Sep 25

Series de primos

La teoría de número tiene un atractivo especial en las matemáticas, y los primos es parte del encanto. Uno de los retos en los que primero cae uno es el de encontrarlos, conseguir una fórmula que nos de todos los primos, o muchos. ¿La habrá?

Sabemos que hay infinitos primos, y que podemos encontrar series con infinitos primos. Por ejemplo, hay infinitos primos de la forma 4n+3, y la demostración resulta instructiva.

Supongamos que me equivoco y el número de primos que se puede poner como $4n+3$ para ciertos $n$ enteros positivos es finito, y que estos primos son $\{p_1,p_2,\ldots,p_k\}$. Ahora construyamos el número $N=(p_1\cdot p_2\cdots p_k)^2+2$. Como cada $p_i=4n_i+3$ para cierto $n_i\in\mathbb{Z}^+$, resulta que $$p_i^2=(4n_i+3)^2\equiv 3^2(mod\, 4)\equiv 1(mod\, 4).$$ En consecuencia $$N=(p_1\cdot p_2\cdots p_k)^2+2\equiv (1+2) (mod\, 4)\equiv 3 (mod\, 4).$$

Es decir, $N$ es un número de la forma $N=4n_\alpha+3$ mayor que todos los $p_i$ y no divisible por ninguno de ellos. Pero $N$ tiene que tener divisores primos, y como no pueden ser los $p_i$ serán otros de la forma $4n+1$. Entonces $$N=q_1\cdot q_2\cdots q_r,$$ con $q_i=4n_i+1$ para todo índice. Lo que me lleva a que $$N\equiv 1 (mod\, 4).$$ una contradicción, pues no puede ser $N\equiv 3 (mod\, 4)$ y $N\equiv 1 (mod\, 4)$ al mismo tiempo. Esta contradicción surge de supone que el número de primos de la forma $4n+3$ es finito.

Como apreciaréis un planteamiento similar a cómo Euclides demostró la infinitud de los números primos.

Pues bien, podemos demostrar de forma similar que el conjunto de primos para ciertos $n$ de la forma $4n+1$, también es infinito. Y los de la forma $6n+1$ ó $6n+5$ ó $8n+1$ ó $8n+3$ ó $8n+5$, y así un no parar. En general lo podemos formular como un teorema, el teorema  de Dirichlet sobre progresiones aritméticas:

Sea $a,\,d\in \mathbb{N}$ tales que el máximo común divisor $(a,d)=1$, entonces la progresión aritmética $a_{n}=a+n\cdot d$ contiene infinitos números primos.

Este resultado que conjeturó Gauss, fue demostrado por Dirichlet en 1837. La demostración se sale de la teoría clásica de números, para adentrarse en la teoría analítica de números. Dirichlet fue un potenciador de esta rama de la teoría de números. A él también debemos, por ejemplo, el Principio del Palomar.

Una consecuencia que obtenemos de este teorema es la respuesta a la pregunta del principio. ¿Podríamos encontrar un polinomio, $P(x)$, con coeficientes enteros que satisfaga $$P(x) \mbox{ es primo} \forall x\in\mathbb{Z}^+?$$

La respuesta es no. Supongamos que sí, que existiese $P(x)$ primo, para todo $x$>0, entonces $P(1)=p$ es primo. Para algún $k>0$, $P(1+k\cdot p)$ será primo  y $P(1+k\cdot p)\equiv P(1) (mod\, p) \equiv 0 (mod\, p)$. Es decir, $P(1+k\cdot p)$ es primo y congruente con 0 modulo $p$, luego $P(1+k\cdot p)=p$ para todo entero $k>0$ anterior. Como el Teorema de Dirichlet nos dice que hay infinitos $k$ que lo cumplen, seguiría que la ecuación $P(x)-p=0$ tiene infinitas soluciones y eso no es posible, un polinomio de grado finito tiene finitas soluciones. Otra contradicción.

Como veis, hay un mundo infinito de contradicciones. Qué pena que no aprendamos de ellas.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima novena edición, también denominada 9.3, está organizado por @juanfisicahr a través de su blog Esto no entra en el examen.

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Ago 05

Euler contra Diderot

El pasado 28 de julio, apareció una entrada de Carlo Frabetti en la sección El Juego de La Ciencia del diario El País, que rezaba el mismo título: Euler contra Diderot. Su lectura es muy instructiva y me llamó la atención el problema que nos deja a los lectores. en determinado momento nos cuenta que Euler le dijo a Diderot: “Mi mujer escribió un número entero de menos de treinta cifras terminado en 2; yo borré el 2 del final y lo puse al principio, y el número resultante era el doble del que había escrito mi mujer. ¿Qué número escribió?”. Ahí arranca un interesante problema de la teoría de números. Independientemente de la originalidad o certeza de este reto, nos plantea un problema que podemos resolver con la herramientas de una teoría de números básica. Veámoslo.

Consideremos que el número que buscamos es $x$. Si lo expresamos en base decimal, será: $$d_n10^n +d_{n-1}10^{n-1}+\ldots+d_110+d_0=x.$$ El enunciado del problema nos dice que $d_0=2$, en consecuencia $x$ es par y se puede poner como $x=2y$. Además, por el enunciado, colocando el 2 en primer lugar (recordemos que seguimos teniendo las mismas $n+1$ cifras), resultará el doble del primero; es decir, $$2\cdot 10^n +d_{n}10^{n-1}+d_{n-1}10^{n-2}+\cdot+d_210+d_1=2x=4y (1)$$

Precisamente el hecho de que las cifras sean las mismas, salvo el orden, juega a nuestro favor. Por la propiedad de la divisibilidad del 3 y las congruencias $$2y=d_n10^n +d_{n-1}10^{n-1}+\ldots+d_110+2\equiv [d_n+d_{n-1}+\ldots+d_1+2](mod\, 3)$$ y $$4y=2\,10^n +d_{n}10^{n-1}+d_{n-1}*10^{n-2}+\ldots+d_210+d_1\equiv [2+d_n+d_{n-1}+…+d_1](mod\, 3).$$ Observemos que ambos términos de la congruencia son el mismo sumando $[d_n+d_{n-1}+\ldots+d_1+2]$, en consecuencia, $$2y\equiv 0(mod\, 3).$$

Ya tenemos la primera pista del número que buscamos: es un múltiplo de 6 que termina en 2.

Esta linea se puede continuar, aunque nos lleva a un camino peligroso. Me explico. Si consideramos el enunciado, $$2\,10^n +d_{n}10^{n-1}+d_{n-1}*10^{n-2}+\ldots+d_210+d_1=2(d_n10^n +d_{n-1}10^{n-1}+\ldots+d_110+2).$$

Si restamos nos dará: $$(2-2d_{n})\,10^n +(d_{n}-2d_{n-1})10^{n-1}+\ldots+(d_2-2d_1)10+(d_1-2d_0)=0$$

Lo que nos permite aventurar que nuestro número termina en 42, aún diría más, en 842, resultado que nos lo enseña la sucesión de diferencias: $d_1-2d_0=0;d_2-2d_1=0$. Sin embargo, debemos llevarnos cuidado, puesto que los números $d_i$ son dígitos entre 0 y 9, y en la siguiente,  $d_3-2d_2=0$, nos crea un problema un poco más difícil de entender, que lo utilizado hasta ahora. Dejemos esta línea, para afrontar otra más productiva y con la misma facilidad de entender. No sin antes, mostrar que si miramos al final de la recursión nos llevaría a $2-2d_{n}=0$, que nos indica que $d_n=1$ y, aún más, $d_{n-1}=0$. Así que esta línea nos da la pista de que el número que buscamos es de la forma: $$10\cdots\cdots\cdots\cdots 842.$$ Curioso, ¿verdad? No sabemos la cantidad de cifras, solo que es menor de 30 (por el enunciado).

Hasta aquí, a mis alumnos de Informática les sugiero que afronten el problema con una solución a fuerza bruta. Si utilizamos R y la librería de grandes enteros gmp, únicamente necesitamos un procedimiento de fuerza bruta que busque múltiplos de 6 que empiecen por 10 y terminen por 842, menores de 30 dígitos. Un problema finito.

Pero Euler no disponía de ordenador (salvo que su celebro fuese uno), con lo cual tenemos que seguir probando con la teoría de números, o en este caso un sencillo proceso de aritmética.  Sabemos (algoritmo de la división) que cualquier entero positivo, y nuestro $x$ en particular, que termine en 2 se puede escribir como: $x=10q+2.$ El enunciado no dice que el doble termina en el penúltimo dígito de $x$, luego $$x=10q+2\to 2x=2(10q+2)$$ Pero también, $$2x=2\cdot 10^{n}+q.$$

Veamos esto con un ejemplo. Supongamos el número $456872$, si quitamos el último 2 y lo pasamos al principio tendremos el $245687$. $456872=10 \cdot 45687+2$ y $245687=2 \cdot 10^{6}+45687$. En nuestro caso el equivalente a $q$ es $45687$.

Por tanto, de $2x=2(10q+2)$ y $2x=2\cdot 10^{n}+q$, obtenemos que $$20q+4=2\cdot 10^{n}+q$$ lo que nos lleva a $$2(10^n-2)=19q$$

Lo hemos escrito así para poder utilizar las propiedades de los números primos. En la ecuación diofántica que tratamos de resolver (como sabemos que tiene solución), es necesario que $19$ divida a $(10^n-2)$, por ser $19$ primo. Así que buscamos un número divisible por $19$ de la forma $(10^n-2)$. Esto es un problema de restos potenciales, estamos buscando resolver la ecuación $$10^a\equiv 2(mod\, 19).$$

De nuevo podemos utilizar R para obtener que el número $a$ que buscamos es $17$; $$10^{17}\equiv 2(mod\, 19).$$

En realidad, $$10^{17m}\equiv 2(mod\, 19),$$ para cualquier natural $m$ valdría, pero el enunciado nos dice que el número en cuestión es menor de 30 digítos, y $10^{17\cdot 2}$ supera los treinta. Por tanto la ecuación $$2(10^n-2)=19q$$ queda como $$2(10^{17}-2)=19q,$$ es $$2\cdot 99999999999999998=19q.$$

Dividiendo por 19 y multiplicando por 2, tendremos $$q=10526315789473684.$$ Pero recordad que el número que buscamos es $x=10q+2$, por tanto $$x=10q+2=105263157894736842.$$ Y ya está. Bonito número, ¿verdad? Observar que cumple las primeras propiedades que observamos: comienza por 10 y termina por 842, además de ser divisible por 6.

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May 24

Problème des ménages

Conservando su título original propuesto por el matemático francés François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), en Théorie des nombres, Gauthier-Villars, Paris, 1891, el problema pretende contar el número de formas en las que puedes sentar a una mesa redonda $n$ parejas de comensales de forma que no coincida junta una pareja.

Por ejemplo, consideremos 3 parejas, $A_1A_2$, $B_1B_2$ y $C_1C_2$ y las sentamos en una mesa circular de esta forma:

pretendiendo no sentar a nadie al lado de su pareja. La pregunta sería: ¿de cuántas formas podemos sentarlas sin que coincidan  $A_1A_2$ o $B_1B_2$ o $C_1C_2$ al lado?

Un problema equivalente había sido formulado, independientemente, por el matemático escocés Peter Guthrie Tait, que estaba estudiando la teoría de nudos, en On knots, i, ii, iii, in Scientific Papers, pages 273-347. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1898.

La primera fórmula explícita que daba el número fue publicada por el francés Jacques Touchard en 1934,
$$M_{n}=2\cdot n!\sum _{{k=0}}^{n}(-1)^{k}{\frac {2n}{2n-k}}{2n-k \choose k}(n-k)!.$$
Aunque no dio su prueba. Tendríamos que esperar a 1943 para que Kaplansky (Solution of the problème des ménages. Bull. Amer. Math. Soc., 49:784-785) diese una demostración.

A partir de aquí se han obtenido otras fórmulas, como la de Wyman & Moser de 1958(On the problème des ménages, Canadian Journal of Mathematics, 10 (3): 468–480, doi:10.4153/cjm-1958-045-6, MR 0095127).

En Non-sexist solution of the ménage problem, podéis encontrar la de Kenneth P. Bogart and Peter G. Doyle, que lo resuelve utilizando el principio de inclusión-exclusión.

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May 02

John Graunt y las tablas de mortalidad

Graunt Observations.jpg


De John Grauntexternal free, Dominio público, Enlace

Encontrar el comienzo de una disciplina es agrupar diversos acontecimientos que llevaron al nacimiento formal. La Estadística, como vocablo es posible que surgiese de la palabra alemana statistik, que Godofredo Achenwall introdujo en 1749 para tratar el análisis de datos acerca del estado.

Desde le principio de la escritura hemos compilado datos que podrían considerarse acerca del estado, o al menos, acerca de las necesidades del regidor del momento. Por tanto, estadística se hizo antes de que así lo llamásemos, y se escribió antes de que así lo entendiésemos. Sin embargo, podríamos aventurarnos a fechar el inicio en la publicación del primer tratado que entraría dentro de las publicaciones científicas de estadística, hablo de Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality (1662) de John Graunt.

En esta obra , John Graunt plasma el trabajo del análisis de los datos de las tasas de mortalidad de Londres en la Inglaterra de Carlos II, intentando con ello avisar de la aparición y propagación de la peste bubónica. Los boletines de mortalidad  (Bills of Mortality) que se publicaban, le sirvieron como base documental para sus investigaciones.

Más información en:

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Dic 09

Un recuerdo para Lotfi A. Zadeh

LotfiZadeh Con unos meses de retraso traemos a pimedios el fallecimiento de Lofti A. Zadeh, padre de la lógica difusa. Famoso por introducir en 1965 la teoría de conjuntos difusos o lógica difusa, una teoría que creo para introducir la incertidumbre de una manera diferente a la planteada por la teoría probabilística existente en la década de los 60. En esta teoría, planteada en el artículo Fuzzy sets. Information and Control. 1965; 8: 338–353, introduce en concepto de conjunto difuso, o borroso, (Fuzzy set), que más tarde T. Takagi y M. Sugeno implementarían para diseñar sistemas de control, que se apellidaron difusos, comienzos de toda la bibliografía sobre modelado para control de procesos.

Veamos un ejemplo de como entender la diferencia entre la probabilidad y la lógica difusa.

Su legado científico es inmenso en todo el mundo y en particular en España, como nos enseña Ramón López de Mántaras, Director del Instituto de Investigación en Inteligencia Artificial del CSIC, en el obituario que escribió el 8 de sep. 2017 en el mundo.

Si queréis saber más sobre este investigador y su trascendente trabajo, el profesor E. Trillas publicó un detallado artículo sobre él y su influencia en Lotfi A. Zadeh: On the man and his work.

Esta entrada participa en la edición 8.6 del Carnaval Matemático, cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Matemático Soriano.

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Oct 13

La serie de Brook Taylor

Taylor - Methodus incrementorum directa et inversa, 1715 - 811460.tif

De Taylor, Brook – Este archivo está disponible en biblioteca digital BEIC y fue subido como parte de la sociedad con BEIC., Dominio público, Enlace

Leo la entrada de Café y Teoremas y no puedo dejar de sonreír: “La llamada serie de Taylor no es tan mediática como Juego de Tronos, pero resulta fundamental en el cálculo matemático y, con ello, en el resto de ciencias e ingeniería.” Y tiene mucha razón. Las series matemáticas nacieron mucho antes que las series televisiva, aunque la trascendencia de la últimas supere exponencialmente a las primeras.

Las serie de Taylor es una suma infinita de potencias enteras de polinomios que permiten aproximar funciones más complejas. Y esta fue publicada por primera vez en el trabajo Methodus incrementorum directa et inversa de 1715 de Brook Taylor, el músico, pintor, jurista y gran matemático al que Pedro Tradacete dedica su entrada en Café y Teoremas: Brook Taylor.

Como muchos logros del XVIII, no fue el único en visualizar este tipo de series. En el siglo anterior James Gregory publicó varias series que se deducen de esta. Y años después, otro escocés, trabajaría con las series de Taylor en un trabajo de 1742, Treatise of fluxions, donde introduce la llamada serie de Maclaurin, que permite evaluar funciones. Newton y Leibniz también trabajaron con la serie de Taylor, y es posible que Taylor la aprendiese de los trabajos de Newton, pero fue Brook Taylor quien primero trabajó con ella como función y enseñó el camino. Aunque no sería hasta 1772 cuando Lagrange incidió en su importancia.

Algo si hay en común en las dos series: Juego de Tronos y la serie de Taylor, ambas han hecho historia.

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Jun 30

Euler y la serie armónica

La serie armónica ha cautivado a los matemáticos desde siempre.

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+\cdots }$$

Su nombre se debe a que la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie de fracciones unitarias.

Sabemos que la serie es divergente; es decir, su suma es infinita. Nicole Oresme, o Nicolás Oresme, (c. 1323 – 11 de julio de 1382) , fue el primero que lo probó. Siglos después Pietro Mengoli (1626-1686), alumno de Bonaventura Cavalieri, abordó una nueva demostración, a la que siguieron las de los hermanos Bernoulli, Johann y Jacob. En el siglo XVII se vivía la eclosión por las series infinitas.

En el siguiente siglo, Euler, el alumno aventajado de los Bernoulli, en particular de Johann Bernoulli, quien le daba clases todos los sábados por la tarde (Dedicación del maestro), estudió la serie y encontró su propia prueba. Esta es la que hoy traigo aquí.

Para demostrar la divergencia de la serie armónica, Euler consideró el desarrollo en serie del logaritmo:
$$
\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}-\ldots
$$
Ahora Euler considera $x=1$,
$$
\ln(0)=-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots\right)
$$
[Anotación: Quizás parezca extraño, pero era consecuente con la suma que se conocía:
$$
\ln(1-(-1))=\ln(2)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots
$$
deducida precisamente por Pietro Mengoli y otros.]

Una vez dada la igualdad anterior, Euler operó con el logaritmo
$$
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots=-\ln(0)=\ln(0^{-1})=\ln\left(\frac{1}{0}\right)=\ln(\infty)=\infty.
$$

Un momento antes de sacar las escopetas. Euler razonó que el logaritmo de infinito es infinito; es decir, el logaritmo tendía a infinito. Pero entonces no existía la noción de límite, y se permitían estas digresiones del análisis matemático, que hasta la llegada de Augustin Louis Cauchy no se tratará con la rigurosidad que hoy demandamos. Euler trabajaba con la naturalidad que hoy decimos a nuestros alumnos de bachiller que $\frac{1}{0}=\infty$, cuando, con rigurosidad, $\frac{1}{0}$ no existe, no puede plantearse. Si lo analizamos desde las matemáticas de hoy, el desarrollo de logaritmo no es válido para $x=1$, por tanto, no puede suponerse $\ln(0)$. Sin embargo, el razonamiento de Euler es comprensible y casaría a la perfección para nuestros alumnos no universitarios.

Esta entrada participa en la Edición 8.5 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Santi García desde Raíz de 2.

 

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May 23

Un paseo por los coeficientes binomiales

Cuando tratamos en probabilidad los números combinatorios, estamos hablando de las  formas en que se puede extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. También los llamamos coeficientes binomiales,  que nos aparecen en el famoso triángulo de Pascal.

TrianguloPascalC.svg

De DriniTrabajo propio, CC BY-SA 3.0, Enlace

Esta concepción define el coeficiente binomial de dos números enteros $n,k>0$ como
$${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$$

Hasta aquí lo que normalmente vemos. Pero, ¿podemos hacer el número binomial siguiente?:
$${\displaystyle {-4 \choose 3}}.$$
Para resolver el problema necesitamos herramientas nuevas. Sabemos que el número combinatorio también puede escribirse como
$${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k!}}}.$$
Definamos, para cualquier real, $x\in\mathbb{R}$, y $k\in\mathbb{Z}^+$,
$$(x)_0=1$$
y
$$(x)_k=x(x-1)\ldots(x-k+1),\, k>0.$$
Entonces,
$${\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_k}{k!}}}.$$
Ahora,
$${-4 \choose 3}=\frac{-4(-4-1)(-4-2)}{3!}=-\frac{4·5·6}{6}=-20.$$
Del mismo modo
$${1/2 \choose 3}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)\left(\tfrac{1}{2}-2\right)}{3!}=\frac{1}{16}.$$
Parece ridículo, porque no podemos interpretarlo como al principio. Pero esto no es óbice para dar una definición que, algún día, tenga interpretación.

Generalizemos aún más. Conocemos la relación de los factoriales con la función gamma: $\Gamma(n+1)=n!$ para todo $n$ natural. Entonces
$${\displaystyle {n \choose k}={\frac {\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}}}.$$
Apliquémoslo a números reales $x,y$:
$${\displaystyle {x \choose y}={\frac {\Gamma(x+1)}{\Gamma(y+1)\Gamma(x-y+1)}}}.$$
Es más, la función Gamma nos lleva a un resultado curioso:
$${x \choose y}\cdot {y \choose x}={\frac {\sin((x-y)\pi)}{(x-y)\pi}}.$$
¿Y lo podemos hacer más complejo? Sí. Para cualesquiera $z,w\in\mathbb{C}$ definimos el coeficiente binomial ${z \choose w}$ como
$${\displaystyle {z \choose w}=\lim_{u\to z}\lim_{v\to w}{\frac {\Gamma(u+1)}{\Gamma(v+1)\Gamma(u-v+1)}}}.$$
Con las definiciones escritas vemos que
$${1 \choose \tfrac{1}{2}}={\frac {\Gamma(1+1)}{\Gamma(\tfrac{1}{2}+1)\Gamma(1-\tfrac{1}{2}+1)}}=\frac{4}{\pi};\quad {\tfrac{1}{2} \choose 1}=\frac{1}{2}.$$

Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, matematicascercanas

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Abr 29

Wilson y los primos

El teorema de Wilson nos dice que p es un número primo, entonces
$$(p−1)! \equiv -1 (\text{mod }p)$$

El recíproco también es cierto. En efecto, supongamos tenemos un número mayor que 1, $n\in\mathbb{Z}^+$, compuesto y que verifica la igualdad anterior. Entonces por ser compuesto existen $a,b\in\mathbb{Z}^+$ tales que $n=a\,b$, siendo $1<a,b<n$. Como $(n−1)! \equiv -1 (\text{mod }n)$, implica que $(n−1)! +1=k\,n$ para cierto $k\in\mathbb{Z}$. Ahora, tanto $a$ como $b$ al ser factores de $n$ están en el producto $(n-1)!$. En consecuencia, $a$ divide a $n$ y, además, $a$ es un factor de $(n-1)!$. Luego existen $r$ y $s$ enteros tales que

$$(n−1)! +1=k\,n\Rightarrow a\,r+1=k\,s\,a\Rightarrow 1=(k\,s-r)\,a$$

Pero esto es absurdo, pues 1 no se puede factorizar con números enteros mayores que él. ¿Dónde está el error? En suponer que $n$ es compuesto.

Sabemos que el resultado lo publicó el profesor lucassiano Edwar Waring en la obra Meditationes Algebraicae (Cambridge, Inglaterra: 1770), comentando un enunciado sugerido por su alumno John Wilson:

“Hanc maxime elegantem primorum numerorum proprietatem invenit vir clarissimus, rerumque mathematicarum peritissimus Joannes Wilson Armiger.”

Sin embargo, ni Waring ni su alumno Wilson probaron el resultado, ni se dieron cuenta que el inverso también era cierto. Fue Lagrange quien probó ambas proposiciones en 1773.

El resultado es tan sencillo que apetece utilizarlo para probar si un número es primo. Pero esconde una dificultad extrema: el cálculo del factorial. La complejidad para calcular un factorial es de orden $O(n)$. Lo que significa que si en un ordenador tardamos 1 segundo en calcular 10!, emplearíamos, como máximo, 2 segundos en calcular 20!,  y $n$ segundos en $n!$. Hoy las computadoras son increíblemente rápidas, y el tiempo se reduce. Aun así, cuánto tardaríamos en computar el más de un millón de cifras de 200000!.

Así que pongámonos en marcha y apliquemos nuestros conocimientos alumnos en encontrar un algoritmo que reduzca el tiempo. De partida podemos empezar con estos:  The Homepage of Factorial Algorithms. Y si lo consiguen mejorarlo, siempre podremos ponerle nuestro nombre como hacía Pitágoras.

Este post participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog Semillas.

 

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Mar 25

Roma y las matemáticas

Da Vinci Vitruve Luc Viatour.jpg


De Leonardo da Vinci – Leonardo Da Vinci – Photo from www.lucnix.be. 2007-09-08 (photograph).

Hay un adagio repetido a lo largo del tiempo: la historia la escriben los vencedores. Esta nos lleva a creer que si no está escrito, no existió. El nombre de la reina-faraón Hatshepsut fue borrado sistemáticamente de los anales y edificios egipcios. Con ello relegaban al olvido su existencia y su obra. De un modo similar, algunos de los primeros historiadores de las matemáticas se sintieron tan obnubilados por la ciencia griega que desdeñaron las matemáticas en el periodo de dominio de Roma. Aunque es verdad que no hay grandes nombres de la Roma clásica en el elenco de personajes matemáticos, las matemáticas no dejaron de existir con el decaer de la Grecia clásica.

A la hora de recordar a los matemáticos de la época entre los griegos y los árabes topamos con nombres tan conocidos como Diofanto de Alejandría, Pappus de Alejandría o Teón de Alejandría. Lo adivinan, ¿verdad? Vivieron en el Imperio Romano, habiendo nacido en la continuación de la tradición helenista. Arquímides, Hipatia o Ptolomeo son continuadores de un conocimiento griego en un mundo romano, o donde Roma comenzaba a mostrar su influencia, en el caso de Arquímides.

Para algunos historiadores la decadencia de las matemáticas, tras el periodo griego, fue debido al impacto negativo de Roma.

Algunos historiadores atribuyen esta decadencia a las insuficiencias y limitaciones del álgebra geométrica griega, y otros al frío hálito de Roma. C. Boyer, Historia de la matemática.

No cabe duda que hay parte de razón: los romanos fueron un pueblo conquistador, amante del dios Marte. Sin embargo, Boyer también nos dice:

El periodo que va de Hiparco a Ptolomeo a lo largo de tres siglos fue uno de predominio de la matemática aplicada.

Más prácticos que teóricos, los romanos buscaban la aplicación: Arquímedes y Herón de Alejandría son exponentes de matemáticas aplicadas. Las matemáticas que ayudaban, por ejemplo, en la construcción.

Marco Vitruvio fue arquitecto e ingeniero, en la Roma de Julio Cesar. De él tenemos De architectura, la referencia por antonomasia del conocimiento arquitectónico de la antigüedad grecolatina(no se si atreverme a decir que por ella puede considerarsele el Euclides de la arquitectura). Leonardo da Vinci le homenajeará con el famoso dibujo. No cabe duda que Vitruvio conoce la geometría, las proporciones, las figuras. Continua con la labor de Arquímedes, describiendo la construcción del tornillo de Arquímedes, relojes de sol y de agua, incluso el uso de la eolípila (la primera máquina de vapor, que ideó Herón de Alejandría) Quizás no veamos las matemáticas, pero De architectura, contenía, además construcciónGnomónica y Mecánica (matemáticas aplicadas).

Es posible que Vitruvio no se parase en analizar la geometría como los helenistas de Alejandría. Para Roma era más importante los acueductos, los puentes, las ingenierías militar y de minas, la metalurgia, la agrimensura.  Higino Gromático ejercía de agrimensor en la época del emperador Trajano(el hispano, sobre quien Santiago Posteguillo ha escrito una  excelente trilogía), y era geógrafo, cartógrafo y matemático. Se le atribuye un tratado sobre campamentos militares. Experto en gnomónica escribió un amplio trabajo en agrimensura.

El interés en Roma por las matemáticas parece no equiparse al pasado en Grecia, o el mismo que se mantiene en la Alejandría helenística. En el blog sobre la educación de la Roma Antigua podemos leer:

La organización de la enseñanza en la época imperial siguió siendo parecida a la época anterior con sus tres grados del literato, el gramático y el retórico; pero con un nuevo sentido imperial, de absorción y nacionalización de las regiones conquistadas. Se da la universalización de la cultura romana y en particular de la lengua latina y del derecho.

De nuevo se manifiesta que el desarrollo matemático está relegado, incluso en la educación. Pero una vez más no significa que en la Roma Imperial no se desarrollasen las matemáticas. Cómo de otro modo habrían construido el Panteón de Roma. Se erigió entre los años 118 y 125 d.C., durante el reinado de Adriano(otro hispano). De planta circular, es la construcción con la cúpula mayor jamás construida hasta el siglo XX. Se cree que la dirección del proyecto cayó en las manos de Apolodoro de Damasco, quien también construiría la imponente Columna de Trabajo. La visión de la obra encandiló a genios que le siguieron, como Miguel Ángel o Brunelleschi.

HISTORIA NATIONAL GEOGRAPHIC 158 – Feb 2017.

No tenemos la documentación que utilizaron los constructores del Panteón, pero nos basta con observar para afirmar que el conocimiento de la geometría debía ser excelso.

Si tuviésemos que medir el conocimiento y desarrollo de las matemáticas de una sociedad, la construcción de una esfera estaría entre los logros mas avanzados. La Roma Imperial lo hizo.

Ahora analicemos la fría verdad: los historiadores no han encontrado documentos que refuten su opinión sobre el estancamiento de las matemáticas en la época romana. Quizás se perdiesen. O quizás no se han fijado en sus construcciones.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima segunda edición, también denominada 8.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.
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