El concurso de Pascal

Por  Marcelo Dos Santos

Un día de 1658, Blas Pascal se despertó con un horrible dolor de muelas, y comenzó a pensar en la cicloide para ver si desconcentrarse del dolor lo ayudaba en algo. Mágicamente, el dolor se fue, y, en agradecimiento, el matemático dedicó los siguientes ocho días a estudiar la cicloide en profundidad. Luego de redescubrir casi todo lo que los anteriores habían hallado con respecto a esta curva y de encontrarle unas cuantas propiedades nuevas, Pascal decidió promover un concurso que consistía en resolver algunos problemas de cicloides. Los dos mejores trabajos serían premiados, y actuarían como jurados Roberval y el mismo Pascal. Recibieron dos respuestas correctas, firmadas una por Wallis y la otra por Lalouvere, mas los jueces consideraron que no cumplían las expectativas y los premios fueron declarados desiertos.

¿Qué hizo Pascal? Publicó sus propias soluciones sobre la cicloide, además de un ensayo titulado "Historia de la Cicloide" donde tomaba partido por Roberval en su vieja disputa con Torricelli acerca de la precedencia de los descubrimientos sobre la sorprendente curva.

Sin embargo, toda esta embarazosa cuestión terminó rindiendo sus frutos: Christiaan Huygens, que estaba tratando de mejorar su diseño de relojes (su gran pasión, aparte de la matemática), se percató de que el período de oscilación del péndulo no es del todo independiente de la amplitud de su recorrido. Inspirado en el asunto de Pascal y el concurso, el holandés pensó en qué pasaría si el péndulo era obligado a seguir una trayectoria cicloidal. Previsiblemente, descubrió que ese sistema sí era perfectamente independiente de la amplitud. Huygens había descubierto que las cicloides son "tautócronas", es decir que el tiempo que una partícula tarda en recorrer la distancia desde cualquier punto de la cicloide hasta el punto más bajo de la curva es siempre el mismo, no importa si lo iniciamos en la parte más alta de la curva, en la mitad o desde un punto muy cercano a la base.

No terminó así el asunto, puesto que llegamos ahora a la noche de 1696 en que Johann Bernoulli propone a los honorables miembros de la Royal Society que determinen la braquistócrona, con el invaluable libro de cuatro chelines como acicate.

"Dados dos puntos A y B sobre un plano vertical, débese determinar la trayectoria AMB de una partícula M a lo largo de la cual, descendiendo por su propio peso, M se moverá de A a B en el menor tiempo posible". En pocas palabras, como dijimos, "determine la braquistócrona".

Si creemos a Johann (y no a su hermano), éste descubrió algo que lo movió a escribir, en enero de 1697, una carta a Huygens en la que decía: "Te vas a quedar petrificado cuando te diga que la cicloide es, precisamente, la braquistócrona solicitada". Es decir, que el camino que utiliza un tiempo más corto para un móvil que cae por gravedad tiene forma de cicloide.

Como se ve en el diagrama anterior, el sentido común (que normalmente conduce a error), nos dice que el camino más rápido para que la bolita pase de A a B es un plano inclinado AB. Sin embargo, el braquistócrono es la cicloide ilustrada. Claro, Newton, sabía que la mayor aceleración en la parte más vertical de la curva aceleraría el móvil más que la aceleración constante de un plano inclinado, lo cual demostró utilizando el cálculo infinitesimal. De hecho, su solución de este problema se considera el primer resultado exitoso de sus "fluxiones" (él llamaba así al cálculo).

Así como los hermanos Bernoulli se pegaban entre ellos para ver quién descubría las cosas antes, y como Leibniz decía que él había descubierto primero el cálculo infinitesimal (aunque Newton, como dije, lo había hecho antes en silencio), sucedió que Johann y su hermano apoyaban a Leibniz en su reclamo. Hay quien dice, entonces, que el envío del desafío al viejo león fue una forma de burlarse de él, pensando que no sería capaz de resolverlo. La ladina carta de Bernoulli, inocentemente entregada por Halley, decía: "Hay pocos que son capaces de resolver mis excelentes problemas, especialmente muy pocos entre esos matemáticos que han visto crecer su fama a través de dorados teoremas que ellos creen que nadie más conoce, aunque hayan sido previamente publicados por otros…". Era, en realidad, una directa acusación (injusta, además) a Newton de plagiar el trabajo de Leibniz.

Halley afirma que Newton, ofendido, no durmió hasta tener resuelto el asunto a las cuatro de la mañana, sabedor de que era imposible que un problema resuelto por Bernoulli y Leibniz le permaneciera inaccesible.

Newton diría más tarde, consciente de que su solución era mejor que la de los otros: "Me molesta que me desafíen e insulten algunos que no son más que extranjeros en la matemática…".

Bernoulli contaba con una ventaja sobre Newton: el inglés resolvió la braquistócrona sólo con un lápiz, un papel y su cerebro, mientras que Bernoulli lo había hecho a través de la observación experimental, estudiando la trayectoria de un rayo de luz a través de un medio no uniforme. Demostró cómo esta trayectoria se relacionaba con el problema mecánico de un objeto moviéndose a velocidades variables y comparó la versión óptica con la mecánica.

La comparación era que en un caso, la densidad óptica es inversamente proporcional a la velocidad, en tanto que la densidad de un medio físico guarda la misma proporción con la velocidad de caída libre de un objeto. "De esta forma", escribió el ególatra Bernoulli, "he resuelto dos difíciles problemas: uno óptico y otro mecánico…". Por supuesto que su solución se basa en la ley de Galileo de cuerpos en caída libre (según la cual las velocidades de caída son la raíz cuadrada de la altura). También da crédito a Huygens: "Antes de terminar, expresaré mi admiración por el hecho de que la tautócrona de Huygens y mi braquistócrona sean, inesperadamente, la misma curva. Encuentro especialmente admirable que esta coincidencia sólo es posible bajo la hipótesis de Galileo, de lo que obtenemos una prueba de que aquélla es correcta. La naturaleza tiende siempre a actuar de la manera más simple posible, y así permite, en este caso, la existencia de una sola curva que cumple ambas funciones, condiciones bajo las cuales, con cualquier otra hipótesis, necesitaríamos dos curvas…".

Bernoulli era un genio, pero no uno incomparable. No tenía idea, por ejemplo, de que, además de las propiedades que tanto lo entusiasmaban, la cicloide, aparte de ser la tautócrona y la braquistócrona, es la única curva posible que describe la caída libre gravitacional radial contra el tiempo propio en la Teoría de la Relatividad General. En la frase citada más arriba, además, puede reconocerse el puntapié inicial del Principio de Maupertuis (o "Principio de la mínima acción").

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