Aquiles y la tortuga

Siempre me ha gustado como Tom Apostol explica las matemáticas y su libro de Cálculo es un clásico. Me cuesta cada vez que nos piden actualizar la bibliografía para los alumnos, negarme a incluir su libro porque sea de más de 10 años. ¿Acaso las matemáticas básicas envejecen?

La cuestión es que Apostol comienza el tema de Series con una paradoja de Zenón, en concreto la que afirmaba que un corredor nunca podría recorrer la distancia de un estadio. El ejemplo es esclarecedor del tema y tiene como base el desconocimiento del concepto infinito en la época griega. Lo veremos con otras de las paradojas más conocidas: Aquiles y la tortuga.

Zenón de Elea fue un filósofo griego nacido en Elea (¿490-430? adC), años antes de que Euclides plasmara todo el conocimiento matemático de los griegos en sus Elementos. El concepto de las matemáticas que ellos tenía era básicamente geométrico y entre ellos el concepto de distancia equivalía a segmento.

Para la concepción matemática de los griegos el problema se traducía en una suma de segmentos: De partida la tortuga
tenía un segmento más que Aquiles,

Cuando Aquiles recorriese el segmento de $ a_1$ la tortuga tendría otro segmento,

En el siguiente paso, ocurriría lo mismo.

De este modo, el problema radicaba en que, por pequeños que fuesen los segmentos, la tortuga siempre tendría un segmento más que Aquiles, y por tanto Aquiles nunca pillaría a la tortuga; en el infinito la suma de los segmentos de la tortuga siempre era mayor:

$ a_1+a_2+\ldots+a_n+\ldots< a_1+a_2+\ldots+a_n+a_{n+1}+\ldots$

Hoy sabemos que este planteamiento no es correcto, nosotros manejamos un concepto de infinito que los griegos no poseían. Ahora podemos afirmar que veinte siglos después Aquiles alcanzó a la tortuga.

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