oct 01

Las paradojas de las series divergentes

numberphileEs normal que las paradojas despierten curiosidad y, periódicamente, surgen hechos que nos las recuerdan o nos las dan a conocer por primera vez. Esto lo digo por el vídeo siguiente

¿Cómo puede una suma de números positivos dar un número negativo? Precisamente esta paradoja es la que presenta la suma de las series divergentes.

Desde hace mucho, pero que mucho, tiempo las sumas de infinitos números ha despertado la curiosidad de cuantos las abordaban. Los primeros intentos de darle un sentido los encontramos con Oresme; pero recordad que ya los griegos dudaban del concepto de infinito. ¡Ahí está el quid de todas las series!, el tratamiento del infinito.

Cauchy sentó las bases de hablar con propiedad de una suma infinita. Hoy las conocemos como las convergentes y divergentes. Cauchy comenzó los cimientos del concepto de límite y claramente podía entenderse que una serie convergente tenía sentido sumarse, porque convergía. ¿Y una serie divergente?; es decir, una serie divergente es la que no converge, sin embargo nada podemos decir sobre si es posible sumarla. Bueno, no es exactamente así (Hardy con Divergent Series -Oxford, Clarendon Press, 1949.- se empeñó darles un sentido), el problema reside en qué entendemos por sumar. La grandeza de las matemáticas es que casi todo está entroncado, y las sumas infinitas presentan las mismas paradojas que presentaban la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX.

La serie que aparece en el vídeo es una serie divergente y como ésta nos encontramos muchas (1-2+3-4+…,1-1+1-1+…1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·, o La leyenda del ajedrez), todas con un nexo común

Las series divergentes son una invención del diablo. Usándolas se puede llegar a cualquier conclusión y es así cómo estas series han dado lugar a tantas falacias y paradojas… Con la excepción de la serie geométrica no existe en toda la matemática una sola serie infinita cuya suma haya sido determinada rigurosamente. En otras palabras, las cosas más importantes en matemáticas son las que tienen un fundamento más débil… El que muchos resultados sean correctos a pesar de ello es extraordinariamente sorprendente. Yo estoy tratando de encontrar una razón para ello; es una cuestión profundamente interesante. Niels Henrik Abel (Peligrosas y complicadas series divergentes)

El historiador de las matemáticas Ivor Grattan-Guinness utilizaba el mismo comienzo que Abel

Las series divergentes son un invento del diablo, y es una vergüenza que se ose basar en ellas demostración alguna. Mediante su uso es posible extraer la conclusión que se desee y esa es la razón por la que estas series han sido el origen de tantas falacias y paradojas. Es que puede uno pensar en algo más descorazonador que decir que: $0 = 1 − 2^n + 3^n − 4^n +$ etc.: donde $n$ es un número positivo. Amigos, he aquí algo de lo que nos podemos reír. Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.

Resumiendo: parafraseando a gaussianos, “el fallo está en mezclar la aritmética finita (números) con la transfinita (infinitos)“. O, podemos considerar que, la suma de series divergentes, es otra cosa y en un futuro puede que veamos aplicaciones de ellas.

 

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sep 29

Matemáticas es una carrera con salidas

 Hoy podemos leer en expansión.com un interesante artículo: Adivina cuál será tu empleo del futuro.

Según datos de la Comisión Europea, para el año que viene habrá un déficit de 700.000 profesionales especializados en ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas. Son los denominados profesionales CTM (por sus siglas en inglés).

En uno de los apartados del artículo hace referencia a las matemáticas, con el título que hemos elegido para la entrada.

Un matemático puede, por ejemplo, convertirse en experto analista web o data scientist. En realidad, hace años que las empresas de business intelligence contratan a este tipo de perfiles para ayudar a definir el peso relativo de cada parámetro sobre las previsiones de negocio, por ejemplo.

 

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sep 28

Cauchy y la fórmula de Euler

Augustin Louis Cauchy.JPG

«Augustin Louis Cauchy». Disponible bajo la licencia Public domain vía Wikimedia Commons.

Por fórmula de Euler conocemos varios resultados, pero al que nos queremos referir al que involucra lo que se denominará por Característica de Euler o Característica de Euler-Poincaré, pues fue este último que la extendió a la topología incipiente que se estaba pergeñando a finales del XIX. Cuando la Característica de Euler la aplicamos a un poliedro obtenemos la famosa Fórmula de Euler para los poliedros:

En un poliedro convexo con $C$ caras, $A$ aristas y $V$ vértices se cumple que: $$C-A+V=2$$

Euler la encontró mientras trataba de clasificar los poliedros, y en 1758 nos dejó por escrito:

Mientras que en geometría plana los polígonos se podrían clasificar muy fácilmente según el número de sus lados que, por supuesto, siempre es igual al número de sus ángulos, en esterometría la clasificación de los poliedros representa un problema mucho más difícil, puesto que el solo número de caras es insuficiente para este fin.

Lo curiosos es que Euler dio con la fórmula, pero no logró dar una demostración de su validez general. Parece que Descartes, más de un siglo antes, había encontrado un resultado equivalente, sino el mismo, pues en un manuscrito de Leibniz se ve un resultado similar que dice haber copiado de otro manuscrito de Descartes, hoy desaparecido. Es muy posible que la prueba de Descartes sea la que nos enseña gaussianos en La fórmula de Euler, ¿la descubrió Descartes?.

Independientemente de esa prueba de Descartes, hasta 1811 nadie conocía una prueba general de la Fórmula de Euler para los poliedros, hasta que un joven aspirante a ingeniero puso su interés en ella. Augustin Louis Cauchy encontró la primera demostración publicada. Esta la podéis ver en Euler’s polyhedron formula.

Referencia:

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sep 20

Matemáticas ocultas en la pintura del Renacimiento

Pacioli.jpg

«Pacioli» por Atribuido a Jacopo de’Barbari (1460/1470–antes de 1516) – Lauwers, Luc & Willekens, Marleen: Five Hundred Years of Bookkeeping: A Portrait of Luca Pacioli (Tijdschrift voor Economie en Management), Katholieke Universiteit Leuven, 1994, vol. XXXIX issue 3 p. 289–304) [1]. Disponible bajo la licencia Public domain vía Wikimedia Commons.

La publicación de De Divina Proportione (1509) de Luca Pacioli supuso la expansión de una relación, casi mística, entre las matemáticas y el arte, que ha inspirado a los artistas a lo largo de los siguientes siglos. Pacioli no descubrió nada nuevo, la divina proporción, como la llamase Pacioli, era lo que los griegos llamaban simplemente sección y consistía en el punto de una recta, que divide a esta en dos segmentos, donde la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

Euclides la mencionó Los Elementos, Definición 3 del Libro Sexto, llamando a este procedimiento cortar una recta en extrema y media razón. Fidias la empleó en sus esculturas, así como en el Partenón. Ese conocimiento griego llevó a que siglos después el Renacimiento reclamase su presencia.

No debemos olvidarnos de la importancia cultural del Renacimiento. El ambiente reinante bebía con avidez los nuevos conocimientos y reclamaba más conforme ingería. Las matemáticas vivieron un resurgir y las Bellas Artes aprendieron lo importante que resultaba la geometría de Euclides en las nuevas concepciones arquitectónicas y pictóricas: la perspectiva estaba dando sus primeros pasos.

Fue precisamente esa idea de perspectiva, que rondaba la mente de los artistas, lo que movió en estudio de las proporciones. Luca Pacioli había escrito un libro, acabado hacia 1487, que hoy conocemos con el nombre de Summa, cuyo título terminaba hablando de las proporciones. Aunque Summa pasa a la historia como el primer gran libro que divulga el álgebra, relacionará a su escritor con uno de los pintores más famosos del momento: Leonardo da Vinci.

Ambos se conocen como miembros de la corte del duque Ludovico Sforza, y serán muy buenos amigos. Es posible que Leonardo iniciara a Pacioli en la importancia que las proporciones estaban tomando en los pintores de la época. Así Alberti, Bellini, Mantenga, Botticelli o Miguel Ángel trataban de sacar conclusiones prácticas de las matemáticas para aplicar a la perspectiva.

botticelli-naci

El nacimiento de Venus (La Nascita di Venere) Sandro Botticelli, 1484. Se considera que debió pintarse entre 1482 y 1484, antes de los trabajos de Pacioli, muestra que las ideas de la proporción ideal estaban introduciéndose.

En Summa, Pacioli no va más allá de lo que Euclides escribe; sin embargo, su interés por las proporciones no decae y, entre 1496 y 1498, escribirá De divina Proportione. Leonardo será su gran aliado y se encargará de los dibujos que ilustran la obra, lo que demuestra que ambos colaboran en el interés por estudiar las proporciones y encontrar la divina proporción. Será Leonardo quien la apellidará como “áurea“. A Pacioli y Leonardo le debemos que a nosotros nos haya llegado la “división en media y extrema razón” de los griegos como “sección áurea”, “número áureo”, “proporción áurea”,

La Gioconda, Leonardo da Vinci, 1503-1519. En su rostro se observa un conjunto de rectángulos áureos superpuestos.

La Gioconda, Leonardo da Vinci, 1503-1519. En su rostro se observa un conjunto de rectángulos áureos superpuestos.

Este mes podéis leer más en Historia NG #129, dónde escriben de La Proporción Áurea, como invitación a leer el libro con el mismo título de la colección El mundo es matemático.

Sagrada Familia (Tondo Doni) Miguel Ángel, Hacia 1503. Muestra el llamado pentalfa o pentáculo que utlizaban los pintores renacentistas. Al tratarse de un pentánogo, la relación entre sus segmentos abodece al número áureo, como conocían los pitagóricos.

Sagrada Familia (Tondo Doni) Miguel Ángel, Hacia 1503. Muestra el llamado pentalfa o pentáculo que utilizaban los pintores renacentistas. Al tratarse de un pentágono, la relación entre sus segmentos obedece al número áureo, como conocían los pitagóricos.

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

Otras referencias:

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sep 18

Icosian

Icosian-pills En 1859 el matemático William Rowan Hamilton desafió a todos los niños (y mayores) con un puzzle: The Travellers Dodecahedron, que posteriormente se llamará Icosian Game. Este juego daría pie a los caminos hamiltonianos.

Juego original cuyas intrucciones escribió el propio Hamilton

Icosian_game2

Versión posterior del juego.

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

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sep 15

Fourier. Un debate acalorado

La colección La matemática en sus personajes de la editorial Nivola nos trae un libro más. No es el último (apareció en octubre de 2013) sí el siguiente al que comentamos en Las matemáticas de los faraones. Algo se nos escapa en la numeración de la editorial, pues si el anterior era el volumen 48 de la colección, este que presenta ahora es el 50 (parece que nos espera el 49 en imprenta -adelanto que puede ser Dedekind. El arquitecto de los números-, ya que el 51 acaba de salir).

Números aparte, este libro de José María Almira, profesor en el departamento de matemáticas de la Universidad de Jaén, cumple a la perfección las lineas seguidas por los anteriores y tan bien definidas en la colección. El calor, o más bien la Teoría analítica del calor, es el hilo conductor de esta apasionante obra.

En ella podemos distinguir dos partes. La vida del personaje autor de la Teoría del calor: Jean-Baptiste Joseph Fourier, y la confrontación que supuso las nuevas ideas de Fourier. Nuevas en cuanto que con ellas apareció un enfoque diferente al establecido en aquel momento. Confrontación en cuanto, a como todo lo nuevo, tenía parte ya conocida y parte que el autor no probó adecuadamente para los científicos del momento. Como nos dice el autor, debemos esperar a 1829, a las puertas de la muerte de Fourier, para que Dirichlet proporcionara un resultado que terminó por dar la razón a Fourier.

Como el autor indica no busca solo una aproximación biográfica al hombre, aunque la muestra con los matices propios de una aventura entre la persona, que vive la revolución francesa y los acontecimientos históricos que se desencadenaron hasta su muerte en 1830 (un periodo de la historia que afectó al mundo entero, cambiando los cimientos de la sociedad y la ciencia misma) y el científico, que lucha por compaginar el trabajo con la ciencia, sino que pretende adentrarnos en la conmoción científica que supuso su obra; no exenta de discusiones, confrontaciones y disensiones sonadas.

No puedo evitar apasionarme con la vida de un hombre que trabajó bajo la supervisión de Monge, mantuvo estrecha relación con Napoleón, editó la obra Description de l’Egypte, admiraba a Lagrange y despreciaba a Laplace, y que escapó de una condena a muerte por desempeñar un cargo, que no deseaba, en los años del Terror.

La lucha por defender sus teorías es esta parte en la que aborda el surgimiento de la teoría analítica de calor, bebiendo del problema de la cuerda vibrante y de la mano de los trabajos de Daniel Bernoulli. Aquí no hay más remedio que pasar por los escritos de Brook Taylor y D’Alembert para encontrarnos con la ecuación de ondas; conocer lo que vio Euler y Daniel en ella, para llegar al problema del calor preocupante en los comienzos del siglo XIX.

Varios autores acometieron el problema de estudiar el comportamiento del calor a lo largo del tiempo, más allá de la ley de enfriamiento que Newton propuso. Fourier aborda el problema desde la visión de la cuerda vibrante. Aparecerán conceptos que se mantenían apenas hilvanados en las teorías matemáticas, como función analítica, series divergentes, integración,…, conceptos que a lo largo del siglo XIX se irán definiendo con suficiente claridad y que la ideas de Fourier obligaron a esclarecer. Por ejemplo, hoy consideramos que el Análisis de Fourier y la integración de Lebesgue están estrechamente ligados.

Esta parte es más densa que la anterior. Si bien necesitamos la formulación matemática que nos presenta el autor para entender el problema, ella se vuelve ardua para un lector poco avezado en estas matemáticas.

Resultaría muy recomendable para quienes, como yo, iniciamos a los alumnos en las ecuaciones diferenciales, e imprescindible para los que dan análisis de Fourier. Para el lector que busca la divulgación debe leer entre líneas, obviando la dificultad de las ecuaciones. Lo importante es ver que

La Teoría Analítica del calor es considerada actualmente una de las obras maestras de la ciencia y la tecnología y, para los físicos es sin duda uno de los documentos fundacionales de la física teórica. El impacto que ha tenido el Análisis de Fourier sobre las matemáticas, la física y las distintas ingenierías está fuera de duda y, de hecho, muchos pensamos que la ciencia y la tecnología modernas no hubieran sido posibles sin el desarrollo correcto de las ideas de Fourier.

Fourier. Un debate acalorado. José María Almira. Editorial Nivola.

Esta entrada participa en la Edición LVI del Carnaval de la Física cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension.

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

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sep 11

La campana de Gauss

lacampanadegauss Muchos han oído hablar de la campana de Gauss, pero ¿qué es? Hoy hablamos de la figura que forma la función que define una distribución normal y que la encontramos en casi todas las ciencias experimentales.

Esta entrada participa en la Edición LVI del Carnaval de la Física cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension

Esta entrada participa en el XXXIX Carnaval de Química alojado en el blog gominolasdepetróleo.

Esta entrada participa en la XXXII Edición del Carnaval de Biología cuyo blog anfitrión es ScyKness

carnvbio

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jun 29

Resumen de la Edición 5.5 Ronald Fisher

LogoCarnaMat55Concluimos la Edición 5.5 Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas. Una edición plagada de 21 interesantes historias; unas de amor, otras de reflexión, con un gusto a fresas y mucha, mucha magia, todo para disfrutarlas acostado en una alfombra de cuadrados, atravesados por la geometría, bordados en cuero latino, claro está.

Todas, desde la 1, que no es entero, hasta 150, que sería los años de Minkowski, configuran un juego de misterio con asesino matemático del que gozar, como un Holmes, durante estos días estivales que nos esperan, con fuerza central y focal y vistiendo de triángulos, pues es de sobra sabido que la creatividad, productividad y matemáticas son correlacionadas por causalidad, que no es  tanta casualidad, cuando se trata de construir objetos imposibles por los matemáticos (quienes sabemos que todo en la naturaleza se modela según la esfera, el cono y el cilindro).

Ya nos dan las horas en nuestro reloj de colores, así pues, y sin vergüenza, solo me resta  agradecer vuestras aportaciones en mi humilde portal, y presentaros las que seguro serán el deleite de vuestras lecturas:

  1. Cuadrado latino de pimedios
  2. Correlación y causalidad (por si aún alguien duda) de Reflexiones sobre la educación
  3. El 1 no es entero, pero es natural de ZTFNews
  4. Unas fórmulas para la fuerza central de Guirnalda matemática
  5. Todo en la naturaleza se modela según la esfera, el cono, el cilindro de ZTFNews
  6. Cortando fresas de El neutrino
  7. Puedes construir objetos “imposibles” usando inecuaciones de Cifras y Teclas
  8. Vistiendo y triangulando de ZTFNews
  9. El asesino matemático de Matifutbol
  10. Creatividad, productividad y matemáticas de Scire Science
  11. No es tanta casualidad de MATES & FÍSICA & MÁS
  12. El reloj de colores   de ZTFNews
  13. Hermann Minkowski cumpliría hoy 150 años de  ZTFNews
  14. «Si no entiendo nada de matemáticas, me daría más bien vergüenza decirlo» de ZTFNews
  15. ‘Atravesados’ por la geometría de ZTFNews
  16. La ley de fuerzas focal de Guirnalda matemática
  17. Matemáticas, Magia y Misterio… en un Concurso de PIkasle de PIkasle
  18. Las matemáticas del amor de Tito Eliatron Dixit
  19. Holmes, un perspicaz decodificador de Cuaderno de Cultura Científica
  20. Una alfombra de Sierpinski mundial de MasScience Blog
  21. Recuerdos matemáticos bordados en cuero de Juegos topológicos
  22. El diablo traza círculos de ZTFNews

Para terminar recordaros que comienza la votación en la que elegiremos la entrada ganadora del Premio #CarnaMat55. El plazo terminará el 6 de julio. Los votos se otorgaran a tres entradas con una puntuación de 4, 2 y 1 según vuestra consideración. Votaremos dejando los votos en un comentario en este mismo post de resumen, incluyendo un enlace a vuestro perfil en la web del Carnaval.

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