Sep 30

Georg Cantor y la apeirofobia

Esta entrada está inspirada en la lectura de la entrada de Marta Macho, Apeirofobia, en el blog Cuaderno de Cultura Científica.

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

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Sep 28

Los Bernoulli anda a la gresca

Decía Wittgenstein que “la medida del genio es el carácter (aun cuando el carácter en sí no constituye el genio). El genio no es ‘talento y carácter’, sino carácter que se manifiesta en la forma de un talento especial”[1]. Wittgenstein no utiliza la palabra carácter en la afección del estado de ánimo, sinónimo de firmeza, energía o genio; sino más bien nos habla del conjunto de cualidades psíquicas y afectivas que condicionan la conducta de cada individuo. La disquisición de Wittgenstein se realiza entorno al análisis entre la relación de genialidad y talento; el genio y el talentoso.

Hagamos la, normalmente fallida, traslación a un ambiente matemático; por ejemplo, el álgebra, un ideal es talentoso pero un ideal máximal es un genio. O en el campo de análisis real, todo conjunto de talentosos tiene un supremo, el genio. El problema reside en que máximal o supremo sólo hay uno. Por tanto, en la riña de dos genios sólo puede quedar uno.

La familia Bernoulli es la clara evidencia que el genio o el talento se hereda. Desde que los dos hermanos Jakob y Johann iniciaran su carrera en las ciencias, en el siglo XVII, tres generaciones de matemáticos y/o físicos han firmado con el apellido Bernoulli en grandes contribuciones a la ciencia. Pero eso no quita que entre ellos la fraternidad reinase.

Cuando comenzó Jakob Bernoulli, de la mano de Leibniz, a destacar pronto se vio que era una matemático talentoso; pero su hermano Johann no le iba a la zaga. En 1686, Leibniz propone la determinación de la curva descrita por un móvil que desciende con velocidad constante; es decir, la isócrona(el lector avezado en estos temas la reconocerá rápidamente, pues coincide con la tautócrona y, como a continuación diremos, con la braquistrócona). Jakob publica la solución en 1690, en Acta Eruditorum, incluyendo un problema que había encontrado, y pensaba, de naturaleza similar. Jakob propone encontrar la forma que adopta una cuerda suspendida de dos poste, siendo esta flexible y homogénea y sometida sólo a la fuerza de su propio peso. El reto alentó al hermano Johann que, con la ayuda del “nuevo cálculo” de Leibniz, utilizado por Jakob en la solución anterior, resolvió el problema. El resultado fue un chute de vanidad hasta tal punto que “se ufanaba de haber resuelto un problema para el que su hermano Jakob se había mostrado incapaz”[2]. Tal fue el subidón que decidió retar a la comunidad de matemáticos, proponiendo el reto a través del Acta eruditorum de junio de 1696. Este es el conocido problema de la braquístocrona (Miguel Ángel Morales nos lo recuerda en su reciente entrada en El Aleph, Y el premio al camino más corto es para…). Al parecer el ego de Jakob se sintió afectado, resolvió el problema mediante “un método capaz de ser generalizado y que contenía en ciernes lo esencial del Cálculo de variaciones”[2]. Es más, el trabajo lo titula: Resolución del problema de mi hermano, a quien yo a mi vez planteo otro. Como dice Gutiérrez, se había creado una rivalidad entre los dos, tan fructífera en el terreno científico como penosa en el ámbito personal. El problema pueden verlo en la referencia, lo que aquí nos trae fue la consecuencia.

Sin ánimo de parecer una entrada de prensa amarilla, el propósito de la misma era discurrir sobre el genio, su genialidad y el carácter que presumimos de ellos. Ambos hermanos eran talentosos y, probablemente, llegaron a genios, en el sentido de Wittgenstein; pero la consideración que uno tenía del otro parece enmarcas más dentro de las peculiaridades que vemos en algunos genios: ellos son los ideales maximales.

Johann aceptó el reto y resolvió el problema, comentándole a Leibniz, mentor de ambos, que sólo necesitó unos pocos minutos (de Newton se dice que encontró la solución al reto de la braquístocróna la misma noche que se lo comunicaron). No había concluido 1696 y las espadas estaban en todo lo alto. Con tensa calma Jakob le preguntó a su hermano si estaba seguro de la solución propuesta. Repetidas veces Johann aseguró que sí. Y Jakob se dio el gustazo de rebatirlo con una crítica demoledora.

Cualquiera diría que eso no se le hace a un hermano, pero es que a veces… La genialidad de Johann es posible que superase a la de su hermano, pero en el carácter seguro. Por aquellos años, la Academia de París proponía concursos que buscaban resolver problemas actuales.  Si el recuerdo no me traiciona, corría el año 1725 cuando Johann y Daniel Bernoulli, padre e hijo, se presentaron al concurso sin que el otro lo supiese. El problema trataba sobre los relojes de arena y las clepsidras en un viaje marino. Ambos ganaron ex aequo, con un planteamiento similar (normal, ya que Daniel había aprendido hidrodinámica de su padre). Sin embargo, a papa no le sentó bien. Resultado: “Vete, vete me has hecho daño… Vete, vete lejos de aquí“(Los Amaya).

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

[1] Cultura contra civilización: en torno a Wittgenstein, Jacobo Muñoz

[2] Jakob Bernoulli: La geometría y el nuevo cálculo, Santiago Gutiérrez, SUMA, 51, Febrero 2006, pp. 89-92.

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Sep 21

¿Calculamos $\pi$?

Desde la antigüedad la fascinación por calcular las cifras decimales de $\pi$ motivó a los matemáticos. Arquímedes, Ptolomeo, Liu Hui, Zu Chongzhi, al-Kashi, Viète, Leibniz, Newton, … y un largo etcétera pusieron su empeño en encontrar procedimientos que abreviasen el cómputo de $\pi$, o los obtuviesen con mayor precisión. La fórmula más precisa que se consiguió antes de la eclosión de los computadores, la descubrió el genio indio Srinivasa Ramanujan(Ramanujan y el número pi):
$${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$$

que obtiene 8 decimales exactos de $\pi$ en cada iteración. Pero estamos en la era de los computadores, ¿cómo lo hacemos ahora?

En 1984, los hermanos Jonathan y Peter Borwein   publican una iteración de convergencia de orden  4: dados

$${\begin{aligned}a_{0}&=2{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\\y_{0}&={\sqrt {2}}-1\end{aligned}}$$

entonces,

$${\begin{aligned}y_{k+1}&={\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1/4}}}\\a_{k+1}&=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})\end{aligned}}$$

La sucesión $a_k$ converge a $1/\pi$. Los dos hermanos habían encontrado alguna más, con orden de convergencia mayores. En 1986, David Harold Bailey utilizó una de ellas para desarrollar un programa de cálculo de $\pi$, escrito para la NASA, como test para detectar problemas en la Cray-2[1].

En 1995 Peter Borwein y Simon Plouffe encuentran una forma de calcular dígitos en binario del logaritmo de 2, empezando en una cifra arbitraria. Plouffe se da cuenta que tiene un filón y produce la fórmula:
$$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)\right]$$
El estudio de esta fórmula y su aplicación para calcular $\pi$ lo publican David H. Bailey, Peter Borwein, and Simon Plouffe en 1997 “The BBP Algorithm for Pi” (PDF).

Con esta fórmula, uno puede derivar un algoritmo que compute dígitos de $\pi$ en una posición arbitraria y, además, en base hexadecimal. En 1997, Frabrice  Bellard de INRIA, calculó 152 dígitos binarios de $\pi$ empezando en la billonésima posición digital binaria. El cálculo tardó 12 días en 20 estaciones de trabajo que trabajan en paralelo a través de Internet. Repetiría la proeza en último día del año 2009, con 9 Desktop PCs,  Core i7 CPU a 2.93 GHz, durante 131 días, para obtener más de $2\times 10^{12}$ decimales.

En los años 80 del pasado siglo, Yasumasa Kanada también trabajaba en el cálculo de decimales de $\pi$, utilizando HITAC S-820/80, con procesador vectorial, llegando a obtener 1.073.740.799 decimales. Pero los hermanos Chudnovsky no le iban a la zaga, utilizando un IBM 3090, y la fórmula:

$${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(640320^{3})^{k+1/2}}}.\!
$$

El algoritmo dado por los hermanos Chudnovsky se usó en diciembre de 2013 para alcanzar los 12.1 billiones de dígitos[2].

Así que Kanada, viendo como estaban los competidores, se escurrió el cerebelo y desarrolló Super PI, un programa (ejecutable en Windows) que permitía calcular un número determinado de decimales a partir de uno dado; es decir, el mismo sistema que se le ocurrió a Plouffe. Super PI utiliza el algoritmo de Gauss-Legendre:

Primero inicializamos: $a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac  {1}{{\sqrt  {2}}}}\qquad t_{0}={\frac  {1}{4}}\qquad p_{0}=1.$

Segundo, iteramos hasta que la diferencia de $a_n$ y $b_n$ sea de la precisión deseada:

$${\begin{aligned}a_{{n+1}}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{{n+1}}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{{n+1}}&=t_{n}-p_{n}(a_{{n}}-a_{{n+1}})^{2},\\p_{{n+1}}&=2p_{n}.\end{aligned}}$$

Por último aproximamos

$$\pi \approx {\frac  {(a_{{n+1}}+b_{{n+1}})^{2}}{4t_{{n+1}}}}.$$

Con este algoritmo Kanada batiría el récord en 2002, 1.241.100.000.000 dígitos[3]

Super Pi se vio pronto superado por el programa y-cruncher de Alexander Yee, con el que Shigeru Kondo comenzó a desbordar récord, desde agosto de 2010, hasta alcanzar los 12.1 billones de digitos – Diciembre de 2013. En la actualidad y-cruncher mantiene el récord, obtenido en octubre de 2014, con 13.3 billones de dígitos. El programa utiliza la fórmula de los hermanos Chudnovsky. El último récord se consiguió con 2 x Xeon E5-4650L @ 2.6 GHz, 192 GB DDR3 @ 1333 MHz y 24 x 4 TB + 30 x 3 TB.

Como veis, utilizando una fórmula y paralelizando sus desarrollos podemos encontrar las cifras de $\pi$ que deseemos, sólo es cuestión de tiempo. Por ejemplo, en A very simple simulation program: Parallel computation of PI, encontráis un programa sencillo que se basa en una aproximación por Simpson de la integral

$$\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx. $$

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Sep 16

El método de exhausción

La propiedad arquimediana de los números reales no dice que:

Si $y$ es un número real arbitrario y $x > 0$ entonces existe un entero positivo $n$ tal que $nx>y$.

Esta propiedad surge del lema con el que trabajaba Arquímedes: dadas dos magnitudes que tengan razón(es decir, que sean del mismo tipo y ninguna de las dos sea cero), entonces se puede encontrar un múltiplo de cualquiera de ellas que exceda a la otra[1]. Arquímedes la recuperó de Eudoxo de Cnido(Siglo IV a.C.), quien lo utilizó para demostrar el volumen de ciertas sólidos ya intuidos por Demócrito.

El método que utilizó, hoy se de nomina método de exhausción y lo podemos considerar el antecedente del cálculo integral.

El método consiste en aproximar un resultado buscado con otros conocidos. Así Antifonte (430 a. C.) determinó el área de un círculo(*), inscribiendo en él triángulos cada vez más pequeños, hasta completar su área.

Arquímedes lo utilizó para calcular la longitud de una circunferencia(lo que conlleva el calculo de $\pi$). Inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares en una circunferencia de radio unitario, podemos hallar el área del círculo, la longitud de la circunferencia y el número $\pi$ con tantas cifras decimales como queramos(aquí tenemos cómo lo hizo El algoritmo de Arquímedes para calcular Pi).

El nombre de método de exhausción no lo utilizaron los griegos, se debe al matemático del siglo XVII Grégoire de Saint-Vincent(1584-1667)[1]

  • [1] Carl B. Boyer. Historia de la matemática.

(*)[Actualización]Como hemos dicho, Arquímedes atribuyó el método a Eudoxo, aunque parece que este se limitó a formalizar y sistematizar el procedimiento de Antifonte. Más tarde, Euclides, le daría rigurosidad trantándolo en la Proposición 1 del Libro X en sus Elementos. [Antiphon the Sophist]

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Sep 10

Tales y la medición de la pirámide

Conocemos a Tales de Mileto(siglo VII a.C.) como el primero de los nombres propios de las matemáticas. Aunque todo cuanto sabemos de él se lo debemos a autores que nos contaron su historia y trabajos, pues no se conserva ningún trabajo escrito por él.

Una de las hazañas que consiguió fue la medir la altura de la gran pirámide de Keops de una forma sencilla. Lo más difundido es la historia que nos cuenta Plutarco: la calculó con la ayuda de un bastón y la longitud de su sombra:

Como apreciamos Tales utilizó la semejanza de triángulos, los que se conoce como el Teorema primero de Tales de Mileto:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Sin embargo, tenemos otro texto anterior que nos habla de la misma anécdota. Diógenes Laercio nos cuenta que Jerónimo de Rodas escribió sobre los viajes de Tales a Egipto, y cómo “midió las pirámides por medio de la sombra, proporcionándola con la nuestra cuando es igual al cuerpo”[1].

Una vez más está presente la proporcioanalidad de dos triángulos semejantes. En este caso resultaba más sencillo, pues a iguales longitudes de los catetos proporcionados por la altura de una persona y su sombra le correspondería la altura de la pirámide y su sombra, suponiendo, claro está, que los rayos del Sol sean paralelos.

Para ser exactos una aplicación del Teorema de Tales, en su representación gráfica, nos dice:

 

Es decir, $$\frac{A}{B}=\frac{D}{C}$$
Tales indica que si medimos a la misma hora, que nuestra sombra alcanza la longitud de nuestro cuerpo, el cociente de la altura de la pirámide alcanza la longitud de la sombra. No es exacto, pero vale como una aproximación muy ingeniosa para aquel tiempo.

Es muy probable que Tales conociese este resultado durante sus viajes a Babilonia o a Egipto, pero eso es algo que de momento desconocemos.

Cuaderno de Cultura Científica escribió una muy curiosa entrada, Tales de Mileto y el caso del gato que venía del cielo, podéis encontrar ejemplos y más curiosidades de este padre de las matemáticas.

[1] Traducción de Los diez libros de Diógenes Laercio(link obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%B3genes_Laercio)

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Jun 25

La cuadratura de la lúnula

lunulaUna lúnula es una figura con forma de luna creciente obtenida mediante la intersección de dos círculos. En realidad, esta intersección generaría dos lúnulas. Si lo vemos desde la geometría plana es el área cóncava limitada por dos arcos. La convexa es a la que denominamos lente.

Lúnula proviene del latín lunŭla. Sin embargo de ellas comenzaron a hablar los griegos. En concreto nos interesa Hipócretes de Quíos, quien puso interés en ellas debido a que encontró una manera de cuadrar su área.

Para los griegos la cuadratura de las figuras supuso un paso ambicioso en las consideraciones de las proporciones: todo era reducible a una proporción. Pero el mundo se les derrumbó cuando se toparon con los números inconmensurables.

Este cisma se concretó en el problema de la cuadratura del círculo: ¿es posible relacionar un círculo y un cuadrado de igual área?, utilizando regla y compás. Este problema griego se conoció como el Problema de la cuadratura del círculo, y expresaba la dificultad de los griegos de entender los números más allá de los racionales.

El problema se ha convertido en la metáfora de un imposible, y así lo utilizamos, sin matizar la coletilla matemática: con regla y compás. Véase la ilustración de este problema, con y sin coletilla matemática, que nos expone gaussianos en ¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?.

Sin embargo, los griegos intentaron resolverlo mediante la geometría euclídea, llegando a conclusiones que rozaban el éxito. Ese convencimiento de que nada era imposible, apareció con Hipócrates de Quíos. Este quionio demostró que el área de la lúnula es la cuarta parte del cuadrado inscrito, que se corresponde con un triángulo.

Lune.svg

La luna de Hipócrates es el área superior sombreada. Es la misma área que la del triángulo inferior sombreado. De Michael Hardy de Wikipedia en inglés – Transferido desde en.wikipedia a Commons por Liftarn usando CommonsHelper., Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=12177174

La cuadratura del triángulo era conocida (Cuadratura de un triángulo cualquiera), en consecuencia la cuadratura del círculo se conseguiría.

 

Hipocrat arcs.svg

La resolución de casos particulares de cuadratura de figuras curvilíneas, como las de las lúnulas de Hipócrates, llevó a los antiguos a pensar erróneamente que se podría llegar a cuadrar el círculo. De No machine-readable author provided. Audriusa assumed (based on copyright claims). – No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims)., CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=478595

El éxito casi se consigue, pero falla. Bastantes siglos después el gran matemático persa Alhacén(945-1040) comprobó que era posible cuadrar el área de la lúnula:

Lunules-better.png

Las lúnulas de Alhacén. Las dos lunas de color azul suman un área igual a la del triángulo de color verde de la derecha. De SparshongTrabajo propio, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2027533

Este trabajo aparece con frecuencia otorgado a Leonardo da Vinci. Es verdad que el polímata florentino sintió curiosidad por las lúnulas y concibió varias cuadraturas mecánicas, en la que posiblemente deduciese las lúnulas de Alhacén. O simplemente conoció los trabajos del musulmán, igual que leyó los trabajos de Vitruvio, para dibujar el Hombre de Vitruvio. El historiador Carl Boyer nos dice: “A menudo se suele considerar a Leonardo como un matemático, pero su mente inquieta no podía concentrarse en la aritmética, el álgebra o la geometría el tiempo suficiente como para hacer alguna contribución importante“. Sí resulta sumamente curioso lo que nos dejó en el folio 112 recto, del Códice Atlántico, en el margen donde figuran tres líneas escritas: “La noche de San Andrés encontré el final de la cuadratura del círculo; terminada la candela, la noche y el papel donde escribía cuando, la hora cumplida, llegué a la conclusión“[Fernando Bombal. La cuadratura del círculo: Historia de una obsesión. Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp) Vol.105, Nº2(2012),241-258].

Entonces, ¿dónde está el fallo que llevó a creer que el paso de la cuadratura de la lúnula daría la del círculo? La concepción de que toda lúnula es cuadrable. Hipócrates encontró la cuadratura para tres tipos de lúnulas: la que parte de un triángulo isósceles rectángulo, de un trapecio isósceles y pentágono cóncavo. Una extensión de la del triángulo rectángulo es la que obtendría Alhacen. Dos más fueron encontradas en el siglo XIX, que el historiador Dunham atribuye los descubrimientos a Euler en 1771: las obtenidas mediante un hexágono y octógono cóncavo[Brian J. Shelburne, The Five Quadrable (Squarable) Lunes]. Hasta el siglo XX estás eran las únicas lúnulas cuadrables, cuando N. G. Tschebatorew and A. W. Dorodnow probaron, utilizando la teoría de Galois, que no habían más[M. M. Postnikov and Abe Shenitzer, The Problem of Squarable Lunes, http://www.jstor.org/stable/2589121].

A veces unos pocos pasos nos hace creer que podemos recorrer todo el camino, cuando es sólo un número de pasos finitos en la infinitud de las matemáticas. Pero sin el aliciente de esos pasos no avanzaríamos.

Esta entrada participa en la edición 7.5 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series divergentes.

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May 25

El “stick de hockey”

Lo llamamos el triángulo de Pascal aunque Tartaglia(siglo XVI), Yang Hui (siglo XIII) y Omar Khayyam (siglo XII) entre otros lo conocían. Estamos hablando del triángulo que obtenemos con los coeficientes de las potencias de un binomio:

Pascal's triangle 5.svg

By User:Conrad.Irwin originally User:Drini – Extracted from Image:PascalSimetria.svg with minor alterations, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3105222

Fue Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó “Table de M. Pascal pour les combinaisons” y Abraham de Moivre (1730) lo bautizó como “Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM”. En gran medida esos honores eran debidos al trabajo de Blaise Pascal en el triángulo.

TrianguloPascal.jpg

By Blaise Pascal – Cambridge University Library, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2819977

Muchas son las curiosidades que se extraen de él, que Pascal publicó en su Traité du triangle arithmétique(1665). Una de ellas es la que hoy conocemos como el “stick de Hockey“:

Si imaginamos una escalera semejante a la coloreada, la suma de todos los números de los peldaños que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.

1+4+10+20=35

1+4+10+20=35

Este resultado tiene una fácil demostración utilizando los números binomiales. Lo mostramos con un ejemplo.

Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

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May 24

Premio #CarnaMat73

Justo a tiempo de entrar antes de la finalización de la edición 7.4, traemos el ganador de la Edición 7.3:

Image-1

El medallero  final ha quedado así

  1. orooroplataplatabronceAprendiendo técnicas para contar: lotería primitiva y bombones en Cuaderno de Cultura Científica.
  2. orooroplataNo, los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria en Gaussianos.
  3. oroplataToro de papiroflexia: 360 módulos phizzen en Blog sobre Matemáticas.
  4. oroOndas gravitacionales en πkasle.
  5. oroEducando en valores desde el área de Matemáticas. Las mil grullas de sadako en Blog sobre Matemáticas.
  6. plataplataEl autómata de Huygens y las fracciones continuas en pimedios.
  7. platabroncebronceComparando fracciones con un cortapizzas en matematicascercanas.
  8. bronceJugando con números XV… Un número muy particular… ¡y grande! en matematicascercanas.
  9. bronceEl número π, el principio del palomar… y el caos en Tito Eliatron Dixit.
  10. bronceArcos de Málaga: punto y final en El mundo de Rafalillo.
  11. bronceResolución de problemas en Los Matemáticos no son gente seria.

Enhorabuena al ganador y al resto de participantes por sus excelentes aportaciones.
Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

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May 13

Aureum Theorema

De siempre se ha comentado entre los matemáticos que la teoría de números es la prima donna de las disciplinas matemáticas. Y dentro de la teoría de números aparece un resultado predominante: La Ley de Reciprocidad Cuadrática.

Ocupado con otro trabajo, me encontré con una verdad artmética extraordinaria. como la consideré muy bella en si misma, concentré en ella todos mis esfuerzos para entender los principios de los cuales dependía y para obtener un prueba rigurosa. C.F. Gauss.

Gauss se enfrentaba a la Ley de Reciprocidad Cuadrática, y no se conformó con dar una demostración, en 1801 en su libro Disquisitones Arithmeticae, da dos demostraciones y lo denomina Aureum Theorema. Años después completaría a ocho demostraciones de teorema.

Este problema surge con la ecuación de congruencias $$x^2\equiv a (\text{mod }p).$$ Si existe tal solución decimos que $a$ es un residuo cuadrático módulo $p$, y el problema se traude en encontrar los residuos cuadráticos.

Es posible que Fermat sembrara la semilla, como en tantas otras ecuaciones, cuando enunció cierto (recordemos que nunca presentaba la demostración) que un primo $p$ podía descomponerse en suma de dos cuadrados sí, y sólo si, el primo era 2 o de la forma 4k+1. Fermat dió más resultados similares, pero no los trataremos aquí.

Euler comenzó a estudiar el problema enunciando que si $p$ era un númerp primo impar y $a$ un entero cualquiera coprimo con $p$, entonces $$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1 (\text{mod }p).$$

Pero, ¿qué ocurriría si tratamos de relacionar dos primos?; es decir, $x^2\equiv q (\text{mod }p)$, y, $y^2\equiv p (\text{mod }q)$ para dos primos impares. Esto daría pie a Euler para afirmar:

  1. $q=4k+1$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es congruente con un residuo cuadrático módulo $q$
  2. $q=4k+3$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es congruente con $\pm b^2$ módulo $4q$, donde $b$ es impar no divisible por $q$

Esto no es exactamente la Ley, pero fue una primera aproximación.

Legendre dio el gran paso, y en él introdujo su símbolo que utilizamos hoy:

$$\left(\frac{a}{p}\right)  = \begin{cases} 0 & a \equiv 0 \pmod{p} \\ 1 & a \not\equiv 0\pmod{p} \text{ y } \exists x : a\equiv x^2\pmod{p} \\-1 &a \not\equiv 0\pmod{p} \text{ y no hay tal } x. \end{cases}$$

Así Legendre formularía la Ley de Reciprocidad Cuadrática como más frecuentemente se utiliza hoy: Para dos primos impares $p$ y $q$ se cumple

$$ \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}.$$

Legendre lo demostraría en 1798, una demostración que se basaba en argumentos no probados. dos años después de que Gauss descubriera una demostración, a la edad de 19 años. Sin embargo, sería la publicada en 1801, la que presenta el otro enunciado de esta ley:

Sean $p$ y $q$ primos impares. Entonces

  1. Si $p$ es de la forma $4k+1$, entonces $q$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es un residuo cuadrático módulo $q$.
  2. Si $p$ es de la forma $4k+3$, entonces $q$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $-p$ es un residuo cuadrático módulo $q$.
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May 05

Resumen del CarnaMat73

Simpsons-Math Ya tenemos las 19 entradas de la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas. Vamos con ellas:

  1. El número π, el principio del palomar… y el caos en Tito Eliatron Dixit.
  2. No, los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria en Gaussianos.
  3. Ondas gravitacionales en πkasle.
  4. Aprendiendo técnicas para contar: lotería primitiva y bombones en Cuaderno de Cultura Científica.
  5. Fibonacci y el concurso en 4vium.
  6. El autómata de Huygens y las fracciones continuas en pimedios.
  7. Los números Le Monde-959(por llamarlos de alguna manera) en blioquinfo.
  8. Gala de exposiciones del concurso “Utiliza matemáticas” edición 2016 en cifrasyteclas.
  9. Op Art + geometría = Bridget Riley en ::ZTFNews.org.
  10. Arcos de Málaga: punto y final en El mundo de Rafalillo.
  11. Resolución de problemas en Los Matemáticos no son gente seria.
  12. Centenario de la alfombra de Sierpinski en Juegos topológicos.
  13. Jugando con números XV… Un número muy particular… ¡y grande! en matematicascercanas.
  14. 355/113: la razón de Zu en ::ZTFNews.org.
  15. Toro de papiroflexia: 105 módulos phizzen en Blog sobre Matemáticas.
  16. Educando en valores desde el área de Matemáticas. Las mil grullas de sadako en Blog sobre Matemáticas.
  17. Comparando fracciones con un cortapizzas en matematicascercanas.
  18. Toro de papiroflexia: 360 módulos phizzen en Blog sobre Matemáticas.
  19. Humor matemático en Matemáticas recreativas y educativas.

Espero que estén todas y no haya extraviado ninguna por el camino. Si así fuese pulsad el timbre.

tecla

Y si no funciona dejáis un comentario. Ahora sólo nos queda votar y esperad la próxima edición en ::ZTFNews.org. Suerte a todos.

PD: El plazo de votar terminará el 15 de mayo.

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