La Helena de los geómetras

Por  Marcelo Dos Santos

Hagamos rodar un círculo sobre una superficie plana y observemos la trayectoria que describe un punto cualquiera del mismo.

En otras palabras, si marcamos el punto más bajo de un círculo que descansa sobre una línea horizontal, y movemos el círculo, haciéndolo rodar (sin fricción ni rozamiento), el punto marcado en el círculo se desplazará hacia arriba, alcanzará una altura máxima —igual al diámetro del círculo—, y comenzará a descender hasta tocar de nuevo la línea horizontal, en un lugar situado a una distancia del punto original igual a la circunferencia del círculo.

Pues bien: la curva descripta por el punto en cuestión, que se repite tanto como sigamos haciendo girar el círculo, se llama cicloide.

La cicloide tiene varias particularidades, como la de describir una caída libre gravitatoria. Además, es una de las pocas curvas que funcionan de la misma manera tanto en la mecánica newtoniana como en la relatividad general, en términos de su tiempo propio de caída libre.

La cicloide es una curva tan particular, que fue estudiada por todos los matemáticos importantes, en todas las épocas. Provocó tantas querellas, guerras, peleas y reyertas entre ellos, que se la conoce como la "Helena" de los geómetras.

El primero en interesarse por ella fue Charles Bouvelles, quien la creyó un medio mecánico para lograr la cuadratura del círculo.

Más tarde, Galileo Galilei y su alumno Viviani estudiaron la cicloide, obteniendo a partir de ella un método de construcción de tangentes. Galileo se dio cuenta, además, de que la cicloide era el mejor de los perfiles posibles para construir los arcos de los puentes.

El sabio italiano escribió en 1640: "He estado queriendo describir esa línea curva durante más de cincuenta años, y la admiré por su curvatura, ideal para soportar los arcos de un puente. Hice varios intentos para demostrar que el espacio incluido entre ella y su cuerda era tres veces más grande que el círculo que describía la cicloide, pero estaba errado. No era tres veces mayor, aunque la cifra no estaba lejos de tres".

Mas Galileo se equivocaba: de hecho, la superficie del área definido por la cicloide es tres veces la del círculo generatriz. Tal extremo fue demostrado al mismo tiempo por Torricelli, Roberval y Blas Pascal. El error de Galileo se debió a que, en vez de calcular la superficie por métodos geométricos, trató de medir el área construyendo modelos de cicloides y pesando los mismos.

Mersenne hablaba con todos sus corresponsales de las extrañas propiedades de la cicloide, y, precisamente, su alumno Roberval fue uno de los que demostró la superficie del arco cicloidal.

Poco tiempo después se encontró el centro de gravedad y se descubrieron también los volúmenes de los sólidos que se obtienen rotando una cicloide alrededor de su base y de su eje.

En toda esta investigación se ocuparon los más importantes matemáticos de la época, incluyendo al gran René Descartes.

Ganando la Cátedra de Matemáticas del College Royal en 1634 gracias a sus técnicas investigativas aplicadas a la cicloide, Roberval consiguió mantener el cargo durante cuarenta años. Mas la "Helena de los geómetras" metería la cola…

El francés había llegado a su puesto mediante concurso público, que incluía una competición matemática trienal, pero el reglamento no exigía explicar los métodos utilizados. El titular de una cátedra (que era quien elegía los problemas del concurso) tenía, pues, muy buenas razones para mantener sus procedimientos ocultos, porque muy bien podían ser utilizados por otros para desbancarlo tres años más tarde.

Roberval, al no querer explicar cómo había llegado a sus conclusiones, perdió el derecho de precedencia sobre varios descubrimientos, entre ellos la superficie del arco de la cicloide, y se vio envuelto en numerosas querellas.

Uno de los que lo demandó por el asunto de nuestra Helena fue Evangelista Torricelli, quien había publicado en 1644 una explicación completa (obtenida independientemente) del área y las tangentes de la cicloide. No es sorprendente que Torricelli hubiese llegado por sí mismo a las mismas conclusiones, ya que había sido asistente de Galileo, quien posiblemente le transmitió sus conocimientos sobre el tema.

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