Feb 22

Cómo resolver un juego de monedas con inducción matemática (I)

Conocemos cientos de ejemplos donde las matemáticas nos ilustran el procedimiento para resolver un problema aparentemente alejado de ellas. A los alumnos este tipo de juegos les despierta la curiosidad. Precisamente al estudiar la inducción matemática me ha surgido un ejemplo digno de captar la atención de nuestros alumnos más hambrientos de conocimiento. En esta entrada relataremos el problema y en la próxima daremos la solución matemática del mismo.

Primero le pondremos un nombre: El solitario de monedas, o, Fila cero. La verdad es que cualquiera de estos nombres es inventado, porque el original lo desconozco(si alguien sabe el nombre o su procedencia que lo indique; es posible que Martin Gardner esté detrás).

Comencemos con la exposición de nuestro particular solitario. Supongamos que disponemos de un número de monedas (grande o pequeño da igual) que colocaremos en filas sobre la mesa donde vamos a jugar. Al colocarlas al azar, dispondremos de una serie de filas donde veremos la cara o cruz de las mismas. Por ejemplo:

monedas1

La cara es el dibujo de nuestros reyes y la cruz muestra al quijote. El juego consiste en, eliminando todas las monedas de una fila que muestren una cara, dejar libre la fila de monedas, de ahí Fila cero. Pero debemos ejecutar una acción en la fila cada vez que eliminemos una cara. ¿Cuál?: dar la vuelta a las monedas colindantes de la misma fila. Hagamos un ejemplo que nos lo ilustre. Para una mejor visualización marquemos nuestra mesa:

monedas2

El jugar novato elegiría la 3 fila para jugar porque sólo tiene 4 monedas, y, aparentemente, será la más sencilla de vaciar.

monedas3

Empezamos con la cara de la primera columna. Al ser cara podemos eliminar la moneda, pero debemos darle la vuelta a su colindante, en este caso sólo la moneda situada en la columna 2(c2). Se nos quedaría así:

monedas4

Siguiente movimiento. Buscamos otra cara y la eliminamos, dándole la vuelta a la de al lado; por ejemplo la columna 4(c4).

monedas5

Ya vislumbramos que elijamos la que elijamos su retirada hará que la otra de la vuelta y quede cruz:

monedas6

El resultado es que no podemos eliminar la moneda restante, y, por tanto, no habremos resuelto satisfactoriamente  nuestro solitario.

Sigamos jugando, porque la fila a elegir es arbitraria, por ejemplo la última fila.

monedas7

Movamos rápido: eliminamos la c6 y damos las vueltas a sus colindantes, c5 y c7:

monedas8

La c7 queda sola, podemos eliminarla como la c5 dándole la vuelta a la c4:

monedas9

Ahora un movimiento audaz: eliminamos la c2 y cambiamos c1 y c3.

monedas10

Y el siguiente paso salta a la vista del jugador avezado: eliminamos c1 por ser cara y c4, y cambiamos c3, apareciendo una cara en c3 solita en la fila y lista para ser eliminada en el siguiente movimiento. Final. Listo. Hemos conseguido dejar la fila a cero. Terminamos nuestro solitario satisfactoriamente.

Fijémonos que, en el movimiento audaz eliminamos c2, de elegir la cara de c3 para eliminar, darían la vuelta las caras contiguas, resultando tres monedas c1, c2 y c4 donde se ve sólo la cruz, las únicas monedas presentes en la fila, y no podríamos eliminar ninguna más. Consecuencia: la fila no se podría vaciar.

Ahora le toca a la mente matemática: ¿Cuándo podremos encontrar una solución a nuestro problema? ¿Existe para cualquier fila que escojamos? ¿Tenemos un algoritmo que nos lleve a la solución? En tal caso, ¿bajo que condiciones? Como leéis, los matemáticos somos gente dada a calentarnos la cabeza. La cuestión es que algunas de las preguntas podemos darle solución matemática, y ese es el problema que os traslado. Concretemos; por ejemplo, ¿cuándo la fila elegida será factible vaciarla? Y recordad, no basta con enunciar  una conjetura, hay que probarla.

Esta entrada participa en la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Nota: La pista está en el título.

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Ene 28

El ocaso de un genio

Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg

De Christoph Bernhard Francke – /gbrown/philosophers/leibniz/BritannicaPages/Leibniz/LeibnizGif.html, Dominio público, Enlace

El 14 de noviembre de 1716 falleció en Hanover, Gottfried Wilhelm Leibniz. Geor Ludwig von Hannover, Elector de Hannover (nombre con el que se le dominaba a quien regía un Electorado, un estado dentro del Sacro Imperio Romano-Germánico durante la época tardía de la Era Moderna), rehuyó asistir a su entierro. Leibniz había servido con ahínco a tres gobernantes consecutivos de la Casa de Brunswick. Geor Ludwig fue el último descendiente de la casa en donde Leibniz ejercía como gran sabio(estamos al comienzo del afán de los gobernantes en disputarse el mecenazgo de las mentes más privilegiadas).

La razón nadaba corriente arriba del Canal de la Macha. Por los cruces de sangre, Geor Ludwin se había convertido en rey de Gran Bretaña y de Irlanda el 1 de agosto de 1714. El primer monarca de la casa Hanover de Gran Bretaña e Irlanda, que dará reyes a Inglaterra hasta 1917, cuando Jorge V decidió cambiar el nombre, para esconder su procedencia germánica.

Geor Ludwig von Hannover, designado rey bajo el nombre de Jorge I de Gran Bretaña, lidiaba con otros problemas añadidos al peso de la corona, como obtener el cariño de sus súbditos. Apenas habló inglés de manera fluida en su reinado y luchó durante los dos primeros en asentar las delicadas patas de la silla real (un auténtico juego de tronos). Para más preocupaciones, tres años antes de su nombramiento, un mindundi llamado John Keill había acusado a su adalid de la ciencia de plagiar a Newton.

La acusación brotó en varias ocasiones anteriores, con tintes de sana (y a veces no tan sana) rivalidad entre gentes de ciencia, y ante el avance fulgurante que el nuevo cálculo estaba realizando en el continente, a espaldas de la pérfida Albión. La eclosión del genio de Newton eclipsaba a cuantos estaban a su alrededor, y los sabios continentales debían reconocerlo.

Aquella acusación de John Keill, lanzada en Philosophical Transactions, la publicación bandera de la Real Sociedad de Londres, melló el ánimo de Leibniz por encima de cualquier otra acusación. Él había sido merecedor del nombramiento de miembro externo de la Sociedad. Reconocimiento otorgado desde 1673, cuando había mostrado su máquina capaz de realizar cálculos aritméticos. En aquella maravillosa década de 1670-80, cuando la manzana de Newton revotó de su cabeza a las manos de Leibniz.

Inmediatamente Leibniz requirió un disculpa y la Real Sociedad (que no de San Sebastián) respondió con una investigación. El peso de Isaac Newton, a la sazón, Presidente de la sociedad científica, decantó la balanza. Eran innecesarias las réplicas y contrarréplicas sobre la paternidad del cálculo: los dados estaban echados.

Leibniz malgastó sus últimos años, apartado de la corte de Hannover, con los vilipendios de los newtonianos, desapareciendo sin que ninguna de las prestigiosas academias, a las cuales había contribuido en su engrandecimiento, considerasen conveniente honrar su memoria. De la corte de su mecenas, el ya entonces rey Jorge I, sólo un secretario asistió al funeral; posiblemente a levantar acta.

Epílogo

Quizás se pregunten por qué de esta entrada. La misma es el resultado de una pequeña rabieta al preparar un tema para una entrada con la que participar en el carnaval. La idea primera era hablar de las ecuaciones diferencias, su historia, el leitmotiv de este blog. Al consultar la wiki sobre las ecuaciones diferenciales y leer su historia, pone:

ecd_wiki

¡Lo ven! Se fijan cuando Isaac Newton escribe la lista, por primera vez, de tres clases de ecuaciones diferenciales. ¡Pues no! Newton nunca escribió eso, porque en 1671 ya estaba muerto. Y aunque era una reedición de su tratado del Método de las fluxiones y series infinitas, publicada en 1736, cuando llevaba nueve años muerto, tampoco lo expresó así. La clave de la fulgurante expansión del cálculo no se debió a Newton; sino, como se escribe en Controversia del cálculo, al poder expresivo de la notación de Leibniz. La misma que es el punto de inicio de las ecuaciones que aparecen en la wiki, y con el mismo nombre que Leibniz nos legó: cálculo diferencial e integral.

Este post participa en la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog del IMUS.

PD: Las ecuaciones diferenciales tampoco nacen con la obra de Newton, pero eso es otra historia.

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Dic 23

Quiero media derivada

Una de las muuuuchas cosas que podemos hacer con las matemáticas es sorprender a nuestros alumnos. Quién no ha comprobado la incredulidad de un alumno cuando afirmamos que 2 · 3 =0, claro está en $\mathbb{Z}_6$. Luego tenemos que justificar que $\mathbb{Z}_6$ es el anillo de las clases residuales módulo 6, donde la multiplicación resulta aparentemente extraordinaria; tanto que 4 · 3 =0 y ¡$5^2=1$!. El álgebra del primer curso en las universidades proporciona desconciertos a los ojos de un alumno preuniversitario. Pero el cálculo no se queda atrás.

La expresión $$\frac{d^{\tfrac{1}{2}}x}{dx^{\tfrac{1}{2}}}=2\sqrt{\frac{x}{\pi}}$$ la desarrolló Sylvestre François Lacroix, en 1819, como ejemplo de un intento de definir la derivada para cualquier orden.

Otros matemáticos persiguieron el mismo propósito, dado que el planteamiento de Lacroix presentaba problemas. Por ejemplo, en 1848 el reverendo William Center observó que sabiendo que la derivada fraccionaria de una constante era cero, resultaba que
$$\frac{d^{\tfrac{1}{2}}x^0}{dx^{\tfrac{1}{2}}}=\frac{\Gamma(1)}{\Gamma(\tfrac{1}{2})}x^{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\pi x}}.$$
center
Es normal, rara vez la definición matemática surge espontáneamente: los conceptos matemáticos son el resultado de una gestación ardua y una depuración exhaustiva.

En la depuración del cálculo fraccionario participaron eminentes matemáticos como Lioville, Cayley, Riemann, Weyl o Hardy, llegando hasta H. T. Davis que en 1936 escribió The Theory of Linear Operators, un texto bibliográfico sobre la teoría de operadores y donde desarrolló el cálculo fraccionario.

La definición de la derivada fraccionaria está ligada inseparablemente a la función $\Gamma$, y puede darse para una función $f(x)$ y un valor $0<\alpha<1$ como
$$\frac{d^\alpha}{dx^{\alpha}}f(x)=\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}\,\frac {d}{dx}\int _{0}^{x}\,\frac {f(t)}{(x-t)^{\alpha}}\,dt.$$
Para otros valores, es otra historia.

Esta entrada participa en la Edición 7.9 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog de José Luis Muñoz.

Para más información puede leerse el trabajo Génesis y desarrollo del Cálculo Fraccional de José Manuel Sánchez Muñoz, Revista Pensamiento Matemático, V1, Octubre, 2011.

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Nov 28

In Memoriam

Jose Emilio Olivares y Gustavo Fortea (detrás), realizadores de pimedios en iradio

Jose Emilio Olivares y Gustavo Fortea (detrás), realizadores de pimedios en iradio

Gustavo fortea era un alumno de Ing. en Telecomunicaciónes apasionado por la pesca, afable, extrovertido y siempre con una sonrisa dispuesta. Desde que decidimos hacer el programa de radio, en podcast, pimedios, trabajó junto con su compañero Emilio en la realización de los programas. En el laboratorio de sonido se encargaba de las mezclas, grabación, realización,… todo lo necesario para que el programa saliese puntualmente las temporadas que lo emitimos. En el equipo habíamos más, pero Gustavo y José eran los mecánicos. Este fin de semana pasado Gustavo nos dejó en un accidente de tráfico. Te recordamos.

La vida de los muertos está en la memoria de los vivos.
Marco Tulio Cicerón.


Volvemos a traer este programa emitido donde apareció Gustavo interpretando a Niels Bohr en la famosa anécdota con Einstein. Que sirva como un pequeño homenaje.

“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”

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Nov 25

Entre medias

MathematicalMeans.svg

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética (A), cuadrática (Q), geométrica (G) y armónica (H) de dos números a y b.De DzenanzTrabajo propio, Dominio público, Enlace

Si preguntamos, todos conocen qué es la media aritmética:
$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$$
Insistimos y puede que comprendan cuando hablamos de la media geométrica:
$${\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$$

Menos han oído hablar de la media cuadrática:
$$x_{{{\mathrm {RMS}}}}={\sqrt {{1 \over N}\sum _{{i=1}}^{{N}}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}} \over N}}$$

Y menos aún de la media armónica:
$${\displaystyle {H}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}}$$

Existen más medias que apenas encontraríamos población, alejada de las matemáticas, que las identifiquen. Pero si tengo que quedarme con una, elijo la media heroniana:

 

“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”

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Nov 02

El radio de curvatura de Johann Bernoulli

Con la aparición del cálculo diferencial en el siglo XVII el proceso de calcular tangentes resultaba sumamente sencillo. ¿Y si buscamos que la tangente sea una circunferencia? Es decir, la circunferencia tangente en el punto dado de una curva. Isaac Newton la describió en su Principia, dando una construcción geométrica para conseguirla. Esta circunferencia se denomina  circunferencia osculatriz, que fue llamada “circulum osculans” (“círculo que besa”) por Leibniz. Se trata de una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta normal a la curva, llamado centro de curvatura, y un radio que denominamos radio de curvatura de la curva en ese punto. Será un siglo después cuando la geometría diferencial de curvas tendrá su esplendor, consiguiendo las fórmulas del triedro de Frênet-Serret que hoy conocemos. Pero a finales del XVII ya se veía la relación directa entre la longitud de arco y el radio de curvatura.

La fórmula del radio de curvatura para una curva plana, $y=f(x)$, es la dada por $$R_{c}={\frac {\left[1+\left({\frac {df}{dx}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}{\left|{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\right\vert}}$$
Esta fórmula la describió Johann Bernoulli en sus trabajos, deduciéndola de la siguiente forma.

radio_curvatura

Consideremos el radio $\overline{OD}$ y $\overline{BD}$, perpendiculares a la curva $AB$, que se unen en el centro de la circunferencia osculatriz $D$ de nuestra figura. El radio de la curvatura en $B$ es $r=\overline{BD}$, y la diferencial de la longitud de arco es $ds=\overline{BO}$. Del hecho que los triángulos $BHJ$ y el dado por los segmentos $ds$, $dx$ y $dy$, son semejantes, se sigue que
$$\frac{\overline{JH}}{\overline{BJ}}=\frac{dy}{dx}.$$
Ahora,
$$\frac{\overline{JH}}{\overline{BJ}}=\frac{\overline{AH}-x}{y}.$$ Por tanto,
$$\overline{AH}=x+y\frac{dy}{dx}.$$
Cogemos $x$ como variable independiente tal que $d^2x=0$, de donde seguimos que $\overline{GH}$, como diferencial de $\overline{AH}$, estará dado por
$$\overline{GH}=d(\overline{AH})=d\left(x+y\frac{dy}{dx}\right)=dx+\frac{(dy)^2+yd^2y}{dx}.$$
A continuación Johann Bernoulli pone de manifiesto la semejanza de los triángulos $DGH$ y $DCB$, que dan la proporción
$$\frac{\overline{BC}}{\overline{HG}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{HD}}.$$
Resulta que
$$\overline{BC}=\frac{(dx)^2+(dy)^2}{dx},\quad \overline{BD}=r,$$
y
$$\overline{HD}=r-\overline{BH}=r-\frac{y\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}{dx}.$$
Sólo nos queda sustituir en las ecuaciones anteriores para obtener
$$r=-\frac{\left[(dx)^2+(dy)^2\right]^{3/2}}{(dx)(d^2y)}=\frac{(ds)^3}{(dx)(d^2y)}.$$
Así consigue Johann Bernoulli encontrar el radio de curvatura. El paso para obtener la primera fórmula es dividir numerador y denominador por $(dx)^3$. Pero esa fórmula no la utilizó Johann Bernoulli. En aquel siglo la formulación de $y=f(x)$ todavía no se utilizaba.

Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.

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Oct 19

El volumen del tetraedro

Un tetraedro es una pirámide de base triangular. Como figura geométrica hablamos de un poliedro de cuatro caras triangulares. El tetraedro es un de los sólidos platónicos, cuando los triángulos son equiláteros, siendo conocido desde la Grecia clásica. Así que el volumen era conocido, siendo $$V=\frac{1}{3}hA,$$ donde $h$ es la altura y $A$ el área de la base.

Triangle with notations 2.svg


De David Weisman (Dweisman) – En-Wiki. Original description is/was here, Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2596911

Herón de Alejandría(siglo I d. C.) había encontrado una fórmula para determinar el área de un triángulo:
$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

donde $s=\frac{a+b+c}{2}$, el semiperímetro del triángulo. Esta fórmula la probó en su libro Metrica, escrito sobre el 60 de nuestra era. Es probable que Arquímedes la conociera y Heron simplemente la recogió.

Siglos después Tartaglia, a mediados del siglo XVI, extendería la fórmula de Herón (ver Heron-type formula for the volume of a tetrahedron)

Fue en el siglo de las luces cuando Lagrange encontró un sencillo modo de calcular el volumen, atendiendo a las coordenadas, que hoy mantenemos. En su artículo Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires, publicado en 1775, propone (las fórmulas hoy adaptadas)  que el área de un triángulo es

$$A = \frac{1}{2!}\, \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2  & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix},$$

y el volumen de un tetraedro

$$V = \frac{1}{3!}\, \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix}$$

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Oct 11

Cardano y la suspensión cardán

Retrato de Gerolamo Cardano

No sólo de matemáticas vivían los matemáticos del siglo XVI. Gerolamo Cardano era un hombre del renacimiento. Médico, matemático, astrólogo y filósofo, entre otras ocupaciones, además de inventor y estudioso. Lo dicho, un sabio renacentista. Su padre, Fazio Cardano, fue un amigo de Leonardo Da Vinci, lo que quizás contribuyó al carácter polifacético de este investigador. Una de sus investigaciones fue la suspensión cardán, denominada así en su honor.

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Oct 04

El calendario gregoriano, Google, Luigi Lilio y Pedro Chacón

Hoy Google nos recuerda la adopción del calendario gregoriano el 4 de cotubre de 1582; el 434º aniversario. elmundo.com nos cuenta aquel suceso, Calendario gregoriano: Google recuerda que hace 434 años que se implantó, y elpais.com la curiosidad que provocó su implantación, El calendario gregoriano y los diez días que nunca existieron.

El proceso de reforma del calendario lo impulsó el Papa Gregorio XIII (de ahí el nombre). En 2012 abc.es nos informó sobre un grupo de científicos de la Universidad de Salamanca que elaboró un informe en 1515, germen de lo que posteriormente sería el nuevo calendario gregoriano(Un libro sitúa en Salamanca los orígenes del actual calendario). Sin embargo, el artífice científico de la supervisión de los cálculos fue el jesuita alemán, matemático y astrónomo, Christopher Clavius, considerado el Euclides del siglo XVI. La reforma del calendario se basó originalmente en los trabajos del Luigi Lilio que, aunque murió antes de ver considerado su trabajo, su hermano remitió a la Comisión encargada de la reforma. En esta comisión estaba un matemático español, Pedro Chacón, profesor en la Universidad de Salamanca. Pedro Chacón fue el editor del compendio sobre la reforma del calendario que había dejado manuscrito el italiano Luigi Lilio, que fue enviado después para su consulta por el papa Gregorio XIII a los monarcas y a varias universidades de la cristiandad entre 1577 y 1578, y que sería la base de la reforma del calendario gregoriano (1582)[, 1]. Desgraciadamente Pedro Chacón también murió antes de la culminación de la reforma del calendario.

El mérito de trabajo sólo pervive en las figuras del Papa Gregorio XIII y el gran astrónomo Christopher Clavius; sin embargo, los trabajos de los matemáticos Luigi Lilio y Pedro Chacón también merecen un notable recuerdo en la contribución a la reforma.

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