jun 30

Premio #CarnaMat64

Perdonad el retraso en proclamar el Premio a la entrada más votada de la Edición 6.4: pseudoprimos de nuestro Carnaval de Matemáticas. Con 13 votos, 3 medallas de oro y una bronce, el ganador de la edición ha sido

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John Nash, la búsqueda permanente de la idea original
del blog Matematicas en Ave María.

El medallero  final ha quedado así

  1. orooroorobronceJohn Nash, la búsqueda permanente de la idea original
  2. oroorobronceLas 23 pruebas de Al-Biruni en Guirnalda matemática
  3. oroplataEl mapa Dymaxion de Raíl Ibañez en Cuaderno de Cultura Científica.
  4. oro150 años más tarde… Alicia Moebius en ZTFNews.
  5. plataplataTransparencias y vídeo de la charla “Problemas matemáticos sin resolver que cualquier niño puede entender” en Cifras y Teclas.
  6. platabronceLa pregunta incómoda en Matifutbol.
  7. plata Respuestas de alumnos ‘matemáticos’ (III) en El mundo de Rafalillo.
  8. plataLas circunferencias de Villarceau de Marta Macho en Cuaderno de Cultura Científica.
  9. plataRedes de flujo en pimedios.
  10. broncebronce20/5/1570: primera impresión del “Theatrum Orbis Terrarum”  en ZTFNews.
  11. broncebronceMatemáticas y Rock [conferencia] en Tito Eliatron Dixit.

Enhorabuena al ganador y al resto de participantes por sus excelentes aportaciones.

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jun 25

Las matemáticas en el Kitab al-Shifa

2-avicenna-ibn-sina-granger Ibn Sina o Avicena(980-1037) es considerado uno de los grandes sabios de la Edad Media. De sus textos los más famosos eran El libro de la curación y El canon de medicina, que se extendió por la Europa del medievo como el Canon de Avicena. Este libro, consagrado al arte de curar, lo equiparó a la par de Hipócrates y Galeno. Pero hoy es de El libro de la curación, cuyo nombre en árabe era Kitāb al-Shifā, del que vamos a hablar.

En  Kitāb al-Shifā, Avicena escribe de lógica, ciencias naturales, matemáticas y metafísica. Nos interesa la parte físico-matemática del tratado. Se cree que se compuso entre el 1014 y 1020, y fue publicado en 1027. Avicena se apoya en los filósofos griegos, en particular en Aristóteles, pero conoce los sabios posteriores como Ptolomeo y los grandes sabios musulmanes: Al-Kindi, Al-Farabi  y Abū Rayhān al-Bīrūnī.

Comienza el tratado con los diferentes tipos de números basado en fuentes griegas e hindúes. Recordemos que el sistema de numeración indo-arábigo se introdujo en el siglo IX con la obra de Al-Jwarizmi, que trabajó con Al-Kindi. Junto con la discusión sobre los números, explica diferentes operaciones aritméticas, mostrando la prueba del nueve, para la corrección de errores. (Como curiosidad esta prueba había sido descrita por el obispo de Roma, Hipólito –170-235–,  en The Refutation of all Heresies. Aunque lo más probable es que Avicena lo conociese de Jámbico –s.III–, en un comentario que hizo a la obra la Introdución a la Aritmética de Nicómaco de Gerasa –s.II–)

Sigue tratando los números con un marcado carácter geométrico, continuando la linea de griegos y Tabit ibn Qurrà, otro gran matemático musulmán del siglo IX, en contra del procedimiento algorítmico que había iniciado Al-Jwarizmi. (Tabit ibn Qurrà se había interesado por la teoría de números, dando un resultado para hallar pares de números amigos)

Avicena deja las matemáticas de los números para adentrarse en la mecánica experimental, que desarrolló Aristóteles y que no tuvo reparos en criticar. Se interesa en la determinación de los centros de gravedad y las condiciones de los diferentes equilibrios como base de la fabricación de instrumentos de medida. Y discute la teoría del ímpetu de Juan Filópono, alejandrino del siglo VI, que critica la noción aristotélica de fuerza.

Como vemos, Kitāb al-Shifā’ es la prueba de que la sabiduría no consistía en el acumulado conocimiento de una sola ciencia.

Este post participa en la edición 6.5 “primos de Mersenne” del Carnaval de Matemáticas, alojada en el Blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla

 Referencias

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jun 24

Comentando The Imitation Game

imation0Los seguidores de este blog sabéis de mi devoción por la figura de Alan Turing, y, aunque he tardado más de seis meses en ver la película, no me resisto a hablar de The Imitation Game. No repetiré los defectos que nos muestra Francis (El falso Alan Turing de la película ‘The Imitation Game’), me centraré en otras licencias cinematográficas que, para un apasionado de la historia, bien valen puntualizar.

Como ha pasado tanto tiempo, no espero que me tachen de espoiler. Aviso: contaré detalles de la película. Esta entrada está pensada para quienes la han visto y desean puntualizar algunas cuestiones.

Lo primero: la película es muy buena, y la interpretación de Cumberbatch colosal. No debemos equiparar la representación del actor con la imitación del personaje. Cumberbatch es actor y crea un personaje bajo la dirección de un director. Es de apreciar el montaje del film. Los tiempos están espléndidamente encajados, y el clima que muestra cada flashback enlaza con la trama escondida con la que nos pretende seducir el director.

El hilo conductor es el espionaje y, para centrarnos en él, que mejor que un personaje con los arquetipos de un traidor. Aquí veréis la psicosis que se vivió en Inglaterra(y el mundo por extensión) tras el final de la II Guerra Mundial: la Guerra Fría. El exponente inglés está en Los cinco de Cambridge. Cinco británicos que actuaron de espías para la Unión Soviética. En la película nos dejan entrever que Turing encajaría entre esos cinco. ¿Por qué?, porque todo en él era secretismo. Para desvelar el secretismo Turing(Cumberbatch) decide contar su historia, historia guardada secretamente por orden del Gobierno Británico. Hasta aquí jugamos con el oscurantismo que sí existió, pero aliñado con las licencias cinematográficas puras de cliché cinematográfico actual.

La máquina

Alan Turing aparece como el héroe(no comento las imprecisiones expuestas por Francis) salvador que resolverá el problema que nadie acierta afrontar. Nada más lejos de la realidad. Cuando Turing llega a Bletchley Park(el centro de descifrado de códigos alemanes) lo hace de la mano de su profesor y mentor Max Newman(omitido en el film), quien dirige el trabajo de descifrar Enigma. Tampoco llega a un equipo que lo hacían todo a ciegas. Ya se encontraban trabajando en el bosquejo de una máquina que descifrará Enigma: La Bombe. Los principios de la máquina los habían aportado los criptoanalistas polacos capitaneados por Marian Rejewski.

La Bombe replicaba la acción de varias máquinas Enigma cableadas una con la otra. Cada uno de los rápidos tambores rotativos, en la imagen de arriba de una maqueta en el museo Bletchley Parkr del enigma. Wikipedia

Es una licencia ver a Turing construyendo una máquina de la que nadie sabía nada.

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En la foto Matthew Goode interpretando a Hugh Alexander, campeón británico de ajedrez. Se incorporó a Bletchley Park después de Alan Turing.

 

La figura de los cables colgando da sensación de artilugio rudimentario y preparado a la ligera, cuando era todo lo contrario. Si bien no habían ordenadores como hoy los conocemos, sí nos encontramos con proto-ordenadores, o quizás más adecuado sería decir supercalculadoras. Los trabajos iniciales en la Bombe (inglesa) se debieron a ingenieros como Harold Keen, sobre los trabajos de los polacos. Alan Turing no era un ingeniero. En el final de la película vemos máquinas, una vez más cableadas con gruesos cables rojos, en casa de Turing, intentando dejarnos claro que los ordenadores era su mundo; de nuevo,  la realidad distaba bastante. Esas máquinas son mero atrezo para recordarnos el leitmotiv de la película. Es cierto que, durante y al terminar la guerra, Turing estuvo implicado en el desarrollo de Colossus, la evolución de la Boombe que incluía los diseños matemáticos de Turing. Max Neumann continuó liderando el proyecto que concretaría la construcción de la Manchester Mark I en 1949, para muchos considerada la primera computadora con programa almacenado en la misma computadora. Turing, a petición de Max Neumann, se incorporó al proyecto en 1948 para realizar un lenguaje de programación de la misma.

Entonces, ¿Alan Turing inventó los ordenadores? No. Como en todas las cuestiones sobre el momento del nacimiento de un avance, es difícil establecer exactamente un principio, un punto inicial. Desde el siglo XVIII resulta extraño encontrar un sólo hombre como el único creador de un avance en la ciencia. Lo normal es encontrar una mente privilegiada que una los cabos sueltos que otros han ido dejando. Eso fue precisamente lo que hizo Turing.

Alan Turing no inventó el ordenador, pero sí sentó las bases de la concepción del ordenador que hoy utilizamos. En Bletchley Park trabajó más con un lápiz y un papel que con cables y rotores. Suyas fueron las ideas principales para que la máquina siguiese el proceso ordenado que hoy conocemos como algoritmo de computación, y que entonces sólo se conocía como cálculo aritmético. Él ayudó para que las tabuladoras dejasen de ser simples ábacos gigantes. Pero no podemos obviar que sin su trabajo Enigma no habría sido descifrada.

Parte de su trabajo fue desarrollar bamburismus.

El sexo femenino

El personaje de Keira Knightley, como Joan Clarke, busca el toque emocional de la película y el descubrirnos la homosexualidad de Alan Turing, al tiempo que reivindica la participación de las mujeres en Bletchley Park. Por limitaciones del guión no aparecen Margaret Rock y Mavis Lever (Women Codebreakers) cuyos trabajos estuvieron al nivel de los otros grandes investigadores de género masculino, como Irving John Good, interpretado por James Northcote.

12 James Northcote as Jack Good

Años más tarde I.J. Good reconocería que gran parte de su trabajo se lo debió a las ideas que Turing le proporcionó(I. J. Good, Alan Turing y la estadística).

Joan Clarke es más que una joven aficionada a los crucigramas como nos la pintan, era una brillante estudiante que fue reclutada por su profesor Gordon Welchman, otro de los matemáticos que trabajaban en Bletchley Park y que no aparecen en el film.

¿Puende pensar las máquinas?

La reclusión en la que aparece Alan Turing al final de la película fue el resultado del ostracismo al que le sometieron.  En 1946, Max Newman llegó a rechazar  la Orden del Imperio Británico en protesta por el trato que se le estaba dando a Alan Turing. Los motivos, probablemente, nunca se sabrán: homosexualidad, sabía demasiado (David Leavitt, 2007. The man who knew too much: Alan Turing and the invention of the computer), secretos de estado,… El trabajo de Turing, como el de sus compañeros, fue tan secreto que hasta más de 20 años después nadie supo en qué habían trabajado(Como botón de muestra esta curiosa anécdota: los ingleses estuvieron vendiendo maquinas Enigma, una vez terminada la II Guerra Mundial, ofreciéndolas como indescifrables). Esto está muy bien detallado en la investigación del detective que se encarga del robo inicial de la película, el robo que destrozará su vida.

La pregunta que le hace el detective: ¿Pueden pensar las máquinas?, es la conclusión de su alejamiento de la sociedad inglesa académica. El detonante fue la mesa redonda que organiza la BBC sobre inteligencia artificial, para retransmitirla por el Tercer Programa, el 14 de enero de 1952. En ella algunos de los científicos contertulios se mofan de las ingenuas ideas de Turing acerca de la inteligencia artificial, sobre todo la expuesta en un reciente artículo donde planteaba la cuestión: ¿Pueden pensar las máquinas?

Excluido de las novedosas investigaciones en computadoras que el mundo estaba viviendo, apartado de la principales actividades académicas por sus locas ideas y recluido de la sociedad por su homosexualidad, Cumberbatch es el reflejo del Alan Turing final. La castración química a la que fue sometido le produjo cambios hormonales en su cuerpo. Un cuerpo cultivado en el ejercicio, como nos muestran en la película, que sucumbió a los cambios físicos propios de un desajuste hormonal.

Cumberbatch

No quisiera termina sin referirme  a una parte de la película donde no me parece acertada la decisión del director, o el guionista. Cuando lograron descifrar Enigma tuvieron que tomar decisiones importantes como se refleja en la película, pero de ningún modo esas decisiones, sobre quién vivía o no, pueden achacarse Turing y las matemáticas. David Leavitt expone que Winston Churchill, Primer Ministro durante la guerra, tuvo constancia y tomó decisiones siempre por el buen fin de la contienda. Dudo mucho que la visión no militarista con la que retratan a Turing al principio case con el Turing endiosado de esa parte del filme.

 Este post participa en la edición 6.5 “primos de Mersenne” del Carnaval de Matemáticas, alojada en el Blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla

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jun 23

Webinar Gestionar y Compartir Código MATLAB

El crecimiento constante en el tamaño y la complejidad de los proyectos, científicos y de ingeniería, es un reto para aquellos que necesitan compartir y gestionar el código escrito en MATLAB. Para agilizar, MATLAB proporciona herramientas avanzadas para el desarrollo de software, tales como el análisis del rendimiento del código, control de versiones y pruebas unitarias.

Si estáis interesados inscribiros en el webinar Online que se impartirá el próximo 1 de Julio, 4pm.


Registrarse en el webinar

 

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may 31

Resumen de la Edición 6.4: pseudoprimos

carnaval-de-matem64jpg Concluimos la Edición 6.4: pseudoprimos del Carnaval de Matemáticas. Una edición de la que disfrutaréis leyendo como en las anteriores. En esta ocasión las entradas son:

  1. Las 23 pruebas de Al-Biruni en Guirnalda matemática
  2. 20/5/1570: primera impresión del “Theatrum Orbis Terrarum”  en ZTFNews.
  3. El mapa Dymaxion de Raíl Ibañez en Cuaderno de Cultura Científica.
  4. Matemáticas y Rock [conferencia] en Tito Eliatron Dixit.
  5. Redes de flujo en pimedios.
  6. 150 años más tarde… Alicia Moebius en ZTFNews.
  7. John Nash, la búsqueda permanente de la idea original en matematicasavemaria.
  8. La pregunta incómoda en Matifutbol.
  9. Respuestas de alumnos ‘matemáticos’ (III) en El mundo de Rafalillo.
  10. Las circunferencias de Villarceau de Marta Macho en Cuaderno de Cultura Científica.
  11. Transparencias y vídeo de la charla “Problemas matemáticos sin resolver que cualquier niño puede entender” en Cifras y Teclas.
  12. ¿Hay un mensaje oculto en el número pi? en El teorema de los cuales.

Esta edición no ha sido muy concurrida. Espero que estén todas, si alguna no aparece comunicadlo y la incluiremos.

Terminamos recordando que comienza la votación en la que elegiremos la entrada ganadora del Premio #CarnaMat64. El plazo terminará el 14 de junio. Los votos se otorgaran a tres entradas con una puntuación de 4, 2 y 1 según vuestra consideración. Votaremos dejando los votos en un comentario en este mismo post de resumen, incluyendo un enlace a vuestro perfil en la web del Carnaval, en caso de que no seáis uno de los participantes.

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may 22

Red de Flujo

tolstoi1930Comencemos con explicando el término Red de flujo:

Como decimos en el vídeo, uno de los trabajos que dan salida al uso de las redes de flujo es el Algoritmo de Ford-Fulkerson para encontrar el flujo máximo de una red. Este algoritmo se publica en 1956 por L. R. Ford, Jr.  y D. R. Fulkerson, en el artículo Maximal flow through a network (Canadian Journal of Mathematics 8: 399. doi:10.4153/CJM-1956-045-5). Sin embargo, en el comienzo de la publicación nos dice que plantean estudiar el problema, formulado por T.E. Harris, siguiente:

“Consider a rail network connecting two cities by way of  number of intermediate cities, where each link of the network has a number assigned to it representing its capacity. Assuming a steady state condition, find a maximal flow from one given city to the other.”

Este problema lo presenta T.E. Harris en una correspondencia con F.S Ross sobre el trabajo que publican en 1955 (T.E. Harris, F.S. Ross, Fundamentals of a Method for Evaluating Rail Net Capacities, Research Memorandum RM-1573, The RAND Corporation, Santa Monica, California, 1955).  Pero si tenemos que encontrar el inicio, debemos retroceder a 1930, cuando A.N. Tolstoi publica un trabajo sobre un problema del transporte (la figura de arriba pertenece al artículo). Tolstoi trataba de analizar los problemas de las comunicaciones en la redes ferroviales soviéticas.

El problema del transporte, que daría paso al teoría de transporte, muy desarrollada en economía, fue formulada por el matemático francés  Gaspard Monge en 1781. Pero en los años 20 del siglo pasado, A.N. Tolstoi realizaría los primeros trabajos para estudiar el problema del transporte matemáticamente.

Para más información ver Schrijver, Alexander, Combinatorial Optimization, Berlin ; New York : Springer, 2003. ISBN 3540443894. 

Esta entrada participa en la Edición 6.4: pseudoprimos del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

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may 01

“Edición 6.4: pseudoprimos” del Carnaval de Matemáticas (20-27 de mayo)

carnaval-de-matem64jpg De nuevo pimedios se siente agradecido de albergar una nueva edición del Carnaval de Matemáticas. En esta ocasión la Edición 6.4 se dedica a los pseudoprimos.

La fascinación por los números primos ha cautivado a  los matemáticos desde los principios de la matemática. Euclides fue el primero en buscar propiedades, pero el gran salto se produjo tras la reaparición de la obra Arithmetica de Diofanto de Alejandría. Esta obra serviría de inspiración para el gran gestor de la teoría de números actual: Pierre de Fermat.

Este jurista francés y aficionado a las matemáticas, encontró en 1636 una propiedad que cumplían los números primos(Teorema pequeño de Fermat):

Si $p$ es primo y no divide a un entero $a$>0 entonces divide a  $a^p-a$

Este resultado lleva implícito una prueba para determinar que un número no es primo: si $n$ y $a$ son coprimos y  $a^{p-1}\not\equiv 1(mod\, n) $, entonces $n$ no pude ser primo. Pero, ¿qué ocurre si $a^{p-1}\equiv 1(mod\, n) $?, ¿podemos afirmar que $n$ es primo? La respuesta es que no. Sólo existe un resultado así de simple que nos ofrezca una condición de primalidad: el Teorema de Wilson.

Aún así el Teorema pequeño de Fermat nos ofrece una posibilidad más sencilla de estudiar la primalidad que el Teorema de Wilson. Si un número cumple el teorema es un buen candidato a ser primo. De modo que podemos utilizar el teorema como un test para determinar los candidatos a ser primos. Si además utilizamos como $a$, en el teorema, los números primos menores, será más fuerte y constituiremos el test de primalidad de Fermat.  A estos candidatos que superen el test se les denomina pseudoprimos o pseudoprimos de Fermat. Formalmente, los pseudoprimos son aquellos números que no siendo primos, verifican el Teorema pequeño de Fermat de base b. El programa de cifrado PGP utiliza este test para comprobar si los grandes números aleatorios que elige son primos.

Si cambiamos la base a la que sometemos un número $n$ y sigue superando el test, la probabilidad de que sea primo aumenta considerablemente. En 1912 Robert Daniel Carmichael probó que existen pseudoprimos que verifican el test para cualquier base. Estos pseudoprimos especiales se les denomina números de Carmichael.

Así presentamos la Edición 6.4: pseudoprimos del Carnaval de Matemáticas, que se celebrará entre el 20 y 27 de mayo, ambos incluidos. Entre el 28 y 30 de mayo se publicará el resumen del Carnaval.

El procedimiento para participar es sencillo: escribir una entrada, de tema libre, en un blog, que esté relacionada con las matemáticas (la entrada que no el blog). Deberéis hacer constar que la entrada participa en el Carnaval,  mencionando la edición y un enlace a esta entrada que os convoca; por ejemplo,

Esta entrada participa en la Edición 6.4: pseudoprimos del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

Para que pueda localizaros con facilidad y realizar el resumen correctamente, os pediré que me indiquéis vuestra participación de una de estas dos formas:

  • Mediante un comentario en esta misma entrada con un enlace a tu aportación.
  • Por Twitter incluyendo la etiqueta #CarnaMat64 y que haga mención a mi cuenta (@pimediosEs).

Como recuerdo os dejo las ediciones que se han celebrado hasta ahora:

I

II

III

IV

V

VI

¡Ale!, a trabajar y que los pseudoprimos os inspiren.

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abr 30

Tycho Brahe y la supernova

Porträtt av Tycho Brahe - Skoklosters slott - 90153.tif

«Porträtt av Tycho Brahe – Skoklosters slott – 90153» por Desconocido – Jens Mohr – LSH 90153 (sm_dig3678). Disponible bajo la licencia Dominio público vía Wikimedia Commons.

En 1572 el astrónomo Tycho Brahe realizó un descubrimiento impactante: avistó una stella nova en el firmamento. Este hallazgo acababa con inviolabilidad e inmutabilidad de la concepción aristotélica del universo.

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