegos y las series

El pasado día comenté que los griegos no trabajaban con el concepto de infinito, sin embargo si conocían las sumas parciales. Con anterioridad los babilonios usaron sumas de progresiones geométricas, utilizando resultados como

$ \sum_{k=0}^n 2^k=2^n+(2^n-1)$

y,

$ \sum_{k=1}^n k^3=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2$

El historiador Otto Neugebauer postula que los babilonios conocían esta igualdad resultado de sus trabajos con las ecuaciones cúbicas.

Una vez más la primera piedra consistente en la búsqueda del infinito la puso Arquímedes con su método de exhaución. El redescubrimiento en la edad media de este método llevó a la formulación de las integrales como sumas infinitas, y por tanto a considerar estudiar el cálculo de las series. El escocés James Gregory(1638-1675) aplicó las técnicas que se estaban destilando en pos de resolver la paradoja de Zenón; trabajó con sumas infinitas que dan resultados finitos. De sus estudios salió la fórmula

$ \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}$

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