dic 19

La demostración más sencilla del teorema de Pitágoras

pitagoras_vietaA muchos matemáticos, o aficionados por las matemáticas, les dio, y les sigue dando, por buscar demostraciones del teorema Pitágoras. En la wiki encontramos diversas demostraciones, y gaussianos nos ofrece un buen surtido (
Lo que se puede hacer con GeoGebra (IX): Demostración visual del teorema de Pitágoras,La demostración del presidente,Demostración “simétrica” del teorema de Pitagoras,
Demostrando el teorema de Pitágoras con la fórmula de Herón, Sencilla demostración del teorema de Pitágoras, entre otras)

Aquí sugeriremos una más: la demostración que nos proporcionó François Viète (o como más lo conocemos con su nombre españolizado, Francisco Vieta)

Veamos cómo lo hace:

pitagoras_vietaFijándonos en la figura observamos que $$\overline{DC}=\overline{DA}+\overline{AC}$$ y $$\overline{DA}=\overline{AB},$$ pues tanto $\overline{DA}$ como $\overline{AB}$ son radios de la circunferencia. Así $$\quad \quad \overline{DC}=\overline{AB}+\overline{AC}\quad \quad (1).$$

Veamos ahora que $$\overline{CE}=\overline{AE}-\overline{AC},$$ y, como $\overline{AE}$ es el radio, $$\overline{AE}=\overline{AB}.$$ Por tanto, $$\quad \quad \overline{CE}=\overline{AB}-\overline{AC}\quad \quad (2).$$pitagoras_vieta

El producto $$\overline{DC}\cdot\overline{CE}$$ puede obtenerse de (1) y (2), siendo $$\overline{DC}\cdot\overline{CE}=(\overline{AB}+\overline{AC})(\overline{AB}-\overline{AC})=\overline{AB}^2-\overline{AC}^2\quad (3)$$

Ahora sólo nos resta aplicar el resultado de Euclides III.35 que nos relaciona las longitudes de segmentos de rectas que pasan por un punto y cortan a una circunferencia fija. Como $\overline{CB}$ es perpendicular a $\overline{DE}$, Euclides III.35 nos dice que  $$\overline{DC}\cdot\overline{CE}=\overline{CB}^2\quad (4)$$

pitagoras_vietaYa tenemos lo que buscábamos, de (3) y (4) resulta $$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{CB}^2.$$

Es muy probable que Vieta dedujese este resultado cuando estudiaba los trabajos de Pappus, en 1589 Federico Commandino tradujo sus obras en un libro titulado Mathematicae Collectiones. E Igualmente de probable que este libro inspirase a Vieta como la Arithmetica de Diofanto inspiraría a Fermat unos años después.  En el siglo XX, Hardy utilizaría la misma idea de Vieta para encontrar otra demostración similar.

Seguro que hemos exagerado con el titular, algunos pueden pensar que no es la demostración más sencilla. Lo dejaremos que es la demostración más sencilla que hasta ahora he visto; aunque, reconozco, que me quedan muchas por ver.
Esta entrada participa en la Edición 5.9 Emma Castelnuovo del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

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nov 24

Las matemáticas en la Astrología griega

AstrologoDejemos las cosas claras desde el principio: la astrología no es una ciencia. Intentando ser políticamente correcto diremos que “la astrología (en griego: ‘estudio de los astros’) es un conjunto de creencias que intentan relacionar las características de una persona con su signo zodiacal”(copiado literal de la wiki, para evitar suspicacias. Como curiosidad, tras la publicación de una píldora sobre este tema, hace dos semanas, tenemos dos seguidores más en twitter interesados en la astrología; parece que no terminaron de ver el vídeo).

Realizada esta aclaración, sí es interesante cómo surgió la astrología griega, y pongo el énfasis en la astrología griega porque es la que, principalmente, nosotros hemos heredado.

Sign cusps.svg

«Sign cusps» por MacalvesTrabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons.

En su momento los griegos estudiaron el universo, como las civilizaciones de las que aprendieron, mirando al cielo nocturno. Con los conocimientos adquiridos, y la nueva matemática de Tales de Mileto y Pitágoras, concibieron un universo de esferas que giraban entorno de la Tierra inmóvil. Esta concepción se debe al pupilo de Platón Eudoxo de Cnido, el primero en plantear un modelo planetario basado en un modelo matemático. Contemplando la esfera más exterior, donde estaban las estrellas fijas del universo, imaginaron una franja por donde el Sol navegaba alrededor de la Tierra, en una línea circular que denominaron eclíptica. Se estima que fue Aristóteles, alumno de Eudoxo, quien puso el nombre de zodíaco a “la banda que circunda la esfera celeste comprendiendo a la eclíptica y que es suficientemente ancha para contener al Sol”.

Precesión.gif

«Precesión» por EreenegeeTrabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons.

El zodíaco era un mapa preciso, en cualquier mes del año la porción del zodíaco que veían era fija(recordemos que esa era su concepción), por tanto lo dividieron en doce porciones: las doce casas zodiacales o los doce signos del zodíaco. Hiparco de Nicea, en el siglo II a.C., graduó la eclíptica de 0 a 360º, estableciendo el punto cero en el equinoccio de primavera, cuando la eclíptica se corta con la horizontal de la Tierra. Este era el punto vernal o punto Aries, pues el Sol se encontraba en el signo de Aries. De ahí el Sol pasaba del hemisferio sur celeste al hemisferio norte. El punto contrario era el punto Libra, equinoccio de otoño. Hoy sabemos que en la precisión de los equinoccios intervienen la rotación, precisión y nutación de la Tierra, lo que no privó a Hiparco de conseguir unas mediciones excelentes para su época.

Venice ast sm.jpg

Venice ast sm” by ZacharielOwn work. Licensed under CC0 via Wikimedia Commons.

Con independencia de utilizar el zodíaco como un calendario, los griegos creían que los astros ejercían una influencia sobre las personas y los acontecimientos que vivían. Los eclipses, los cometas o las lluvias de estrellas eran signos de augurio desde tiempos ancestrales; la predicción de los fenómenos celestes constituyó una razón de estudio. Un paso lleva al otro, y como nos cuenta Paloma Ortiz en Historia NG #131, eran los astrónomos quienes se dedicaban a buscar en los astros las predicciones que les solicitaban quienes pudiesen permitírselo. La diferencia entre astrología y astronomía es más cercana a nosotros de lo que muchos se imaginan. Y si en aquellos momentos era sutil o delgada hoy es abismal.

geomtria-astrologiaUna vez determinado el zodíaco, ¿qué astros podía influir en nosotros?. La respuesta para los griegos era clara: el Sol y la Luna, llamados luminarias, y los cinco planetas conocidos, que Eratóstenes recogió como Estilbón, Héspero, Piroente, Fenón y Faetón(y a nosotros nos ha llegado de los romanos como Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). Para determinar el destino no era suficiente con conocer la posición de los astros, había que interpretar esa posición. Así aparecen las relaciones favorables: cuando dos planetas están en conjunción; es decir, cuando la distancia angular es de 0º; en sextil, si forman un ángulo de 60º; en trígono, cuando la distancia angular es de 120º. Y las relaciones desfavorables: cuando dos planetas están en cuadratura; es decir, con distancia angular de 90º; y oposición, cuando dibujan un ángulo de 180º.

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«Hexaconstruction» por Ixnay – I am the author. Disponible bajo la licencia Public domain vía Wikimedia Commons.

Como vemos la astrología dependía de la geometría de un triángulo, un cuadrado y un hexágono. Las tres figuras  geométricas con lados más sencillas de construir.

Para terminar dejo la conclusión del artículo de Paloma Ortiz: “La astrología tampoco desapareció en el Renacimiento, cuando magnates y príncipes admitían en sus círculos a los astrólogos y se decoraban palacios y universidades con sus temas. Lo que acabó con la astrología no fue la religión, ni la filosofía, ni la teología, sino la ciencia. Si la Tierra era objeto de las influencias astrales se debía a su posición central en el Universo; cuando la Tierra dejó de ser el centro del mundo se desvanecieron los fundamentos que daban a la astrología su carácter científico.”

Resumiendo: fueron los matemáticos griegos quienes inventaron la astrología del zodíaco y fueron los matemáticos de finales del renacimiento los que la echaron por tierra. ¿A qué esperan para darse cuenta?

Esta entrada participa en la Edición 5.8: Betty Scott del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog tocamates.

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nov 14

La eclíptica y el zodíaco

ecliptica La eclíptica es la línea imaginaria que describe  el Sol alrededor de la Tierra , en su movimiento aparente visto desde la Tierra.Los griegos idearon el zodíaco en función de la eclíptica del Sol y así determinar la posición y el tiempo de manera más eficiente. Hoy la traemos a nuestra píldora semanal.

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nov 06

Biomatemática

pill_biomatematica Biomatemática es un área interdisciplinar de estudios que se centra en la construcción de modelos de los procesos biológicos utilizando técnicas matemáticas. Hoy en nuestra píldora de matemáticas.

Este post participa en la XXXIII edición del Carnaval de Biología, que hospeda @CEAmbiental en su blog Consultoría y Educación Ambiental

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oct 27

PhotoMath

PhotoMathComo sabéis en ocasiones exploramos nuevas aplicaciones que pueden ser nos útiles en nuestro desarrollo de las matemáticas, a cualquier nivel. Hoy traemos una aplicación que entra en el ámbito de la educación.

PhotoMath la describen sus autores como la primera cámara calculadora. La aplicación utiliza la cámara del iPhone o del iPad para captura una expresión matemática y darnos su resultado.

  

Estos ejemplos son las muestras que proporcionan los autores. Nosotros la hemos probado. Lo primero que nos encontramos es un entorno más propicio para iPhone que para iPad, aunque es posible utilizarlo con ambos. Lo segundo, es con este mensaje:

photomath2Como se observa limita la entrada de las expresiones, lo cual nos condiciona su uso para expresiones que aparezcan en libros, por ejemplo. Es difícil encuadrar las expresiones, a parte de tener un buen pulso, para esperar hasta que la capte, la imagen debe estar limpia de posibles interferencias; es decir, exactamente como en el ejemplo que nos proporcionan. La hemos probado con un libro de 1º de ESO, y cuesta resolver bien las preguntas; por ejemplo, cuando plantean varios apartados a), b) y c), no sabemos cuál elegirá de antemano, ni si las letras a), b) y c) entorpecerán el análisis de la expresión.

En resumen,  ayudará a nuestros hijos si los problemas que les plantean cumplen las estrictas exigencias de la App. En la práctica dudo que se utilice con frecuencia.

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oct 23

La subnormal

La Subnormal En matemáticas la subnormal es la proyección de la normal sobre un eje. Hoy hablamos de ella en nuestra píldora.

Esta entrada participa en la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog El zombi de Schrödinger.

Esta entrada participa en la Edición LVII del Carnaval de la Física del Carnaval de la Física, cuyo anfitrión es el blog Divulgación.

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