Abr 24

Descartes: ¿filósofo o matemático?

Statue de René DESCARTES - Jean-Charles GUILLO.jpg

Estatua de René Descartes en La Haye-Descartes. De Jean-Charles GUILLOTrabajo propio, Dominio público, Enlace

Basta comenzar a  escribir en el buscador de Google la palabra «descartes» para que aparezca: René Descartes filósofo. Y entras en la wikipedia y …

«…fue un filósofo, matemático y físico francés».

Pero qué fue antes, ¿filósofo o matemático? Esta pregunta es una mera reivindicación de un personaje con nombre propio en la historia de las matemáticas, que ha perdurado más con su faceta de filósofo que de matemático.

Miremos muchos de los artículos que aparecen buscando Descartes en google, por ejemplo el de Bibiana García y Daniel Arias Mosquera para Openmind BBVA, donde escriben

Hoy en día, Descartes es considerado no solo un filósofo ilustre, sino también un destacado matemático y físico.[Descartes y el renacimiento de la geometría]

Anteponen su faceta de filósofo a la de matemático y físico. ¿No debería ser al revés?

No podemos confundir la dedicación de Descartes a las matemáticas como la de su adversario intelectual Fermat. El gascón(mirar Las tangentes del Folium) era un jurista aficionado a las matemáticas; pero Descartes no era un filósofo aficionado a las matemáticas.

Descartes estudió derecho en la Universidad de Poitiers, de la que salió licenciado, que por otra parte era muy común en el siglo XVII. Al terminar sus estudios conoce a  Isaac Beeckman, quien lo introduce en la física y en las matemáticas. Beeckman tuvo de profesor a Simon Stevin (en la wikipedia nos dicen que llegó a ser considerado como una suerte de Leonardo da Vinci del norte). Cuentan en el prólogo de [2] que Descartes le preguntó por un reto matemático, muy frecuente en aquel siglo, y Beeckman le incitó a resolverlo, cautivando, al joven Descartes, con el estudio de las matemáticas. De la mano de Beeckmanle, Descartes tendría una gran revelación. El 26 de marzo de 1619, comunica a su mentor

«acerca de una ciencia, enteramente nueva, que le iba a permitir resolver todos los problemas que se pueden proponer acerca de cualquier clase de cantidades, continuas o discontinuas, cada una de acuerdo con su naturaleza…, de forma que, en Geometría, casi nada quedaría ya por descubrir».[2]

Descartes está hablando de la Geometría Analítica, o como Voltaire lo describiría: «del método que permite asignar ecuaciones algebraicas a las curvas»[2].

En, 1620, con la geometría analítica en su cabeza, Descartes entra en contacto con el matemático alemán Johann Faulhaber, que introdujo los logaritmos de Henry Briggs en Alemania. Y otros dos años más tarde se le ve frecuentando el círculo de  Marin Mersenne. Este monje se trataba con otros estudiosos de la ciencia, intercambiando ideas y creando un medio de comunicación entre ellos, él mismo. Su círculo de amistades fue conocido como la Académie Parisiensis o Académie Mersenne(Marin Mersenne). Creo no equivocarme al decir que la geometría analítica surgiría de las discusiones que fomentó Mersenne entre Descartes y Fermat, dos de las grandes genios que ese carteaban bajo la dirección de Mersenne (como si el monje hiciese de la figura de un editor actual) y entre los que también estaban Galileo Galilei, Christiaan Huygens, Gilles de Roberval, Desargues, Étienne Pascal y, más tarde, su hijo Blaise Pascal.

Sigamos con Descartes. ¿Qué fue antes: sus devaneos con las matemáticas o su relación con la filosofía? Ambos se convirtieron en pasión y Descartes comienza a desarrollar ideas tanto filosóficas como matemáticas, aunque parece ser comedido en cuanto a su difusión. Posiblemente «impactado por la reciente condena al científico italiano»(el proceso de Galileo en 1633)[2], piensa que sus teorías podrían llevarlo a la cárcel o, incluso, a la muerte. No obstante, en las matemáticas no había encontronazos punibles, aunque sí dolorosos para su vanidad(¿La tenía?, seguro).

Es posible que Descartes tuviese otros encontronazos más preocupantes. Se cuenta que era gran espadachín y se habla de un duelo. Erróneamente, en mi opinión, se hace entender que tras el duelo dijo: «no he hallado una mujer cuya belleza pueda compararse a la de la verdad», infiriendo que el duelo fue causado por una mujer(preludio del romanticismo, miremos a su contemporáneo Cyrano de Bergerac). Pero, como nos dice [2], no necesariamente esta frase tiene ese sentido, pues ni hay rasgos históricos, biográficos o autobiográficos de un duelo, ni nada que relacione la frase con una supuesta mujer. Incluso en [2] se plantea la pregunta si esa mujer era una metáfora para hablar de la Iglesia Católica. Recordemos que Descartes será el padre del racionalismo, la corriente filosófica que acentúa el papel de la razón en la adquisición del conocimiento.

En 1637 publica(curiosamente sin firmarla, es posible que todavía temeroso) su gran obra: Discurso del método para dirigir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias. Es pura filosofía, sin embargo, incluye tres apéndices: la géométrie, la dioptrique y les météores. Para los matemáticos, ese apéndice, la géométrie, será la base de la geometría analítica, que junto con los trabajos de Fermat se desarrollará en su forma para dar paso al cálculo de Newton y Leibniz. La trascendencia de La géométrie fue tal que se separó del Discurso, tomado entidad propia como una publicación independiente.

Reconozco mi error cuando en alguna ocasión he comentado que el Discurso era un apéndice de La géométrie, fundamentado (lo más probable, ahora no lo recuerdo) por la lectura del tratado matemático en una publicación posterior y que incluyó el Discurso como apéndice, y sesgado por el deseo de reivindicar al Descartes matemático por encima del filósofo. Es la lectura de Openmind BBVA el que ha impulsado mi reivindicación del matemático, y que me ha traído hasta aquí, repasando viejos libros y trabajos sobre Descartes, para dilucidar qué fue antes: el filósofo o el matemático.

Lo reconozco, no soy imparcial, así que me decanto por la cita de Desmond M. Clarke, profesor de filosofía en la University College Cork, Cork, Irlanda, para quién Descartes es ante todo

«un científico práctico que por desgracia escribió unos breves ensayos de cierta importancia filosófica».[1]

¿Qué opináis?

Un poco más de Descartes lo podéis refrescar de la hemeroteca de pimedios:

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima octava edición, también denominada 11.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

Referencias

  • [1] Clarke D. M.: La filosofía de la ciencia de Descartes Madrid, Alianza Editorial, 1986 p. 16.
  • [2] René Descartes, Meditaciones Metafísicas, Editorial JG, 2015, ISBN:
    978-9942-03-774-9
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Mar 26

El navegante que nunca montó en un barco

Vasa from port2.jpg

Algunas de las tallas de la popa del buque. De I, Peter Isotalo, CC BY-SA 3.0, Enlace

El Vasa fue un navío de guerra botado por orden rey Gustavo II Adolfo de Suecia, de la casa de Vasa, nombre de la dinastía real sueca, construido a mayor gloria de la gran armada que pretendía mostrar el poderío de una nueva potencia en el mar Báltico. Estaba armado con 64 cañones colocados en tres puentes. Una potencia armamentística que superaba a la de cualquier rival (según tengo entendido).

Su vida naval fue tan efímera como la del Titanic, se hundió al comienzo de su primera travesía, sin poder demostrar todo su potencial. Claro, tanta potencia de fuego creaba problemas de inestabilidad.

En un artículo leí que al comienzo del viaje inaugural, el 10 de agosto de 1628, se ordenó una salva que escoró el barco, colocando las troneras al nivel del agua. El barco se había construido con diseños apropiados para un puente de cañones, pero el rey se empeñó en otro más. Eso hizo que las troneras inferiores quedasen demasiado cerca del agua. por lo que el día de su singladura se decidió cargar la mitad del lastre previsto. Pero he aquí, según otras fuentes, que el viento le jugó una mala pasada: Eolo sopló y el barco se escoró, atragantádose el leviatán con el agua que entraba por las troneras y que se acumulaba en la bodega. El resultado es el mismo, ya sea por una andanada que por el viento: el hundimiento, causado por malos cálculos de estabilidad y acrecentados por un centro de gravedad a una altura excesiva.

En el siglo XVII, la ciencia vivió una explosión de conocimiento; pero en 1626-1628, el periodo de construcción del Vasa, la matemáticas que sustentaban los cálculos eran escasas y los problemas de flotabilidad demasiados. Así lo explica Eduardo Javier Báez Delgado en su trabajo de TFG, Estabilidad de buques, y del que reproduzco su apartado sobre el desarrollo histórico de la estabilidad.

Se podría decir que todo comenzó por Arquímedes (287 – 212 AC), que en su tratado “Sobre los Cuerpos Flotantes” fue uno de los primeros en dejar constancia del estudio y análisis de la estabilidad de los buques, donde estableció una explicación científica y el cálculo cuantitativo de la estabilidad hidrostática. 

Durante años, otros científicos hicieron diferentes aportaciones, pero ninguno consiguió un gran avance dentro del estudio de la estabilidad y comportamiento de los buques. Simon Stevin (1548-1620) fue el primero en distinguir entre equilibrio estable e inestable y describir la paradoja hidrostática, en la cual el nivel del fluido siempre será paralelo a la superficie horizontal en virtud de la cual la presión descendente de un fluido sobre un cuerpo es independiente de la forma de éste y sólo depende de la altura y de la base del plano de carena.

Otros como Christiaan Huygens (1629-1695) y Paul Hoste (1652-1700) también hicieron sus aportaciones. Pero no fue hasta mediados del siglo XVIII cuando se produjo un cambio en el concepto del estudio de la estabilidad. El astrónomo y matemático francés Pierre Bouguer (1698-1758) publicó en 1746 el primer tratado de arquitectura naval, “Traite du navire”, que supuso la primera explicación del uso del centro de carena en el estudio de la estabilidad de los buques e introdujo los conceptos de metacentro y curva metacéntrica. También en el mismo siglo, el
matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783) publicó “Scientia Navalis”, donde definió el criterio del momento restaurador inicial. La obra de Bouguer con la de Euler representa términos equivalentes en cuanto a la estabilidad hidrostática, con lo que configuraron una nueva teoría de la estabilidad del buque, y establecieron los primeros criterios para la estabilidad hidrostática.

En el mismo siglo que Bouguer, Euler, Juan Santacilia y Atwood, el matemático, estadístico, físico y médico holandés Daniel Bernoulli (1700-1782), desarrolló la primera teoría del movimiento de balance de un buque, siendo aceptada y usada hasta mediados del siglo XIX.

Como en casi todas las partes de las matemáticas, Euler estaba presente en este avance de la hisdrostática. Compitió junto a Pierre Bouguer por el premio el 1727 que otorgaba la Academia de las Ciencias Francesas, ganándolo Bouguer por su ensayo Sobre los mástiles de los buques. Hasta donde conozco, Euler no había navegado para experimentar lo que trataba sobre hidrostática en sus ensayos científicos. Más tarde Bourger si lo haría, participando en la expedición que pretendía medir un grado del meridiano cerca del ecuador.

Por cierto, en esta expedición también estaría embarcado un joven navegante español, Jorge Juan y Santacilia; peor esa es otra historia.

Esta entrada participa en la Edición 1 del Año 11 del Carnaval de Matemáticas cuya anfitriona es MoniAlus a través de su blog El mundo en un chip.

 

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Ene 30

Descifrando el RSA

Token SecurID SID700

En mis clases de Matemática Discreta les hablo a mis alumno del RSA, incluso hacemos pequeños ejemplos con el algoritmo. Es una de las formas para ver cómo aplican esas cosas raras para ellos que llamamos «congruencias».

El RSA es un  sistema criptográfico de clave pública desarrollado en 1979. Dicen que es el primero y más extendido algoritmo de este tipo, válido tanto para cifrar como para firmar digitalmente.

La seguridad del cifrado RSA radica en el hecho de que hasta el momento no existe un algoritmo eficiente para factorizar enteros; hablamos de un algoritmo que factorice enteros con $n$ dígitos en un tiempo polinomial del orden $\mathcal{O}(n^k)$. De modo que si elegimos dos primos suficientemente grandes, $n=p\cdot q$ no resulta práctico calcular su factorización, en un tiempo prudencial.

El funcionamiento de este sistema, descrito en 1977 por Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), aunque  el matemático británico Clifford Cocks, que trabajaba para la agencia de inteligencia británica, formalizó un sistema equivalente en un documento interno en 1973, está extensamente explicado, véase por ejemplo en wikipedia  RSA.  Es de los sistemas de cifrado que se definen como sistema de clave pública; cada usuario posee dos claves de cifrado: una pública y otra privada. Esa calve pública es un $n$, muy grande, como el que hablábamos antes, y un entero $e$, el exponente de cifrado, con ciertas propiedades, muy prácticas para explicar conceptos de aritmética modular.

Pero veamos un poco más de su historia.

Según nos cuenta Richard Johnsonbaugh, en su libro Matemáticas Discretas, la primera descripción del sistema de cifrado RSA apareció en una columna de Martin Gardner en la edición de febrero de 1977 del Scientific American(Una observación,  Rivest, Shamir y Adleman lo publicaron como una  MIT «Technical Memo» en abril de 1977, y oficialmente en una publicación en 1978, lo que nos dice que Gardner estaba al tanto de los avances en criptografía de esos años). En esta columna se incluyó un mensaje codificado utilizando una clave dada por el producto de dos primos de 64 y 65 dígitos y e=9007, junto con un premio de 100 dólares para la primera persona que descifrase el código. Cuando se escribió el artículo, se estimaba que se necesitarían 40,000 billones de años para factorizar $n$. De hecho, en abril de 1994, Arjen Lenstra, Paul Leyland, Michael Graff y Derek Atkins, con la ayuda de 600 voluntarios de 25 países, utilizando más de 1600 computadoras, factorizaron $n$, coordinando la factorización mediante Internet. Antonio Ropero detalló este reto en su post Martin Gardner, RSA y otros pasatiempos matemáticos.

Y ahora, ¿en cuánto tiempo lo descifraríais? Os animáis a poner a trabajar a vuestros alumnos.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima novena edición, también denominada X.6, está organizado por @juanfisicahr a través de su blog Esto no entra en el examen.

PD: Si te ha gustado este post, quizás también te guste otras cosas que cuento en mi novela Muret, la batalla que marcó a la Corona de Aragón

Muret, la novela sobre la batalla de Muret de 1213.

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Dic 20

Muret, la novela histórica de la batalla de decidió la Gran Corona de Aragón

Este año he tenido el blog un poco apartado, con solo algunas entradas, menos de las que desearía. La causa es el libro que os presento:

Muret, la batalla que acabó con la Gran Corona de Aragón

Muret, la batalla que decidió la Gran Corona de Aragón

 

Se aleja un poco de las matemáticas y su historia, el leitmotiv de este blog, aunque mantiene una de mis pasiones: la historia. Espero que a los que os guste la novela histórica la recibáis con agrado.

Feliz Navidad y un próspero Año Nuevo 2020.

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Jun 21

El problema del trigo y del tablero de ajedrez

Granos de trigo en el tablero de ajedrez.

La mayoría hemos oído alguna vez el problema del trigo y del tablero de ajedrez, (o, como nos dice en la wikipedia, expresado en términos de granos de arroz):

 

 

 

“Si se colocase sobre un tablero de ajedrez (lo suficientemente grande) un grano de trigo en el primer casillero, dos en el segundo, cuatro en el tercero y así sucesivamente, doblando la cantidad de granos en cada casilla, ¿cuántos granos de trigo habría en el tablero al final?”

El problema es muy común cuando introducimos las series geométricas en nuestras clases, pues la solución se plantea como una serie geométrica; en concreto:

$$T_{64}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}=\sum _{i=0}^{63}2^{i}$$

La historia de este problema se envuelve en leyenda, y esta está asociada a la leyenda de Sisa. La leyenda nos lleva al noroeste de la India, cómo no, el lugar del nacimiento del ajedrez; pero lo que hoy traigo es el cómo llegó a nosotros. Hilando la madeja de la historia debemos retroceder a la explosión cultural que supuso la Casa de la sabiduría o Casa del saber, donde bajo el auspicio del califa Mamun (reinó entre 813-833), se intentó reunir el saber científico del momento,  atrayendo a Bagdad a multitud de eruditos para compartir información, ideas y cultura. Uno de los propósitos era traducir libros de diferentes idiomas al árabe.

Entre los grandes sabios que trabajaron nos encontramos con el sabeo Thabit ibn Qurrá (826–901), el traductor más renombrado. El legado de Thabit ibn Qurrá siempre se ha centrado en traducción de los trabajos de Euclides, que sirvió a Gerardo de Cremona para mejorar las traducciones que había realizado Adelardo de Bath. Pero en el siglo XIII, Abu-l ‘Abbas Ahmad ibn Khallikan (1211-1282), nos hizo una observación: los sabios de la Casa de la sabiduría estudiaron el problema que abordamos y encontraron la solución. Sería al-Biruni (973-1048) quién calcularía la solución de la increíble suma de la serie geométrica ideada por Thabit ibn Qurrá como solución del problema del trigo y del tablero de ajedrez, llegando a la conclusión que se necesitarían 18.446.744.073.709.551.615 granos.

Hoy encontramos en muchas referencias a Thabit ibn Qurrá como un estudioso de la serie geométrica, pero no suele decirse que fue con el propósito de resolver problema del trigo y del tablero de ajedrez. Lo más probable es que Thabit ibn Qurrá plantease la solución matemática mediante una suma parcial de la serie geométrica, que al-Biruni calculase el resultado, y que ibn Khallikan, como historiador que era, nos lo recordase, para que no olvidemos que si hemos logrado ver más lejos, es porque nos hemos subido a hombros de gigantes.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima tercera edición, también denominada X.3, está organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss.

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Mar 28

El pequeño teorema de Fermat

La figura de Fermat es recurrente en este blog, y su pequeño teorema ya nos salió. Hoy daremos un poco más de su historia y la demostración. Empecemos.

Como dijimos Fermat enunciaba, en una carta fechada el 18 de octubre de 16 a Frénicle de Bessy, que, si a es un número entero cualquiera y p es un número primo que no es un factor de a, entonces p debe ser un factor del número $a^{p-1}-1$. Y como era habitual en el no presentó la demostración(te enviaría la demostración, si no temiera que fuera demasiado larga, le escribió el muy truhán).

La primera demostración se publicaría en 1736, por Euler, aunque parece ser que Leibniz la conocía ya en 1683.

No conozco la demostración que ofreció Euler(es muy probable que fuese utilizando la función fi de Euler), pero sí esta que es muy sencilla.

 

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octagésima segunda edición, también denominada X.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

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Ene 29

El teorema de Ceva y la ceviana

Ceva's theorem 1.svg

De 4C – Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, Enlace

En geometría del triángulo, el teorema de Ceva establece que dado un triángulo ABC, y los puntos D, E, y F que se encuentran sobre los lados BC, CA, y AB respectivamente, los segmentos AD, BE y CF son concurrentes si y solo si
$${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,}$$

El nombre se lo debemos a Giovanni Ceva, que lo demostró en 1678, en su trabajo  De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio.

Este resultado también nos ha dado paso a crear el término ceviana.

Lo más probable es que  Giovanni Ceva desconociese que con anterioridad Yusuf Al-Mutamán ibn Hűd lo había mostrado. Del mismo modo que Al-Mutamán lo deduciría del trabajo de  Thabit ibn Qurra, que previamente había tratado el
Teorema de Menelaus (el dual del teorema de Ceva).

Según Agustí Reventós Tarrida[Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics], el término ceviana fue introducido por Auguste Poulain en 1888, pero no indica referencias de ellos, por lo que me decanto a pensar que sería en su trabajo Principes de la nouvelle géométrie du triangle (1892).

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

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Sep 25

Series de primos

La teoría de número tiene un atractivo especial en las matemáticas, y los primos es parte del encanto. Uno de los retos en los que primero cae uno es el de encontrarlos, conseguir una fórmula que nos de todos los primos, o muchos. ¿La habrá?

Sabemos que hay infinitos primos, y que podemos encontrar series con infinitos primos. Por ejemplo, hay infinitos primos de la forma 4n+3, y la demostración resulta instructiva.

Supongamos que me equivoco y el número de primos que se puede poner como $4n+3$ para ciertos $n$ enteros positivos es finito, y que estos primos son $\{p_1,p_2,\ldots,p_k\}$. Ahora construyamos el número $N=(p_1\cdot p_2\cdots p_k)^2+2$. Como cada $p_i=4n_i+3$ para cierto $n_i\in\mathbb{Z}^+$, resulta que $$p_i^2=(4n_i+3)^2\equiv 3^2(mod\, 4)\equiv 1(mod\, 4).$$ En consecuencia $$N=(p_1\cdot p_2\cdots p_k)^2+2\equiv (1+2) (mod\, 4)\equiv 3 (mod\, 4).$$

Es decir, $N$ es un número de la forma $N=4n_\alpha+3$ mayor que todos los $p_i$ y no divisible por ninguno de ellos. Pero $N$ tiene que tener divisores primos, y como no pueden ser los $p_i$ serán otros de la forma $4n+1$. Entonces $$N=q_1\cdot q_2\cdots q_r,$$ con $q_i=4n_i+1$ para todo índice. Lo que me lleva a que $$N\equiv 1 (mod\, 4).$$ una contradicción, pues no puede ser $N\equiv 3 (mod\, 4)$ y $N\equiv 1 (mod\, 4)$ al mismo tiempo. Esta contradicción surge de supone que el número de primos de la forma $4n+3$ es finito.

Como apreciaréis un planteamiento similar a cómo Euclides demostró la infinitud de los números primos.

Pues bien, podemos demostrar de forma similar que el conjunto de primos para ciertos $n$ de la forma $4n+1$, también es infinito. Y los de la forma $6n+1$ ó $6n+5$ ó $8n+1$ ó $8n+3$ ó $8n+5$, y así un no parar. En general lo podemos formular como un teorema, el teorema  de Dirichlet sobre progresiones aritméticas:

Sea $a,\,d\in \mathbb{N}$ tales que el máximo común divisor $(a,d)=1$, entonces la progresión aritmética $a_{n}=a+n\cdot d$ contiene infinitos números primos.

Este resultado que conjeturó Gauss, fue demostrado por Dirichlet en 1837. La demostración se sale de la teoría clásica de números, para adentrarse en la teoría analítica de números. Dirichlet fue un potenciador de esta rama de la teoría de números. A él también debemos, por ejemplo, el Principio del Palomar.

Una consecuencia que obtenemos de este teorema es la respuesta a la pregunta del principio. ¿Podríamos encontrar un polinomio, $P(x)$, con coeficientes enteros que satisfaga $$P(x) \mbox{ es primo} \forall x\in\mathbb{Z}^+?$$

La respuesta es no. Supongamos que sí, que existiese $P(x)$ primo, para todo $x$>0, entonces $P(1)=p$ es primo. Para algún $k>0$, $P(1+k\cdot p)$ será primo  y $P(1+k\cdot p)\equiv P(1) (mod\, p) \equiv 0 (mod\, p)$. Es decir, $P(1+k\cdot p)$ es primo y congruente con 0 modulo $p$, luego $P(1+k\cdot p)=p$ para todo entero $k>0$ anterior. Como el Teorema de Dirichlet nos dice que hay infinitos $k$ que lo cumplen, seguiría que la ecuación $P(x)-p=0$ tiene infinitas soluciones y eso no es posible, un polinomio de grado finito tiene finitas soluciones. Otra contradicción.

Como veis, hay un mundo infinito de contradicciones. Qué pena que no aprendamos de ellas.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima novena edición, también denominada 9.3, está organizado por @juanfisicahr a través de su blog Esto no entra en el examen.

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Ago 05

Euler contra Diderot

El pasado 28 de julio, apareció una entrada de Carlo Frabetti en la sección El Juego de La Ciencia del diario El País, que rezaba el mismo título: Euler contra Diderot. Su lectura es muy instructiva y me llamó la atención el problema que nos deja a los lectores. en determinado momento nos cuenta que Euler le dijo a Diderot: “Mi mujer escribió un número entero de menos de treinta cifras terminado en 2; yo borré el 2 del final y lo puse al principio, y el número resultante era el doble del que había escrito mi mujer. ¿Qué número escribió?”. Ahí arranca un interesante problema de la teoría de números. Independientemente de la originalidad o certeza de este reto, nos plantea un problema que podemos resolver con la herramientas de una teoría de números básica. Veámoslo.

Consideremos que el número que buscamos es $x$. Si lo expresamos en base decimal, será: $$d_n10^n +d_{n-1}10^{n-1}+\ldots+d_110+d_0=x.$$ El enunciado del problema nos dice que $d_0=2$, en consecuencia $x$ es par y se puede poner como $x=2y$. Además, por el enunciado, colocando el 2 en primer lugar (recordemos que seguimos teniendo las mismas $n+1$ cifras), resultará el doble del primero; es decir, $$2\cdot 10^n +d_{n}10^{n-1}+d_{n-1}10^{n-2}+\cdot+d_210+d_1=2x=4y (1)$$

Precisamente el hecho de que las cifras sean las mismas, salvo el orden, juega a nuestro favor. Por la propiedad de la divisibilidad del 3 y las congruencias $$2y=d_n10^n +d_{n-1}10^{n-1}+\ldots+d_110+2\equiv [d_n+d_{n-1}+\ldots+d_1+2](mod\, 3)$$ y $$4y=2\,10^n +d_{n}10^{n-1}+d_{n-1}*10^{n-2}+\ldots+d_210+d_1\equiv [2+d_n+d_{n-1}+…+d_1](mod\, 3).$$ Observemos que ambos términos de la congruencia son el mismo sumando $[d_n+d_{n-1}+\ldots+d_1+2]$, en consecuencia, $$2y\equiv 0(mod\, 3).$$

Ya tenemos la primera pista del número que buscamos: es un múltiplo de 6 que termina en 2.

Esta linea se puede continuar, aunque nos lleva a un camino peligroso. Me explico. Si consideramos el enunciado, $$2\,10^n +d_{n}10^{n-1}+d_{n-1}*10^{n-2}+\ldots+d_210+d_1=2(d_n10^n +d_{n-1}10^{n-1}+\ldots+d_110+2).$$

Si restamos nos dará: $$(2-2d_{n})\,10^n +(d_{n}-2d_{n-1})10^{n-1}+\ldots+(d_2-2d_1)10+(d_1-2d_0)=0$$

Lo que nos permite aventurar que nuestro número termina en 42, aún diría más, en 842, resultado que nos lo enseña la sucesión de diferencias: $d_1-2d_0=0;d_2-2d_1=0$. Sin embargo, debemos llevarnos cuidado, puesto que los números $d_i$ son dígitos entre 0 y 9, y en la siguiente,  $d_3-2d_2=0$, nos crea un problema un poco más difícil de entender, que lo utilizado hasta ahora. Dejemos esta línea, para afrontar otra más productiva y con la misma facilidad de entender. No sin antes, mostrar que si miramos al final de la recursión nos llevaría a $2-2d_{n}=0$, que nos indica que $d_n=1$ y, aún más, $d_{n-1}=0$. Así que esta línea nos da la pista de que el número que buscamos es de la forma: $$10\cdots\cdots\cdots\cdots 842.$$ Curioso, ¿verdad? No sabemos la cantidad de cifras, solo que es menor de 30 (por el enunciado).

Hasta aquí, a mis alumnos de Informática les sugiero que afronten el problema con una solución a fuerza bruta. Si utilizamos R y la librería de grandes enteros gmp, únicamente necesitamos un procedimiento de fuerza bruta que busque múltiplos de 6 que empiecen por 10 y terminen por 842, menores de 30 dígitos. Un problema finito.

Pero Euler no disponía de ordenador (salvo que su celebro fuese uno), con lo cual tenemos que seguir probando con la teoría de números, o en este caso un sencillo proceso de aritmética.  Sabemos (algoritmo de la división) que cualquier entero positivo, y nuestro $x$ en particular, que termine en 2 se puede escribir como: $x=10q+2.$ El enunciado no dice que el doble termina en el penúltimo dígito de $x$, luego $$x=10q+2\to 2x=2(10q+2)$$ Pero también, $$2x=2\cdot 10^{n}+q.$$

Veamos esto con un ejemplo. Supongamos el número $456872$, si quitamos el último 2 y lo pasamos al principio tendremos el $245687$. $456872=10 \cdot 45687+2$ y $245687=2 \cdot 10^{6}+45687$. En nuestro caso el equivalente a $q$ es $45687$.

Por tanto, de $2x=2(10q+2)$ y $2x=2\cdot 10^{n}+q$, obtenemos que $$20q+4=2\cdot 10^{n}+q$$ lo que nos lleva a $$2(10^n-2)=19q$$

Lo hemos escrito así para poder utilizar las propiedades de los números primos. En la ecuación diofántica que tratamos de resolver (como sabemos que tiene solución), es necesario que $19$ divida a $(10^n-2)$, por ser $19$ primo. Así que buscamos un número divisible por $19$ de la forma $(10^n-2)$. Esto es un problema de restos potenciales, estamos buscando resolver la ecuación $$10^a\equiv 2(mod\, 19).$$

De nuevo podemos utilizar R para obtener que el número $a$ que buscamos es $17$; $$10^{17}\equiv 2(mod\, 19).$$

En realidad, $$10^{17m}\equiv 2(mod\, 19),$$ para cualquier natural $m$ valdría, pero el enunciado nos dice que el número en cuestión es menor de 30 digítos, y $10^{17\cdot 2}$ supera los treinta. Por tanto la ecuación $$2(10^n-2)=19q$$ queda como $$2(10^{17}-2)=19q,$$ es $$2\cdot 99999999999999998=19q.$$

Dividiendo por 19 y multiplicando por 2, tendremos $$q=10526315789473684.$$ Pero recordad que el número que buscamos es $x=10q+2$, por tanto $$x=10q+2=105263157894736842.$$ Y ya está. Bonito número, ¿verdad? Observar que cumple las primeras propiedades que observamos: comienza por 10 y termina por 842, además de ser divisible por 6.

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