Feb 04

El problema de las damas

jonathan_schaeffer El profesor Jonathan Schaeffer encontró la resolución matemática para el juego de damas, siendo su resultado el de tablas. La revista Science publicó Checkers Is Solved (Science 14 Sep 2007:Vol. 317, Issue 5844, pp. 1518-1522 DOI: 10.1126/science.1144079). La publicación ganó la International Computer Games Association Best Publication prize for 2007, y está considerada como una avance en el campo de la Inteligencia Artificial.

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Ene 21

Una curva llamada cardioide


La cardioide está englobada dentro de la epicicloide.

EpitrochoidOn3-generation.gif

«EpitrochoidOn3-generation» por Sam Derbyshire – Original file got from WP:EN. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons.

Cuando el radio de la grande y de la pequeña coincide es la cardioide. La cardioide también aparece en los estudios de Gilles de Roberval para encontrar ejemplos de lineas tangentes.

Roberval fue amigo de la familia Pascal. Étienne Pascal, padre de Blaise Pascal, la estudió particularmente, de ahí que ha pasado a la historia como el Caracol de Pascal.

Pascal limaçons.png


«Pascal limaçons» por ToshaTrabajo propio. Disponible bajo la licencia Dominio público vía Wikimedia Commons.

Otro sitio curioso donde nos aparece esta curva en la representación gráfica de la armonía musical (Armonógrafo)

 Harmonograph, a visual guide to the mathematics of music. Anthony Ashton. Ontenida de woodenbooks.com

Harmonograph, a visual guide to the mathematics of music. Anthony Ashton. Obtenida de woodenbooks.com


Si quieréis saber más de ella, consultar Astroide, cardioide y demás -oides de gaussianos.

Esta entrada participa en la Edición 6.X “El grafo” del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

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Ene 19

Matemáticas contra la malaria

Ronald Ross

Cuando hablamos de modelos matemáticos aplicados a un campo, simplificamos el conjunto de formulismos matemáticos que empleamos para expresar un problema dado. Ya nos decía Galileo Galilei que «las matemáticas son el lenguaje con el que Dios ha escrito el universo». A lo largo de la historia muchos científicos han tenido que recurrir a las herramientas proporcionadas por las matemáticas para encontrar una solución a sus problemas. De los modelos matemáticos para la malaria ya os hable con anterioridad (enlace). Hoy quiero traer al primero, el modelo que presentó un médico, Ronald Ross.

Este médico escocés ha pasado a la historia por ser el descubridor del parásito de la malaria. Galardonado, por este descubrimiento, en 1902, con el Premio Nobel de Fisiología y Medicina.

Con formación matemática, Ronald Ross, publicó en 1911 su libro The Prevention of Malaria. En un apéndice del mismo aparece lo que sería el primer modelo matemático de la malaria. Un modelo sencillo presentado como apoyo a su argumentación de que para erradicar el paludismo era suficiente con disminur la población de mosquitos a un nivel bajo, sin necesidad de extinguirla.

En 1916 —Ross, R.,: An application of the theory of probabilities to the study of priori pathometry, Proc. Roy. Soc., A. 92 (1916), 204-230.– reformuló su modelo. En él planteó $\eta$, el tamaño total de la población humana en un determinado momento; $\gamma$, el número total de humanos infectado; $f$, la proporción de humanos infectados que también son infecciosos; $\gamma$ la cifra de recuperación de los humanos;$\mu$, la tasa de nacimiento; $\nu$, la tasa de mortalidad;$\beta_\nu$, la tasa de picaduras de mosquitos a humanos(*), en una ecuación diferencial(1)
$$\frac{dy}{dt}=\frac{\beta_\nu f_\nu(\eta-y)}{\eta}-(\gamma+\nu),$$ donde los subíndices correspondían a la población de mosquitos. De similar forma la aplicó a la población de mosquitos. Este modelo le sirvió para corroborar sus hipótesis iniciales.

En 1950, el epidemiólogo George Macdonald retomó el trabajo de Ronald Ross, publicando en 1956 el modelo que se conoce como el modelo de Ross-Macdonald. Este modelo lo describen las ecuaciones diferenciales(2)
$$\left\{ \begin {array}{l} \frac{dm}{dt}=\alpha p_mh(1-m)-\delta m\\ \frac{dh}{dt}=\alpha p_h\frac{M}{H}m(1-h)-\gamma h \end{array}\right.$$

El  trabajo de Ross dió salida otros más que intentan mejorarlo, como el mencionado de Ross-Macdonald, o el de un equipo de la Escuela de Higiene y Medicina Tropical del Imperial College de Londres. Se continuan realizando estudios como el publicado en 2012, La Malaria. Modelacion Matematica En El Analisis Entomoepidemiologico, y formando investigadores que Con matemáticas describen comportamiento de la malaria.  Todos con un nexo en común: matemáticas contra la malaria.

Desde que se empezase a estudiar la evolución de una epidemia a lo largo del tiempo, que hoy denominamos Epidemiología, las matemáticas han sido un herramienta fundamental en su desarrollo. Ronald Ross no fue el primero, puede que los trabajos de Willian Heaton en el estudio del sarampión diesen el banderazo de salida, pero esa es otra historia.

Esta entrada participa en la Edición 6.X “El grafo” del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

(*)En su modelo, Ronald Ross, también planteó la variable de los mosquitos mordidos por humanos, pero estimo que esta podría considerarse cero.

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Ene 14

Los Elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría.

Esta es una obra fundamental en la ciencia, como nos mostró Stephen Hawking en Dios creó los números. Los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia. Y es, posiblemente, el libro más divulgado de las historia. Sobre él se sientan los cimientos de la geometría que hoy conocemos como geometría euclidiana, y que en un principio abarcaba toda la geometría existente.

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Dic 21

La lista de Landau

Lev Davídovich Landáu fue uno de los emimentes físicos y matemáticos del siglo XX. Nació en 1908 y murió en 1968, seis años después de recibir el premio Nobel de Física, por sus teorías pioneras sobre la materia condensada, en particular las relacionadas con el helio líquido. Se le considera una figura clave en la física teórica del siglo XX, destacando en sus contribuciones a la mecánica y teoría cuántica.

Aficionados como somos a las listas de famosos, Forbes, …, Landau también confeccionó lista de físicos importantes, asignándoles la nota que tendrían en escala logarítmica desde 0 a 5. En ella calificó:

Puntuación Nombre
0 Isaac Newton
0.5 Albert Einstein
1 Niels Bohr,
Werner Heisenberg,
Paul Dirac
Erwin Schrödinger

Landau estimó que su nota sería 2.5, aunque más tarde lo reconsideró, calificándose en un 2.

Esta entrada participa en la edición 6.9: el conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

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Dic 17

Exponencial de una matriz

Es curioso cómo nuestros alumnos se sorprende al ver operaciones sencillas que se transforman en elementos aparentemente complejos, y resultan igual de sencillos. Un caso es la exponencial de una matriz. En álgebra lineal surge como ejemplo que más tarde se aplicará en ecuaciones diferenciales. Pero tratemos de explicarla para aquellos lectores curiosos.

De nuestro primer año de cálculo de cualquier curso universitario, recordamos la exponencial real como suma en serie. En mi época de estudiante la dábamos incluso antes, cuando estudíabamos los desarrollos de Taylor en COU. El clásico desarrollo de Maclaurin nos decía que

$$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n).$$

Por cierto, la notación “$o(x^n)$” se debe a Edmun Georg H. Landau(1877-1938), un matemático alemán amante del ajedrez. Antes de doctorarse en 1899 había publicado dos libros de problemas de ajedrez.

Tenemos lo necesario para introducir las matrices. Dada una matriz cuadrada $A$ de $n\times n$ con coeficientes constantes, definimos
$$e^{At}=I_n+tA+\frac{t^2}{2!}A^2+\ldots+\frac{t^n}{n!}A^n+\ldots,$$
siendo $I_n$ la identidad de orden $n$. Si $t=1$ tenemos la expresión la exponencial de una matriz que más conocemos
$$e^{A}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}A^k.$$

La convergencia de la serie se prueba fácilmente utilizando la norma de una matriz y la desigualdad
$$\left\| \frac{A^k}{k!}\right\| \leq \frac{\parallel A\parallel^n }{k!}.$$

Puesto que la serie $\sum a^k/k!$ converge para todo número real $a$, el teorema de Weierstrass (de series), nos confirma que la exponencial de una matriz, como hemos definido, es convergente.

Para probarse hemos de introducir la norma de una matriz, podemos utilizar por ejemplo la más sencilla:
$$\parallel A\parallel=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|a_{ij}|.$$

Esta definición permite observar propiedades muy similares a la exponencia real:

  • Si $AB=BA$, entonces $e^{A}e^{B}=e^{A+B}$
  • $\left(e^{A}\right)^{-1}=e^{-A}$.
  • $\parallel e^{At}\parallel\leq e^{\parallel A\parallel t}$

Por último otro cálculo sencillo, su derivada:
$$\frac{d}{dt}e^{At}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{A(t+h)-e^{At}}}{h}=
\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{Ah}-I_n}{h}=$$
$$=e^{At}\underset{h\to 0}{lim}\,\underset{i\to \infty}{lim}
\left(A+\frac{h}{2!}A^2+\ldots+\frac{h^{i-1}}{i!}A^i\right)=Ae^{At}.$$

Maravilloso, ¿verdad?.

Esta entrada participa en la edición 6.9: el conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

 

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Dic 14

El trabajo de Gram y Schmidt

Jørgen Pedersen Gram by Johannes Hauerslev.jpg


Jørgen Pedersen Gram by Johannes Hauerslev” by Johannes Hauerslev (1860-1921) – Royal Library, Copenhagen. Licensed under Public Domain via Commons.

Jorgen Pedersen Gram es un matemático danés que  recordamos muy amenudo cuando enseñamos el espacio vectorial euclídeo. Pocas veces decimos su nombre completo, y, la mayoría, lo imaginamos como el alemán docto que acompañaba a Schmidt. Pero lo cierto es que entre ellos hay una distancia mayor el que el producto escalar que estudiaron.

Gram comenzó a desarrollar su trabajo en matemáticas en 1868, cuando inició su educación universitaría en matemáticas. Terminó sus estudios en 1873, publicando sus primeros trabajos en 1874, sobre álgebra moderna, en la que aparecen resultados de teoría de invariantes.

Trabajó en otros campos de las matemáticas, como teoría de números. Sin embargo, uno de sus trabajos más curiosos fue en silvicultura, conjunto de actividades relacionadas con el cultivo, el cuidado y la explotación de los bosques y los montes. En estos,  Gram desarrolló un modelo de forestación que más tarde sería extensamente aplicado. Aunque en aquel siglo no salieron de su pais natal.

A principios del siglo XX, Jorge P. Gram era una prestigioso miembro de la comunidad científica danesa. Sus trabajos habían trascendido al mundo germano, en particular al doctorando Erhard Schmidt, que investigó bajo la supervisión de David Hilbert. Hoy llamamos espacio de Hilbert a un espacio vectorial provisto de producto escalar y completo. En los años de doctorado ese nombre no se aplicaba y Schmidt trabajaba con esos espacios(*). Se considera que Erhard Schmidt es uno de los fundadores del análisis funcional. En sus trabajos definió la norma que hoy utilizamos en los espácios euclídeos. De él dirían:

Fue uno de los primeros matemáticos para demostrar que la experiencia común de los conceptos de Euclides se puede ampliar de manera significativa más allá de la geometría en el idealizado construcciones más complejas de la matemática abstracta(1).

Erhard Schmidt también desarrolló un trabajo que aparecía en los artículos de Jorgen Pedersen Gram: el proceso de ortonormalización de un conjunto de funciones linealmente independientes. El desarrollo de Schmidt es el que hoy utilizamos. Este es el motivo que hoy expliquemos el teorema de Gram-Schmidt.

No obstante, y como ocurre demasiadas veces, ni Gram ni Schmidt lo desarrollaron los primeros. Laplace se adelantó a ambos, aunque este trabajo pareció quedar oculto entre los cuantiosos hallazgos del genio francés.

 

PD: En 1864 se produjo la guerra de los ducados o Segunda Guerra de Schleswing. En ella se enfrentó el imperio austríaco y Prusia a Dinamarca. La lucha estaba causada por el dominio sobre lo que hoy es el estado de Schleswing-Holstein, ducados de Schleswing y Holstein. El ducado de Schleswing  pertenecía al reino danés, mientras que sus vecinos fronterizos del ducado Holstein erán alemanes. El importante canal de Kiel separaba la influencias entre ambos ducados, y la ambición de los daneses terminó en un anexionamiento militar. La reciente Confederación Germánica no aceptó la acción de Dinarmarca, y partió en auxilio del ducado de Holstein. La guerra terminó con la derrota de los daneses, quienes a demás de perder el ducado, vieron desvanecerse todos sus deseos de convertirse en una potente nación europea. El empuje prusiano eclipsó al resto de naciones germánicas y de su influencia. Los trabajos más influyentes en silvicultura aparecieron de la mano de los autores germanos, olvidando la labor de Jorgen Pedersen Gram.

(*)Hay una anécdota que leí no recuerdo dónde, y que esta entrada me ha recordado. En cierto momento David Hilbert estaba en una conferencia escuchando la disertación del ponente. Cuando este terminó y se ofreció a responder a las preguntas, Hilbert levantó la mano (dijo algo así):

Hay una cuestión que no he entendido de lo que ha expuesto usted: ¿qué es un espacio de Hilbert?

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Nov 27

Matemáticas contra la viruela

Daniel Bernoulli 001.jpg


«Daniel Bernoulli 001» por Johann Jakob HaidHere. Disponible bajo la licencia Dominio público vía Wikimedia Commons.

La epidemiología es la parte de la medicina que estudia el desarrollo epidémico y la incidencia de las enfermedades infecciosas en la población. Hoy viajaremos hasta el siglo XVIII, a uno de los primeros intentos de los matemáticos en poner sus herramientas al servicio del estudio de las epidemias.

Durante el siglo XVIII las epidemias de viruela asolaron Europa. En 1760 la viruela era la causa principal de mortalidad infantil en el viejo continente. La historia nos cuenta cómo lady Montagu se esforzó por extender la práctica de la inoculación, que había visto en Turquía, para salvar vidas frente a la viruela. Durante su estancia en Turquía, junto a su marido, nombrado embajador, lady Montagu, asistió a la práctica de la inoculación que realizaban las madres como profilaxis contra la viruela. Esperanzada con los resultados vividos en la lucha contra la viruela por el Imperio Turco, decidió divulgar la inoculación, luchando contra los prejuicios que había contra tal práctica.

La disputa entre los partidarios y contrarios (por ejemplo, Voltaire fue un ardiente defensor en Francia) llegó a plantear la necesidad de estudiar si era beneficiosa o no. Para tal empeño, Maupertuis, como miembro de la Academia Real de Ciencias de París, solicitó a Daniel Bernoulli, en aquellos momento un reconocido gran geómetra, un estudio que decantase la balanza de la inoculación contra la viruela.

Posiblemente sea el trabajo de 1760 de D. Bernoulli el primero en proponer un modelo epidemiológico. En el trabajo, Daniel, emplea las escasas ayudas que el siglo podía ofrecerle. El mismo reconoce que con mayor información los resultados serían más acertados. Considera que el número personas que no han tenido la viruela, $s$, de una edad $x$, dependen del número de supervivientes, $y$, mediante la relación

$$s=\frac{8}{7e^{\frac{x}{8}}+1}y.$$

Una vez planteada esta fórmula, estudia lo que ocurriría si todos fuesen inoculados al nacer y, como consecuencia, la viruela fuese erradicada como causa de muerte. Daniel Bernoulli concluye que un recién nacido tendría una esperanza de vida con una ganancia de 3 años y 1 mes. Esto sería suficiente para decantar la balanza por la inoculación, pero Daniel Bernoulli sabe de las precarias tablas que le han ofrecido para obtener esos datos. Analiza el riesgo de la inoculación y obtiene una fórmula para el número de supervivientes en un estado no inoculado, para cada edad,

$$z=\frac{me^{\frac{x}{n}}}{1+(m-1)e^{\frac{x}{n}}}y,$$

siendo $n$, el número de individuos que no hayan tenido viruela en el plazo de un año, y $m$ el número de individuos que enferman de viruela en el mismo año.

Con todo, D. Bernoulli, no se atreve a decantar claramente la balanza, y, aunque considera que la inoculación es muy útil, reconoce que el problema no es el mismo para particulares que para los Estados: la decisión, inoculación si o no, dependerá “en tanto que se quiera adoptar el principio de la mayor utilidad de toda la humanidad…

Como decimos no todos estaban de acuerdo. Incluso en los que apoyaban la inoculación tampoco eran partidarios de aceptar el trabajo de D. Bernoulli. Aunque Bernoulli leyera la memoria el 30 de abril de 1760, esta no se publicó hasta 1765. Posiblemente debido a la oposición de d’Alembert, uno de los miembros más influyentes de la Academia, que publicó su propio trabajo en 1761, criticando la solución del problema de la inoculación dada por D. Bernoulli.

D’Alembert  no coge el punto de vista de la colectividad, sino únicamente el del individuo que debe elegir entre el riesgo inmediato de la inoculación, y el riesgo más distante de la enfermedad: se goza mejor de la vida cuando se es joven, dice él, y una ganancia de tres o cuatro años de vida media, perspectiva lejana (¿años de vejez?) no es suficiente para justificar que se exponga a morir en pocos días de una inoculación voluntaria.[1]

A lo que Daniel Bernoulli le respondió, cuando se publicó su trabajo en 1765:

…[no estaba] sorprendido de que al vulgo le llame poco la atención este último aspecto, pero no puedo impedir estarlo cuando veo personas de mérito y de una gran reputación, plantearse seriamente si vale la pena sufrir una operación como la inoculación, con la esperanza de prolongar su vida en dos años: sería de desear que las críticas fuesen más reservadas y más circunspectas, y sobre todo que hiciesen el esfuerzo de ponerse en el hecho de las cosas que se proponen criticar por anticipado.

Se cree, además, que D’Alembert criticaba el trabajo de Bernoulli por basarse en la teoría de las probabilidades, que hasta los trabajos de Laplace no adquirió la importancia que vivió en el siglo IXX.

No podemos decir que el trabajo de Daniel Bernoulli, y otros matemáticos que intentaron mejorar los modelos, ayudasen a salvar vidas, la inoculación de la viruela cambió cuando E. Jenner descubrió la vacuna en 1796 (curiosamente una especie de inoculación con viruela de vaca, menos virulenta) ; pero sí dio una razón más a los seguidores, una razón basada en las matemáticas.

Epílogo:

¿Y qué propuso d’Alembert? Criticando los criterios asumidos por Bernoulli, d’Alembert considera $v(x)$ la mortalidad por viruela a la edad $x$, $m(x)$, la mortalidad por otras causas y $P(x)$ el número de supervivientes, para plantear

$$\frac{dP}{dx}=-v(x)P-m(x)P.$$

A partir de aquí obtendría sus propios resultados. Para verlo puede consultarse [2].

Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

Referencia:

  • [1] SMALLPOX AND THE MEMORY OF D. BERNOULLI. AN EARLY
    EXAMPLE OF APPLIED STATISTICS, José Antonio Camúñez Ruiz, Francisco Javier Ortega Irizo.
  • [2]A Short History of Mathematical Population Dynamics, Nicolas Bacaër
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Nov 19

Teoría Analítica de las Probabilidades

Laplace10bEl concepto de probabilidad se llevaba utilizando desde el principio del siglo XVII, pero es en 1812 cuando Pierre-Simón de Laplace lo expone con notable éxito. La obra Teoría Analítica de las Probabilidades está considerada uno de los grandes libros de la ciencia. Tal fue el exito de la misma que en la tercera edición de 1820 se le agregó un capítulo llamado Ensayo Filosófico de las Probabilidades. Laplace se une al elenco de matemáticos que trascienden sus matemáticas a la filosofía.

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