Jun 25

La cuadratura de la lúnula

lunulaUna lúnula es una figura con forma de luna creciente obtenida mediante la intersección de dos círculos. En realidad, esta intersección generaría dos lúnulas. Si lo vemos desde la geometría plana es el área cóncava limitada por dos arcos. La convexa es a la que denominamos lente.

Lúnula proviene del latín lunŭla. Sin embargo de ellas comenzaron a hablar los griegos. En concreto nos interesa Hipócretes de Quíos, quien puso interés en ellas debido a que encontró una manera de cuadrar su área.

Para los griegos la cuadratura de las figuras supuso un paso ambicioso en las consideraciones de las proporciones: todo era reducible a una proporción. Pero el mundo se les derrumbó cuando se toparon con los números inconmensurables.

Este cisma se concretó en el problema de la cuadratura del círculo: ¿es posible relacionar un círculo y un cuadrado de igual área?, utilizando regla y compás. Este problema griego se conoció como el Problema de la cuadratura del círculo, y expresaba la dificultad de los griegos de entender los números más allá de los racionales.

El problema se ha convertido en la metáfora de un imposible, y así lo utilizamos, sin matizar la coletilla matemática: con regla y compás. Véase la ilustración de este problema, con y sin coletilla matemática, que nos expone gaussianos en ¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?.

Sin embargo, los griegos intentaron resolverlo mediante la geometría euclídea, llegando a conclusiones que rozaban el éxito. Ese convencimiento de que nada era imposible, apareció con Hipócrates de Quíos. Este quionio demostró que el área de la lúnula es la cuarta parte del cuadrado inscrito, que se corresponde con un triángulo.

Lune.svg

La luna de Hipócrates es el área superior sombreada. Es la misma área que la del triángulo inferior sombreado. De Michael Hardy de Wikipedia en inglés – Transferido desde en.wikipedia a Commons por Liftarn usando CommonsHelper., Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=12177174

La cuadratura del triángulo era conocida (Cuadratura de un triángulo cualquiera), en consecuencia la cuadratura del círculo se conseguiría.

 

Hipocrat arcs.svg

La resolución de casos particulares de cuadratura de figuras curvilíneas, como las de las lúnulas de Hipócrates, llevó a los antiguos a pensar erróneamente que se podría llegar a cuadrar el círculo. De No machine-readable author provided. Audriusa assumed (based on copyright claims). – No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims)., CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=478595

El éxito casi se consigue, pero falla. Bastantes siglos después el gran matemático persa Alhacén(945-1040) comprobó que era posible cuadrar el área de la lúnula:

Lunules-better.png

Las lúnulas de Alhacén. Las dos lunas de color azul suman un área igual a la del triángulo de color verde de la derecha. De SparshongTrabajo propio, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2027533

Este trabajo aparece con frecuencia otorgado a Leonardo da Vinci. Es verdad que el polímata florentino sintió curiosidad por las lúnulas y concibió varias cuadraturas mecánicas, en la que posiblemente deduciese las lúnulas de Alhacén. O simplemente conoció los trabajos del musulmán, igual que leyó los trabajos de Vitruvio, para dibujar el Hombre de Vitruvio. El historiador Carl Boyer nos dice: “A menudo se suele considerar a Leonardo como un matemático, pero su mente inquieta no podía concentrarse en la aritmética, el álgebra o la geometría el tiempo suficiente como para hacer alguna contribución importante“. Sí resulta sumamente curioso lo que nos dejó en el folio 112 recto, del Códice Atlántico, en el margen donde figuran tres líneas escritas: “La noche de San Andrés encontré el final de la cuadratura del círculo; terminada la candela, la noche y el papel donde escribía cuando, la hora cumplida, llegué a la conclusión“[Fernando Bombal. La cuadratura del círculo: Historia de una obsesión. Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp) Vol.105, Nº2(2012),241-258].

Entonces, ¿dónde está el fallo que llevó a creer que el paso de la cuadratura de la lúnula daría la del círculo? La concepción de que toda lúnula es cuadrable. Hipócrates encontró la cuadratura para tres tipos de lúnulas: la que parte de un triángulo isósceles rectángulo, de un trapecio isósceles y pentágono cóncavo. Una extensión de la del triángulo rectángulo es la que obtendría Alhacen. Dos más fueron encontradas en el siglo XIX, que el historiador Dunham atribuye los descubrimientos a Euler en 1771: las obtenidas mediante un hexágono y octógono cóncavo[Brian J. Shelburne, The Five Quadrable (Squarable) Lunes]. Hasta el siglo XX estás eran las únicas lúnulas cuadrables, cuando N. G. Tschebatorew and A. W. Dorodnow probaron, utilizando la teoría de Galois, que no habían más[M. M. Postnikov and Abe Shenitzer, The Problem of Squarable Lunes, http://www.jstor.org/stable/2589121].

A veces unos pocos pasos nos hace creer que podemos recorrer todo el camino, cuando es sólo un número de pasos finitos en la infinitud de las matemáticas. Pero sin el aliciente de esos pasos no avanzaríamos.

Esta entrada participa en la edición 7.5 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series divergentes.

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May 25

El “stick de hockey”

Lo llamamos el triángulo de Pascal aunque Tartaglia(siglo XVI), Yang Hui (siglo XIII) y Omar Khayyam (siglo XII) entre otros lo conocían. Estamos hablando del triángulo que obtenemos con los coeficientes de las potencias de un binomio:

Pascal's triangle 5.svg

By User:Conrad.Irwin originally User:Drini – Extracted from Image:PascalSimetria.svg with minor alterations, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3105222

Fue Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó “Table de M. Pascal pour les combinaisons” y Abraham de Moivre (1730) lo bautizó como “Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM”. En gran medida esos honores eran debidos al trabajo de Blaise Pascal en el triángulo.

TrianguloPascal.jpg

By Blaise Pascal – Cambridge University Library, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2819977

Muchas son las curiosidades que se extraen de él, que Pascal publicó en su Traité du triangle arithmétique(1665). Una de ellas es la que hoy conocemos como el “stick de Hockey“:

Si imaginamos una escalera semejante a la coloreada, la suma de todos los números de los peldaños que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.

1+4+10+20=35

1+4+10+20=35

Este resultado tiene una fácil demostración utilizando los números binomiales. Lo mostramos con un ejemplo.

Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

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May 24

Premio #CarnaMat73

Justo a tiempo de entrar antes de la finalización de la edición 7.4, traemos el ganador de la Edición 7.3:

Image-1

El medallero  final ha quedado así

  1. orooroplataplatabronceAprendiendo técnicas para contar: lotería primitiva y bombones en Cuaderno de Cultura Científica.
  2. orooroplataNo, los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria en Gaussianos.
  3. oroplataToro de papiroflexia: 360 módulos phizzen en Blog sobre Matemáticas.
  4. oroOndas gravitacionales en πkasle.
  5. oroEducando en valores desde el área de Matemáticas. Las mil grullas de sadako en Blog sobre Matemáticas.
  6. plataplataEl autómata de Huygens y las fracciones continuas en pimedios.
  7. platabroncebronceComparando fracciones con un cortapizzas en matematicascercanas.
  8. bronceJugando con números XV… Un número muy particular… ¡y grande! en matematicascercanas.
  9. bronceEl número π, el principio del palomar… y el caos en Tito Eliatron Dixit.
  10. bronceArcos de Málaga: punto y final en El mundo de Rafalillo.
  11. bronceResolución de problemas en Los Matemáticos no son gente seria.

Enhorabuena al ganador y al resto de participantes por sus excelentes aportaciones.
Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

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May 13

Aureum Theorema

De siempre se ha comentado entre los matemáticos que la teoría de números es la prima donna de las disciplinas matemáticas. Y dentro de la teoría de números aparece un resultado predominante: La Ley de Reciprocidad Cuadrática.

Ocupado con otro trabajo, me encontré con una verdad artmética extraordinaria. como la consideré muy bella en si misma, concentré en ella todos mis esfuerzos para entender los principios de los cuales dependía y para obtener un prueba rigurosa. C.F. Gauss.

Gauss se enfrentaba a la Ley de Reciprocidad Cuadrática, y no se conformó con dar una demostración, en 1801 en su libro Disquisitones Arithmeticae, da dos demostraciones y lo denomina Aureum Theorema. Años después completaría a ocho demostraciones de teorema.

Este problema surge con la ecuación de congruencias $$x^2\equiv a (\text{mod }p).$$ Si existe tal solución decimos que $a$ es un residuo cuadrático módulo $p$, y el problema se traude en encontrar los residuos cuadráticos.

Es posible que Fermat sembrara la semilla, como en tantas otras ecuaciones, cuando enunció cierto (recordemos que nunca presentaba la demostración) que un primo $p$ podía descomponerse en suma de dos cuadrados sí, y sólo si, el primo era 2 o de la forma 4k+1. Fermat dió más resultados similares, pero no los trataremos aquí.

Euler comenzó a estudiar el problema enunciando que si $p$ era un númerp primo impar y $a$ un entero cualquiera coprimo con $p$, entonces $$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1 (\text{mod }p).$$

Pero, ¿qué ocurriría si tratamos de relacionar dos primos?; es decir, $x^2\equiv q (\text{mod }p)$, y, $y^2\equiv p (\text{mod }q)$ para dos primos impares. Esto daría pie a Euler para afirmar:

  1. $q=4k+1$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es congruente con un residuo cuadrático módulo $q$
  2. $q=4k+3$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es congruente con $\pm b^2$ módulo $4q$, donde $b$ es impar no divisible por $q$

Esto no es exactamente la Ley, pero fue una primera aproximación.

Legendre dio el gran paso, y en él introdujo su símbolo que utilizamos hoy:

$$\left(\frac{a}{p}\right)  = \begin{cases} 0 & a \equiv 0 \pmod{p} \\ 1 & a \not\equiv 0\pmod{p} \text{ y } \exists x : a\equiv x^2\pmod{p} \\-1 &a \not\equiv 0\pmod{p} \text{ y no hay tal } x. \end{cases}$$

Así Legendre formularía la Ley de Reciprocidad Cuadrática como más frecuentemente se utiliza hoy: Para dos primos impares $p$ y $q$ se cumple

$$ \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}.$$

Legendre lo demostraría en 1798, una demostración que se basaba en argumentos no probados. dos años después de que Gauss descubriera una demostración, a la edad de 19 años. Sin embargo, sería la publicada en 1801, la que presenta el otro enunciado de esta ley:

Sean $p$ y $q$ primos impares. Entonces

  1. Si $p$ es de la forma $4k+1$, entonces $q$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es un residuo cuadrático módulo $q$.
  2. Si $p$ es de la forma $4k+3$, entonces $q$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $-p$ es un residuo cuadrático módulo $q$.
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May 05

Resumen del CarnaMat73

Simpsons-Math Ya tenemos las 19 entradas de la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas. Vamos con ellas:

  1. El número π, el principio del palomar… y el caos en Tito Eliatron Dixit.
  2. No, los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria en Gaussianos.
  3. Ondas gravitacionales en πkasle.
  4. Aprendiendo técnicas para contar: lotería primitiva y bombones en Cuaderno de Cultura Científica.
  5. Fibonacci y el concurso en 4vium.
  6. El autómata de Huygens y las fracciones continuas en pimedios.
  7. Los números Le Monde-959(por llamarlos de alguna manera) en blioquinfo.
  8. Gala de exposiciones del concurso “Utiliza matemáticas” edición 2016 en cifrasyteclas.
  9. Op Art + geometría = Bridget Riley en ::ZTFNews.org.
  10. Arcos de Málaga: punto y final en El mundo de Rafalillo.
  11. Resolución de problemas en Los Matemáticos no son gente seria.
  12. Centenario de la alfombra de Sierpinski en Juegos topológicos.
  13. Jugando con números XV… Un número muy particular… ¡y grande! en matematicascercanas.
  14. 355/113: la razón de Zu en ::ZTFNews.org.
  15. Toro de papiroflexia: 105 módulos phizzen en Blog sobre Matemáticas.
  16. Educando en valores desde el área de Matemáticas. Las mil grullas de sadako en Blog sobre Matemáticas.
  17. Comparando fracciones con un cortapizzas en matematicascercanas.
  18. Toro de papiroflexia: 360 módulos phizzen en Blog sobre Matemáticas.
  19. Humor matemático en Matemáticas recreativas y educativas.

Espero que estén todas y no haya extraviado ninguna por el camino. Si así fuese pulsad el timbre.

tecla

Y si no funciona dejáis un comentario. Ahora sólo nos queda votar y esperad la próxima edición en ::ZTFNews.org. Suerte a todos.

PD: El plazo de votar terminará el 15 de mayo.

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Abr 29

Roberval, entre curvas y balanzas

Gilles personne de roberval.jpg

Retrato de Gilles Personne de Roberval con los miembros de la Académie des sciences hacia 1670. Henri d’après LE BRUN Charles, Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4017190

Gilles Personne de Roberval, más conocido como Roberval, fue un matemático francés del siglo XVII. Contemporáneo de Descartes, Mersenne, Pascal (padre e hijo) y Fermat, fue gran amigo de Blaise Pascal. Roberval trabajó en la cuadratura de la cicloide, uno de los mayores retos matemáticos del principio de ese siglo.

El redescubrimiento de las curvas en movimiento trajo una multitud de nuevos problemas y retos por afrontar. Ahora, el cálculo de las tangentes y su cuadratura se hacía más difícil. Recordemos que estamos en la antesala de la invención del cálculo diferencial e integral que resolvería de una vez por todas estos problemas.

Roberval se interesó en estos problemas, descubriendo un método para encontrar la cuadratura de la cicloide. Todavía con los recelos por publicar los decubrimientos, Roberval optó por callarlos y, posiblemente, darlos a conocer en un reducido grupo de amigos.

Esto condujo que Roberval, probablemente, resolviera el problema con el uso de unos indivisibles de su invención, indivisibles que Cavalieri desarrollaría por su cuenta y publicase en Geometria indivisibilibus de 1635. La obcecación de algunos sabios en ocultar el conocimiento por miedo a perder sus derechos en las cátedras, les llevó a retener los descubrimientos y perder el mérito del descubrimiento. No fue el primero y tampoco sería el último.

El estudio de la cicloide le llevó a descubrir la trocoide, que publicaría en De trochoide ejusque spatio, hacia 1635. Sobre ella podeís leer en Guirnalda matemática.

trocoide

Otra curiosidad de este sabio fue la invención de la balanza de dos ástiles. Hasta el siglo XII se utilizaba la balanza romana (o romana, como se conoce). Roberval ideó un sistema en forma de paralelogramo articulado que permitía igualar el peso de masas colocadas sobre dos platos.

Roberval scale.jpg

Balanza Roberval

Roberval la presentó en 1669 en la Academia de Ciencias de Francia, sin embargo no se producirían en Francia hasta el siglo XIX. Antes los ingleses sí se fijaron en ella, produciendola con el nombre de balanza francesa.

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Abr 22

El autómata planetario de Huygens y las fracciones continuas

huygens-planetarium

Vista interior del autómata planetario de Christiaan Huygens

Christiaan Huygens fue un astrónomo, físico y matemático holandés del siglo XVII. Es considerado uno de los grandes sabios del siglo y dedicó gran parte de su trabajo al estudio de la astronomía. Nos interesa particularmente el autómata planetario que ideó y construyó, previsiblemente entre 1665 y 1681, aunque su descripción no se publicó hasta 1703, después de su muerte.

La principal dificultad del autómata, que simularía el movimiento de los planetas del Sistema Solar, era la dimensiones de las ruedas dentadas. Huygens, que tenía experiencia en la construcción de relojes, sabía que la relación entre las órbitas de los planetas debía reflejarse con precisión en los engranajes que regían los movimientos de los planetas.

Por esas fechas, John Wallis trabajaba en sucesiones de recurencia, utilizando las fracciones que él denominaría “continue fractum”, fracciones continuas. Huygens, que conoció el trabajo de Wallis, pensó en las fracciones continuas para calcular los engranajes. Si deseamos que un engranaje produzca $n$ revoluciones en un eje y $m$ en otro, el número de dientes deben segir la proporción $\frac{n}{m}$.

En el estudio de las orbitas para los planetas, Huygens se topó con la dificultad de la duración de un año terrestre y uno de Saturno. El giro de la Tierra en un año consistía en 359º 45′ 40” 31”’, mientras que en Saturno Huygens lo había estimado en 12º 13′ 34” 18”’. Si lo trasladamos a una fracción esta sería $$\frac{2640858}{77708431}.$$

Huygens utiliza las fracciones continuas para reducir el perido más largo sobre el más corto:
$$
\frac{2640858}{77708431}=
29+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}}}}}}}
$$
Huygens decidió coger la razón $\frac{2640858}{77708431}$ como $\frac{7}{206}$, a causa de que
$$\frac{2640858}{77708431}\approx\frac{206}{7}=29+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{1}}},$$
con un error del orden de $\frac{3}{1000}$. Así Christiaan Huygens construye un engranaje con una rueda de 206 dientes, para Saturno, un piñon de 7 en la barra de hierro principal. Para el resto de planetas determina ruedas de 166 dientes con un piñón 14(166/14) para Júpiter; 158/84 para Marte; 32/52 para Venus; 17/7 para Mercurio.

Una nueva prueba de cómo para resultados matemáticos “aparentemente inútiles” el tiempo descubre consecuencias que no se habían reparado.

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

Referencias:

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Abr 14

La azafea

Al-Zarqali La azafea es un instrumento de observación astronómica que mejoraba los cálculos realizados con el astrolabio.  El gran astrónomo andalusí Azarquiel(Toledo, c. 1029 – Sevilla, 1087) construyó este instrumento que permitía realizar las observaciones y el cómputo desde cualquier latitud terrestre, frente a ceñirse a una latitud específica como exigía el astrolabio.

North African universal astrolabe (probably from the 13th century) at the Museum of the History of Science, University of Oxford (Inventory n° 41122).

North African universal astrolabe (probably from the 13th century) at the Museum of the History of Science, University of Oxford (Inventory n° 41122).

El trabajo de Azarquiel sería recopilado por miembros de la Escuela de Traductores de Toledo, en época de Alfonso X el Sabio. En particular, Yehuda ben Moshe ha-Kohen,que en la década de 1260 llevaría a cabo la traducción de la versión definitiva del Libro de la azafea de Azarquiel. Esta versión será la que llegará a Regiomontano, quién publicará en el siglo XV una lista de los problemas astronómicos resueltos mediante la azafea. No obstante, el uso y estudio del astrolabio predominaba hasta que el cuadrante de Davis lo sustituyó como herramienta para medir la altura en grados de una estrella o del Sol sobre el horizonte.

Referencias:

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Abr 07

Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas

300x300_logo73Otra vez más  pimedios se siente agradecido de albergar una nueva edición del Carnaval de Matemáticas. En esta ocasión la Edición 7.3.

Nuestro primer anfitrión Tito Eliatron dio comienzo a la 7º temporada de este carnaval. Siete, un número muy cabalístico: son siete los días de la semana, siete las maravillas del mundo, siete los pecados capitales, siete el número de CR y siete las notas musicales. Pero ante todo 7 es otro componente del gran mundo de las matemáticas. Un mundo que necesitamos y siempre tenemos presente, como nos explica la doctora Huesitos:

Después de este pequeño relax, vayamos al número. Queda convocada la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas que se celebrará en este blog del 18 al 24 de Abril.

El procedimiento para participar es sencillo: escribir una entrada, de tema libre, en un blog, que esté relacionada con las matemáticas (la entrada que no el blog). Deberéis hacer constar que la entrada participa en el Carnaval,  mencionando la edición y un enlace a esta entrada que os convoca; por ejemplo,

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

Para que pueda localizaros con facilidad y realizar el resumen correctamente, os pediré que me indiquéis vuestra participación de una de estas dos formas:

  • Mediante un comentario en esta misma entrada con un enlace a tu aportación.
  • Por Twitter incluyendo la etiqueta #CarnaMat73 y que haga mención a mi cuenta (@pimediosEs).

Como recuerdo os dejo las ediciones que se han celebrado hasta ahora:

Primer Año

Segundo año

Tercer año

Cuarto año

Quinto Año

Sexto año

Séptimo año

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