May 25

El “stick de hockey”

Lo llamamos el triángulo de Pascal aunque Tartaglia(siglo XVI), Yang Hui (siglo XIII) y Omar Khayyam (siglo XII) entre otros lo conocían. Estamos hablando del triángulo que obtenemos con los coeficientes de las potencias de un binomio:

Pascal's triangle 5.svg

By User:Conrad.Irwin originally User:Drini – Extracted from Image:PascalSimetria.svg with minor alterations, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3105222

Fue Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó “Table de M. Pascal pour les combinaisons” y Abraham de Moivre (1730) lo bautizó como “Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM”. En gran medida esos honores eran debidos al trabajo de Blaise Pascal en el triángulo.

TrianguloPascal.jpg

By Blaise Pascal – Cambridge University Library, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2819977

Muchas son las curiosidades que se extraen de él, que Pascal publicó en su Traité du triangle arithmétique(1665). Una de ellas es la que hoy conocemos como el “stick de Hockey“:

Si imaginamos una escalera semejante a la coloreada, la suma de todos los números de los peldaños que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.

1+4+10+20=35

1+4+10+20=35

Este resultado tiene una fácil demostración utilizando los números binomiales. Lo mostramos con un ejemplo.

Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

Did you like this? Share it:
Posted in Historia, Ocio | Tagged | Leave a comment
May 24

Premio #CarnaMat73

Justo a tiempo de entrar antes de la finalización de la edición 7.4, traemos el ganador de la Edición 7.3:

Image-1

El medallero  final ha quedado así

  1. orooroplataplatabronceAprendiendo técnicas para contar: lotería primitiva y bombones en Cuaderno de Cultura Científica.
  2. orooroplataNo, los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria en Gaussianos.
  3. oroplataToro de papiroflexia: 360 módulos phizzen en Blog sobre Matemáticas.
  4. oroOndas gravitacionales en πkasle.
  5. oroEducando en valores desde el área de Matemáticas. Las mil grullas de sadako en Blog sobre Matemáticas.
  6. plataplataEl autómata de Huygens y las fracciones continuas en pimedios.
  7. platabroncebronceComparando fracciones con un cortapizzas en matematicascercanas.
  8. bronceJugando con números XV… Un número muy particular… ¡y grande! en matematicascercanas.
  9. bronceEl número π, el principio del palomar… y el caos en Tito Eliatron Dixit.
  10. bronceArcos de Málaga: punto y final en El mundo de Rafalillo.
  11. bronceResolución de problemas en Los Matemáticos no son gente seria.

Enhorabuena al ganador y al resto de participantes por sus excelentes aportaciones.
Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

Did you like this? Share it:
Posted in Actualidad | Tagged , | Leave a comment
May 13

Aureum Theorema

De siempre se ha comentado entre los matemáticos que la teoría de números es la prima donna de las disciplinas matemáticas. Y dentro de la teoría de números aparece un resultado predominante: La Ley de Reciprocidad Cuadrática.

Ocupado con otro trabajo, me encontré con una verdad artmética extraordinaria. como la consideré muy bella en si misma, concentré en ella todos mis esfuerzos para entender los principios de los cuales dependía y para obtener un prueba rigurosa. C.F. Gauss.

Gauss se enfrentaba a la Ley de Reciprocidad Cuadrática, y no se conformó con dar una demostración, en 1801 en su libro Disquisitones Arithmeticae, da dos demostraciones y lo denomina Aureum Theorema. Años después completaría a ocho demostraciones de teorema.

Este problema surge con la ecuación de congruencias $$x^2\equiv a (\text{mod }p).$$ Si existe tal solución decimos que $a$ es un residuo cuadrático módulo $p$, y el problema se traude en encontrar los residuos cuadráticos.

Es posible que Fermat sembrara la semilla, como en tantas otras ecuaciones, cuando enunció cierto (recordemos que nunca presentaba la demostración) que un primo $p$ podía descomponerse en suma de dos cuadrados sí, y sólo si, el primo era 2 o de la forma 4k+1. Fermat dió más resultados similares, pero no los trataremos aquí.

Euler comenzó a estudiar el problema enunciando que si $p$ era un númerp primo impar y $a$ un entero cualquiera coprimo con $p$, entonces $$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1 (\text{mod }p).$$

Pero, ¿qué ocurriría si tratamos de relacionar dos primos?; es decir, $x^2\equiv q (\text{mod }p)$, y, $y^2\equiv p (\text{mod }q)$ para dos primos impares. Esto daría pie a Euler para afirmar:

  1. $q=4k+1$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es congruente con un residuo cuadrático módulo $q$
  2. $q=4k+3$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es congruente con $\pm b^2$ módulo $4q$, donde $b$ es impar no divisible por $q$

Esto no es exactamente la Ley, pero fue una primera aproximación.

Legendre dio el gran paso, y en él introdujo su símbolo que utilizamos hoy:

$$\left(\frac{a}{p}\right)  = \begin{cases} 0 & a \equiv 0 \pmod{p} \\ 1 & a \not\equiv 0\pmod{p} \text{ y } \exists x : a\equiv x^2\pmod{p} \\-1 &a \not\equiv 0\pmod{p} \text{ y no hay tal } x. \end{cases}$$

Así Legendre formularía la Ley de Reciprocidad Cuadrática como más frecuentemente se utiliza hoy: Para dos primos impares $p$ y $q$ se cumple

$$ \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}.$$

Legendre lo demostraría en 1798, una demostración que se basaba en argumentos no probados. dos años después de que Gauss descubriera una demostración, a la edad de 19 años. Sin embargo, sería la publicada en 1801, la que presenta el otro enunciado de esta ley:

Sean $p$ y $q$ primos impares. Entonces

  1. Si $p$ es de la forma $4k+1$, entonces $q$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es un residuo cuadrático módulo $q$.
  2. Si $p$ es de la forma $4k+3$, entonces $q$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $-p$ es un residuo cuadrático módulo $q$.
Did you like this? Share it:
Posted in Historia, Personajes | Tagged , , , | Leave a comment
May 05

Resumen del CarnaMat73

Simpsons-Math Ya tenemos las 19 entradas de la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas. Vamos con ellas:

  1. El número π, el principio del palomar… y el caos en Tito Eliatron Dixit.
  2. No, los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria en Gaussianos.
  3. Ondas gravitacionales en πkasle.
  4. Aprendiendo técnicas para contar: lotería primitiva y bombones en Cuaderno de Cultura Científica.
  5. Fibonacci y el concurso en 4vium.
  6. El autómata de Huygens y las fracciones continuas en pimedios.
  7. Los números Le Monde-959(por llamarlos de alguna manera) en blioquinfo.
  8. Gala de exposiciones del concurso “Utiliza matemáticas” edición 2016 en cifrasyteclas.
  9. Op Art + geometría = Bridget Riley en ::ZTFNews.org.
  10. Arcos de Málaga: punto y final en El mundo de Rafalillo.
  11. Resolución de problemas en Los Matemáticos no son gente seria.
  12. Centenario de la alfombra de Sierpinski en Juegos topológicos.
  13. Jugando con números XV… Un número muy particular… ¡y grande! en matematicascercanas.
  14. 355/113: la razón de Zu en ::ZTFNews.org.
  15. Toro de papiroflexia: 105 módulos phizzen en Blog sobre Matemáticas.
  16. Educando en valores desde el área de Matemáticas. Las mil grullas de sadako en Blog sobre Matemáticas.
  17. Comparando fracciones con un cortapizzas en matematicascercanas.
  18. Toro de papiroflexia: 360 módulos phizzen en Blog sobre Matemáticas.
  19. Humor matemático en Matemáticas recreativas y educativas.

Espero que estén todas y no haya extraviado ninguna por el camino. Si así fuese pulsad el timbre.

tecla

Y si no funciona dejáis un comentario. Ahora sólo nos queda votar y esperad la próxima edición en ::ZTFNews.org. Suerte a todos.

PD: El plazo de votar terminará el 15 de mayo.

Did you like this? Share it:
Posted in Ocio | Tagged | 9 Comments
Abr 29

Roberval, entre curvas y balanzas

Gilles personne de roberval.jpg

Retrato de Gilles Personne de Roberval con los miembros de la Académie des sciences hacia 1670. Henri d’après LE BRUN Charles, Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4017190

Gilles Personne de Roberval, más conocido como Roberval, fue un matemático francés del siglo XVII. Contemporáneo de Descartes, Mersenne, Pascal (padre e hijo) y Fermat, fue gran amigo de Blaise Pascal. Roberval trabajó en la cuadratura de la cicloide, uno de los mayores retos matemáticos del principio de ese siglo.

El redescubrimiento de las curvas en movimiento trajo una multitud de nuevos problemas y retos por afrontar. Ahora, el cálculo de las tangentes y su cuadratura se hacía más difícil. Recordemos que estamos en la antesala de la invención del cálculo diferencial e integral que resolvería de una vez por todas estos problemas.

Roberval se interesó en estos problemas, descubriendo un método para encontrar la cuadratura de la cicloide. Todavía con los recelos por publicar los decubrimientos, Roberval optó por callarlos y, posiblemente, darlos a conocer en un reducido grupo de amigos.

Esto condujo que Roberval, probablemente, resolviera el problema con el uso de unos indivisibles de su invención, indivisibles que Cavalieri desarrollaría por su cuenta y publicase en Geometria indivisibilibus de 1635. La obcecación de algunos sabios en ocultar el conocimiento por miedo a perder sus derechos en las cátedras, les llevó a retener los descubrimientos y perder el mérito del descubrimiento. No fue el primero y tampoco sería el último.

El estudio de la cicloide le llevó a descubrir la trocoide, que publicaría en De trochoide ejusque spatio, hacia 1635. Sobre ella podeís leer en Guirnalda matemática.

trocoide

Otra curiosidad de este sabio fue la invención de la balanza de dos ástiles. Hasta el siglo XII se utilizaba la balanza romana (o romana, como se conoce). Roberval ideó un sistema en forma de paralelogramo articulado que permitía igualar el peso de masas colocadas sobre dos platos.

Roberval scale.jpg

Balanza Roberval

Roberval la presentó en 1669 en la Academia de Ciencias de Francia, sin embargo no se producirían en Francia hasta el siglo XIX. Antes los ingleses sí se fijaron en ella, produciendola con el nombre de balanza francesa.

Did you like this? Share it:
Posted in Historia, Personajes | Tagged | Leave a comment
Abr 22

El autómata planetario de Huygens y las fracciones continuas

huygens-planetarium

Vista interior del autómata planetario de Christiaan Huygens

Christiaan Huygens fue un astrónomo, físico y matemático holandés del siglo XVII. Es considerado uno de los grandes sabios del siglo y dedicó gran parte de su trabajo al estudio de la astronomía. Nos interesa particularmente el autómata planetario que ideó y construyó, previsiblemente entre 1665 y 1681, aunque su descripción no se publicó hasta 1703, después de su muerte.

La principal dificultad del autómata, que simularía el movimiento de los planetas del Sistema Solar, era la dimensiones de las ruedas dentadas. Huygens, que tenía experiencia en la construcción de relojes, sabía que la relación entre las órbitas de los planetas debía reflejarse con precisión en los engranajes que regían los movimientos de los planetas.

Por esas fechas, John Wallis trabajaba en sucesiones de recurencia, utilizando las fracciones que él denominaría “continue fractum”, fracciones continuas. Huygens, que conoció el trabajo de Wallis, pensó en las fracciones continuas para calcular los engranajes. Si deseamos que un engranaje produzca $n$ revoluciones en un eje y $m$ en otro, el número de dientes deben segir la proporción $\frac{n}{m}$.

En el estudio de las orbitas para los planetas, Huygens se topó con la dificultad de la duración de un año terrestre y uno de Saturno. El giro de la Tierra en un año consistía en 359º 45′ 40” 31”’, mientras que en Saturno Huygens lo había estimado en 12º 13′ 34” 18”’. Si lo trasladamos a una fracción esta sería $$\frac{2640858}{77708431}.$$

Huygens utiliza las fracciones continuas para reducir el perido más largo sobre el más corto:
$$
\frac{2640858}{77708431}=
29+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}}}}}}}
$$
Huygens decidió coger la razón $\frac{2640858}{77708431}$ como $\frac{7}{206}$, a causa de que
$$\frac{2640858}{77708431}\approx\frac{206}{7}=29+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{1}}},$$
con un error del orden de $\frac{3}{1000}$. Así Christiaan Huygens construye un engranaje con una rueda de 206 dientes, para Saturno, un piñon de 7 en la barra de hierro principal. Para el resto de planetas determina ruedas de 166 dientes con un piñón 14(166/14) para Júpiter; 158/84 para Marte; 32/52 para Venus; 17/7 para Mercurio.

Una nueva prueba de cómo para resultados matemáticos “aparentemente inútiles” el tiempo descubre consecuencias que no se habían reparado.

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

Referencias:

Did you like this? Share it:
Posted in Historia, Personajes | Tagged | Leave a comment
Abr 14

La azafea

Al-Zarqali La azafea es un instrumento de observación astronómica que mejoraba los cálculos realizados con el astrolabio.  El gran astrónomo andalusí Azarquiel(Toledo, c. 1029 – Sevilla, 1087) construyó este instrumento que permitía realizar las observaciones y el cómputo desde cualquier latitud terrestre, frente a ceñirse a una latitud específica como exigía el astrolabio.

North African universal astrolabe (probably from the 13th century) at the Museum of the History of Science, University of Oxford (Inventory n° 41122).

North African universal astrolabe (probably from the 13th century) at the Museum of the History of Science, University of Oxford (Inventory n° 41122).

El trabajo de Azarquiel sería recopilado por miembros de la Escuela de Traductores de Toledo, en época de Alfonso X el Sabio. En particular, Yehuda ben Moshe ha-Kohen,que en la década de 1260 llevaría a cabo la traducción de la versión definitiva del Libro de la azafea de Azarquiel. Esta versión será la que llegará a Regiomontano, quién publicará en el siglo XV una lista de los problemas astronómicos resueltos mediante la azafea. No obstante, el uso y estudio del astrolabio predominaba hasta que el cuadrante de Davis lo sustituyó como herramienta para medir la altura en grados de una estrella o del Sol sobre el horizonte.

Referencias:

Did you like this? Share it:
Posted in Historia, Personajes | Tagged , , | Leave a comment
Abr 07

Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas

300x300_logo73Otra vez más  pimedios se siente agradecido de albergar una nueva edición del Carnaval de Matemáticas. En esta ocasión la Edición 7.3.

Nuestro primer anfitrión Tito Eliatron dio comienzo a la 7º temporada de este carnaval. Siete, un número muy cabalístico: son siete los días de la semana, siete las maravillas del mundo, siete los pecados capitales, siete el número de CR y siete las notas musicales. Pero ante todo 7 es otro componente del gran mundo de las matemáticas. Un mundo que necesitamos y siempre tenemos presente, como nos explica la doctora Huesitos:

Después de este pequeño relax, vayamos al número. Queda convocada la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas que se celebrará en este blog del 18 al 24 de Abril.

El procedimiento para participar es sencillo: escribir una entrada, de tema libre, en un blog, que esté relacionada con las matemáticas (la entrada que no el blog). Deberéis hacer constar que la entrada participa en el Carnaval,  mencionando la edición y un enlace a esta entrada que os convoca; por ejemplo,

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

Para que pueda localizaros con facilidad y realizar el resumen correctamente, os pediré que me indiquéis vuestra participación de una de estas dos formas:

  • Mediante un comentario en esta misma entrada con un enlace a tu aportación.
  • Por Twitter incluyendo la etiqueta #CarnaMat73 y que haga mención a mi cuenta (@pimediosEs).

Como recuerdo os dejo las ediciones que se han celebrado hasta ahora:

Primer Año

Segundo año

Tercer año

Cuarto año

Quinto Año

Sexto año

Séptimo año

Did you like this? Share it:
Posted in Ocio | Tagged | 16 Comments
Mar 08

Zu Chongzhi y el cálculo de pi

zu_chongzhi Zu Chongzhi fue un astrónomoy matemático chino que vivió entre 429-500 d.C. Fue uno de los grandes matemáticos chinos que surgió tras Los nueve capítulos sobre arte matemático, el gran compendio de matemáticas chinas, similar a los elementos de Euclides para cultura china. Liu Hui fue el iniciador del periodo de esplendor de las matemáticas chinas. Comentó Los nueve capítulos sobre arte matemático, e introdujo a los siguientes matemáticos en el deseo de calcular $\pi$ con precisión.

Precisamente hace casi un año Daniel Martín nos hablaba de Zu Chongzhi(Carnaval de Matemáticas 6.2: Número Pi. 23-29 de marzo), y su relación con el número $\pi$.

Uno de sus logros más renombrados es conseguir $\pi$ con una precisión de 6 cifras decimales. Para este logro nos comenta que utiliza el método conocido de inscribir polígonos regulares, como había realizado su antecesor Liu Hui, probablemente aprendido de los trabajos de Arquímedes.

Sin embargo, cuesta creer que Zu Chongzhi utilizase ese método para obtener la fracción con menor denominar(<16600) más próxima a $\pi\approx \frac{355}{113}$. El método de inscribir polígonos habría necesitado de un polígono de 24.576 lados. Esa construcción y la precisión con la que tendría que haber trabajado, induce a pensar que obtuvo la fracción de otro modo. Nunca lo sabremos con exactitud, pues su trabajo se perdió, quedando sólo la fracción como reconocimiento del hallazgo.

Para imaginar cómo la obtuvo, con un procedimiento alternativo al de los polígonos, debemos pensar en las herramientas que dispuso. Ya se conocía la aproximación de $\pi$ dada por $$3<\pi<\frac{22}{7}.$$ De igual modo que el resultado para fracciones:
$$\frac{a}{b}\leq \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}\leq \frac{a+c}{b+d}\leq \frac{c}{d}.$$
Utilizando ambas relaciones podemos aproximar
$$\pi\approx \frac{3x+22y}{x+7y}.$$
Ahora sólo necesitamos tomar $y=16x$ para despejar
$$\pi\approx \frac{3x+22\times 16x}{x+7\times 16x}=\frac{355}{113}.$$
Esta manera no resulta la única, en  Zu Chongzhi, MacTutor History of Mathematics archive, podemos ver que nos hacen referencias a otras posibilidades, pero no nos negarán que esta es bonita y sencilla.

Did you like this? Share it:
Posted in Personajes | Tagged | Leave a comment