La fórmula de De Moivre

Repasando tareas y respuestas de mis alumnos, he vuelto a recordar la vieja relación entre Abraham De Moivre y Euler. Hoy se suele demostrar la fórmula de De Moivre utilizando la fórmula de Euler; sin embargo, cronológicamente no fue así.

Euler conocía $ (\cos(\theta)\pm i \sin(\theta))^n=\cos(n\theta)\pm i \sin(n\theta)$, de hecho De Moivre la escribió antes de final del XVII. De dicha fórmula fue donde Euler obtuvo una fórmula para el coseno

$ \cos(n\theta)=\frac{(\cos(\theta)+ i \sin(\theta))^n+(\cos(\theta)- i \sin(\theta))^n}{2}$

y otra para el seno

$ \sin(n\theta)=\frac{(\cos(\theta)+ i \sin(\theta))^n-(\cos(\theta)- i \sin(\theta))^n}{2i}$

A continuación tomó θ como infinitesimal y n como infinitamente grande. Dedujo que las relaciones entre θ y n son tales que su producto es finito, θn→ν, y añadiendo que

$ \cos(\theta)\rightarrow 1,\quad \sin(\theta)\rightarrow \theta=\frac{\nu}{n},$

resuelve que

$ \cos(\nu)=\frac{e^{i\nu}+e^{-i\nu}}{2},\quad \sin(\nu)=\frac{e^{i\nu}-e^{-i\nu}}{2i}.$

Y de aquí a la fórmula de Euler en un plis-plas.

He incluido esta entrada como aportación a la segunda edición del Carnaval de matemáticas organizada por Juan Pablo.

Enlaces de interés

 

Did you like this? Share it:
This entry was posted in Historia and tagged , . Bookmark the permalink.

3 thoughts on “La fórmula de De Moivre

  1. Pingback: Los recursos de la fórmula de De Moivre « La aventura de las matemáticas

  2. Pingback: Potencia de un complejo usando De Moivre « La aventura de las matemáticas

  3. Pingback: Los recursos de la fórmula de De Moivre « pimedios – la aventura de las matemáticas

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *