mar 27

Criptografía simétrica

csimetricaDesignamos por criptografía simétrica a los métodos criptográficos en los cuales se usa una misma clave para cifrar y descifrar mensajes.

Un ejemplo sencillo lo podemos hacer utilizando la simetría de una matriz. Supongamos que tenemos una frase:

edición 6.2 del carnaval de matemáticas en el blog la aventura de la ciencia

Ahora dispongamos la frase en una matriz cuadrada de orden mayor que el número de caracteres a cifrar:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
e& d& i& c& i& o& n& & 6 \\ \hline
.& 2& & d& e& l& & c& a \\ \hline
r& n& a& v& a& l& & d &e \\ \hline
& m& a& t& e& m& a& t &i\\ \hline
c&a& s& & e& n& & e&l\\ \hline
&  b& l& o& g& & l&a&  \\ \hline
a&v& e& n& t& u&r&a &\\ \hline
d&e& & l& a& &c&i&e\\ \hline
n&c& i& a& & &&&\\ \hline
\end{array}$$

Ahora trasponemos la matriz:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
e &. &r &  &c &  &a &d &n\\ \hline
d &2 &n &m &a &b &v & e&c\\ \hline
i&&a&a&s&l&e&&i\\ \hline
c&d&v&t& &o&n&l&a\\ \hline
i&e&a&e&e&g&t&a&\\ \hline
o&l&l&m&n& &u&&\\ \hline
n&&&a&&l&r&c&\\ \hline
&c&d&t&e&a&a&i&\\ \hline
6&a&e&i&l& & &e&\\ \hline \end{array}$$
Lo que nos da la frase

e.r c adnd2nmabveci aasle icdvt onlaieaeegta ollmn u  n  a lrc  cdteaai 6aeil  e

Como vemos el proceso es muy simple y la clave Trasponer matriz 9×9 es la misma para el que cifrar y el que descifra. Pero se puede complicar más, ejemplos tenemos en DES o en AES.

Con esta entrada participamos en la Edición 6.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es La Aventura de la Ciencia,.

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mar 24

Las agujas que apuntan a $\pi$

Weisstein, Eric W. “Buffon’s Needle Problem.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html

Siguiendo la estela marcada en la Edición 6.2: Número $\pi$ del Carnaval de Matemáticas y, al anfitrión de la La Aventura de la Ciencia, no nos resistimos a incluir, en la participación en el carnaval, el recuerdo a una curiosa forma de encontrar a $\pi$: La aguja de Buffon, un curioso experimento que genera el valor de $pi$.

La aguja de Buffon ha dado muchas entradas en la web. Sin ir más lejos ayer Clara Grima la llevó a cienciaxplora.com

Tambien la podemos encontrar en gaussianos, donde nos explica como Buffon la planteó. O en estadísticaparatodos donde vemos el razonamiento detallado del problema. Y en ciencianet podemos encontrar  simuladores.

No dejemos de verlo en el experimento de fq-experimentos, que nos demuestra cómo enseñar estadística jugando.

Con esta entrada participamos en la Edición 6.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es La Aventura de la Ciencia,.

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mar 23

Recordando a Emmy Noether

emmy-noethers-133rdHoy google nos regala un nuevo doodle con la celebración de una científica, en este caso matemática, ilustre: Emmy Noether.

De Emmy ya nos contó David Cresto en la pasada Edición 5.2: Emmy Noether del carnaval. Hoy también se suman la Voz de Galicia, Emmy Noether: la primera dama de las matemáticas; abc.es,
Emmy Noether, la mujer a la que Einstein consideró una «genio de las matemáticas»; lavanguardia.com,Emmy Noether, nuevo ‘doodle’ de Google; o antena3.com,Google homenajea a Emmy Noether, la primera dama de las matemáticas, entre otros. Entre los muchos blog de divulgación una pequeña muestra de mujeresconciencia.com, Emmy Noether, matemática.

Para terminar añadimos otra frase de su amigo Pavel Sergeevich Aleksandrov:

Emmy Noether fue la más grande de las mujeres matemáticas, una gran científica, magnífica profesora y una inolvidable persona.

Con esta entrada participamos en la Edición 6.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es La Aventura de la Ciencia.

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mar 12

Dilatación temporal

Leonard Nimoy caracteriza al señor Spock junto al capitán Kirk

La dilatación del tiempo es el fenómeno por el cual un observador observa que el reloj de otro (un reloj físicamente idéntico al suyo) está marcando el tiempo a un ritmo menor que el que mide su reloj.

Nuestro recuerdo al desaparecido Leonard Nimoy.

 

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mar 04

Azares y suertes: la historia de un problema

charlasEn la correspondencia que mantienen en 1654 Blais Pascal y Pierre de Fermat se ponen las bases de lo que más tarde sería la Teoría de la Probabilidad. Gran parte de esa correspondencia está centrada en resolver los problemas sobre el juego de dados que Antoine Gombaud (Caballero de Méré) le consulta a Pascal. Uno de esos problemas, quizás el más relevante de los que se trata en esa correspondencia, es el problema del reparto de la apuesta. Un viejo problema que ya había sido abordado por otros ilustres matemáticos del Renacimiento.

Sobre este tema tratará la próxima jornada del III ciclo de charlas divulgativas sobre historia de las matemáticas. Se celebrará el 12 de marzo en Salón de actos del Museo de la Universidad de Murcia, Cuartel de Artillería, Murcia.

Est acharla la imparte Antonio de la Red, profesor de Enseñanza Secundaria en el I.E.S Licenciado Francisco Cascales de Murcia. Actualmente forma parte del grupo PiCuadrado de Historia de las Matemáticas.

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feb 26

Big Data y las matemáticas

bigdatainfoDenominamos por Big Data la acumulación masiva de datos, y englobamos dentro del Big Data el análisis y la manipulación de grandes cantidades de datos. Esta nueva rama de las ciencias de la computación no es agena a las matemáticas, todo lo contrario: sin las matemáticas se colapsaría.

Gemma Muñoz, autora de “El Arte de Medir” (Profit, 2011), nos dice que el Big Data es matemáticas. Son las matemáticas de la efectividad, ya que si tenemos muchos y diversos datos y los combinamos con las reglas adecuadas, podremos encontrar los patrones, los valores atípicos que nos ayudarán a gestionar de forma potente nuestra estrategia de negocio.

La fuerza del Big Data está en optimizar procesos muy complejos, cuanto mayor es el sistema, mayor valor podrá aportar. Gemma Muñoz

Ese trabajo está siendo y será muy importante. Catalina Pons nos comenta lo que dijo Hal Varian, Chief Economist de Google, hace unos años: “En diez años, el trabajo más sexy será el de los estadísticos: La capacidad de recoger datos, comprenderlos, procesarlos, extraer su valor, visualizarlos, comunicarlos serán todas habilidades importantes en las próximas décadas. Ahora disponemos de datos gratuitos y omnipresentes. Lo que aún falta es la capacidad de comprender estos datos y extraer su valor“. El Big Data, dar forma al futuro.

Este trabajo con los datos no se restringe a Marketing y análisis web. La ciencia está proveyendo de grandes cantidades de datos en meteorología, genómica, simulación de procesos físicos (LHC), procesos biológicos y ambientales…, y estos datos necesitan de un profesional que los examine: el científico de datos, del que nos habla José Antonio Guerrero.

El científico de datos es una profesión considerada clave en el mundo de las tecnologías y  de las mejor pagadas. Se trata de una persona formada en las ciencias matemáticas y las estadísticas que domina la programación y sus diferentes lenguajes, ciencias de la computación y analítica. (El científico de datos: una novedosa y necesaria profesión )

El matemático José Antonio Guerrero es considerado el mejor científico de datos del mundo gracias a sus brillantes modelos predictivos. Estos modelos requieren de mucho trabajo y cálculo de variables, pero de ser exitosos son capaces de revolucionar el mundo. El confidencial

La era de la información nació sobre cimientos matemáticos, y el avance en el Big Data dependerá de nuestros algoritmos matemáticos.

Los algoritmos son el arte matemático del “Big Data”. Big Numbers, Big Data

 

Esta entrada participa en la Edición 6.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

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feb 25

De Moivre y la distribución normal

Conocemos que la función distribución de la distribución normal está definida como $$\Phi_{\mu,\sigma^2}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{(u – \mu)^2}{2\sigma^2}}\, du ,\quad x\in\mathbb{R}$$

La función $$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}$$ la conocemos como la función gaussiana, y a su integral la integrala gaussiana. Gauss la publicó en un trabajo de 1809, donde apareció el resultado famoso
$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.$$

Karl Pearson nos dice en [1] que el primer trabajo sobre esa función no fue de Gauss, sino de Abraham de Moivre. De Moivre había estado estudiando la distribución binomial de Jakob Bernoulli. En un trabajo de 1733, De Moivre considera la fórmula de Stirling
$$n! \simeq n^n e^{-n}\sqrt{2 \pi n}\qquad \text{cuando } n \to \infty,$$
para concluir que
$${n \choose k}\, p^k q^{n-k} \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}}\,e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}, \text{ con } p+q=1, \, p, q > 0$$
En un trabajo recopilatorio De Moivre, Doctrine of Chances (1738), lo ejemplificaría para $p=\frac{1}{2}$; pero habría que esperar a 1812 para que Laplace lo formalizase en un teorema, el Teorema de Moivre-Laplace, donde nos aparece la integral $$\int_{\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx.$$

Implícitamente, el teorema de Moivre-Laplace, nos ofrece una aproximación normal a la distribución binomial. Serán los trabajos de Gauss, en 1809, y Laplace, desde 1774 hasta su formulación en 1812[3], los que concretarán lo que hoy conocemos como distribución normal.

Laplace había tratado este tipo de integrales con anterioridad a Gauss, de hecho en 1774 [4] se plantea cómo resolver la integral anterior. Para ello estudia la integral
$$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{-\log x}}(*)$$ Si $y=\sqrt{-\log x}$, la integral se transforma en
$$2\int_0^\infty e^{-y^2}dy.$$
Veamos como Laplace resuelve $(*)$, para hacerlo utiliza la fórmula de Euler:
$$\int_0^1\frac{x^rdx}{\sqrt{1-x^{2s}}}\int_0^1\frac{x^{s+r}dx}{\sqrt{1-x^{2s}}}=\frac{1}{s(r+1)}\,\frac{\pi}{2},$$
para $r$ y $s$ positivos. Si hacemos tender $r\to 0$, tendremos
$$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2s}}}\int_0^1\frac{x^{s}dx}{\sqrt{1-x^{2s}}}=\frac{1}{s}\,\frac{\pi}{2},$$
Ahora haciendo $s\to 0$, y observando que $1-x^{2s}\simeq -2s\log x$ (por la relga de L’Hopital), tendremos
$$\left(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{-\log x}}\right)^2=\pi.$$
En consecuencia
$$\int_0^\infty e^{-y^2}dy=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

Es muy probable que Gauss no conociese este resultado de Laplace; igual que Laplace desconociese los trabajos de Gauss; ambos genios eran autosuficientes. Sus demostraciones fueron diferentes. Esa es una diferencia de las matemáticas respecto de otras ciencias: Si un resultado es cierto podemos encontrar su demostración por diferentes caminos, a veces, aparentemente poco relacionados.

Esta entrada participa en la Edición 6.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Referencia

  • [1]Karl Pearson, Historical Note on the Origin of the Normal Curve of Errors,Biometrika Vol. 16, No. 3/4 (Dec., 1924), pp. 402-404
  • [2]Abraham de Moivre, “Approximatio ad Summam Terminorum Binomii $(a + b)^n$ in Seriem expansi, 1733.
  • [3] P. S. Laplace, Théorie analytique des Probabilités, 1812.
  • [4] P. S. Laplace, Memoire sur la probabilite des causes par les evenemens, Oeuvres Completes 8, 27-65. (English trans. by S. Stigler as Memoir on the Probability of Causes of Events, Statistical Science 1 (1986), 364-378.)
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feb 21

Entre percentiles, cuartiles y cuantiles

Comencemos con una cuestión simple: ¿qué es un percentil? La respuesta es sencilla: una medida no central usada en estadística que indica el valor de la variable por debajo del cual se encuentra un porcentaje dado de observaciones (definición estándar de la wiki).

Pongámonos un poco más exigentes: El percentil muestral de orden $p$ por ciento es aquel valor de dato que tiene la propiedad de que al menos el $p$ por ciento de los valores de datos son menores o iguales que él y que al menos el $(100-p)$ por ciento de los valores de datos son mayores o iguales que él.

origin-of-the-word-quartileEl primero en utilizar el término de percentil fue Francis Galton en 1885 (en [1] o [2]), que supervisó el trabajo de Donald McAlister, en el que aparece por primera vez el término de quartil[3]; o más bien, quartil superior y quartil inferior, en correspondencia con el percentil 75 y el percentil 25, respectivamente.

McAlister trataba de dividir la muestra de datos ordenados en cuatro partes porcentuales iguales (de ahí Quartiles) con la mediana justo en el medio. En un trabajo posterior Galton los mencionaría todos: Percentiles, Deciles y Quartiles.

 Weisstein, Eric W. "Quartile." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Quartile.html

Weisstein, Eric W. “Quartile.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Quartile.html

El problema consiste en calcularlos. Sí, el problema. Si, por ejemplo, nos fijamos en la tabla de Weisstein, en MathWorld, vemos diferentes métodos para calcular los cuartiles de $n$ datos. Y, en todo caso, hablamos de observaciones discretas.

En el transcurso de poco más de 50 años los conceptos intuitivos de Percentiles, Deciles y Quartiles, fueron avanzando, como el mismo desarrollo de la teoría de la probabilidad. En particular,  cuando trabajando bajo la concepción esencialmente determinista del mundo en donde la ejecución repetida de un experimento, bajo condiciones presumiblemente coincidentes, siempre producía el mismo resultado, se observó que no era cierto: había variabilidad. Esta variabilidad de los resultados es la que trata de describir la teoría de la probabilidad y las variables aleatorias.

No nos entretengamos para llegar a 1940, cuando Kendall escribe Note on the Distribution of Quantiles for Large Samples [4]. Ahora los cuantiles pasaban a ser puntos tomados a intervalos regulares de la función de distribución de una variable aleatoria. Los cuantiles podemos usarlos por grupos que dividan la distribución en partes iguales; obteniendo sus hijos, los Percentiles, Deciles y Quartiles.

Pero, si un cuantil de orden $p$ de una distribución depende de esta, el cálculo de los cuantiles (digasé  Percentiles, Deciles y Quartiles) dependerá … Sin agobios, siempre tenemos el recurso de lo normal. Todo lo solucionamos con una distribución normal. Así, cómodamente, podremos explicar a nuestros alumnos cómo calcular los percentiles sin tenerles que angustiar con las distribuciones. Vamos que… las gallinas que entran por las que salen.

A fin de cuentas, como nos decía el Nobel Gabriel Lippman, la distribución normal es la ley en la cual todo el mundo cree firmemente, los matemáticos porque creen que es un hecho comprobado experimentalmente y los experimentales, porque creen que se trata de un teorema matemático[5].

Esta entrada participa en la Edición 6.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Referencias

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