Abr 29

Wilson y los primos

El teorema de Wilson nos dice que p es un número primo, entonces
$$(p−1)! \equiv -1 (\text{mod }p)$$

El recíproco también es cierto. En efecto, supongamos tenemos un número mayor que 1, $n\in\mathbb{Z}^+$, compuesto y que verifica la igualdad anterior. Entonces por ser compuesto existen $a,b\in\mathbb{Z}^+$ tales que $n=a\,b$, siendo $1<a,b<n$. Como $(n−1)! \equiv -1 (\text{mod }n)$, implica que $(n−1)! +1=k\,n$ para cierto $k\in\mathbb{Z}$. Ahora, tanto $a$ como $b$ al ser factores de $n$ están en el producto $(n-1)!$. En consecuencia, $a$ divide a $n$ y, además, $a$ es un factor de $(n-1)!$. Luego existen $r$ y $s$ enteros tales que

$$(n−1)! +1=k\,n\Rightarrow a\,r+1=k\,s\,a\Rightarrow 1=(k\,s-r)\,a$$

Pero esto es absurdo, pues 1 no se puede factorizar con números enteros mayores que él. ¿Dónde está el error? En suponer que $n$ es compuesto.

Sabemos que el resultado lo publicó el profesor lucassiano Edwar Waring en la obra Meditationes Algebraicae (Cambridge, Inglaterra: 1770), comentando un enunciado sugerido por su alumno John Wilson:

“Hanc maxime elegantem primorum numerorum proprietatem invenit vir clarissimus, rerumque mathematicarum peritissimus Joannes Wilson Armiger.”

Sin embargo, ni Waring ni su alumno Wilson probaron el resultado, ni se dieron cuenta que el inverso también era cierto. Fue Lagrange quien probó ambas proposiciones en 1773.

El resultado es tan sencillo que apetece utilizarlo para probar si un número es primo. Pero esconde una dificultad extrema: el cálculo del factorial. La complejidad para calcular un factorial es de orden $O(n)$. Lo que significa que si en un ordenador tardamos 1 segundo en calcular 10!, emplearíamos, como máximo, 2 segundos en calcular 20!,  y $n$ segundos en $n!$. Hoy las computadoras son increíblemente rápidas, y el tiempo se reduce. Aun así, cuánto tardaríamos en computar el más de un millón de cifras de 200000!.

Así que pongámonos en marcha y apliquemos nuestros conocimientos alumnos en encontrar un algoritmo que reduzca el tiempo. De partida podemos empezar con estos:  The Homepage of Factorial Algorithms. Y si lo consiguen mejorarlo, siempre podremos ponerle nuestro nombre como hacía Pitágoras.

Este post participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog Semillas.

 

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Mar 25

Roma y las matemáticas

Da Vinci Vitruve Luc Viatour.jpg


De Leonardo da Vinci – Leonardo Da Vinci – Photo from www.lucnix.be. 2007-09-08 (photograph).

Hay un adagio repetido a lo largo del tiempo: la historia la escriben los vencedores. Esta nos lleva a creer que si no está escrito, no existió. El nombre de la reina-faraón Hatshepsut fue borrado sistemáticamente de los anales y edificios egipcios. Con ello relegaban al olvido su existencia y su obra. De un modo similar, algunos de los primeros historiadores de las matemáticas se sintieron tan obnubilados por la ciencia griega que desdeñaron las matemáticas en el periodo de dominio de Roma. Aunque es verdad que no hay grandes nombres de la Roma clásica en el elenco de personajes matemáticos, las matemáticas no dejaron de existir con el decaer de la Grecia clásica.

A la hora de recordar a los matemáticos de la época entre los griegos y los árabes topamos con nombres tan conocidos como Diofanto de Alejandría, Pappus de Alejandría o Teón de Alejandría. Lo adivinan, ¿verdad? Vivieron en el Imperio Romano, habiendo nacido en la continuación de la tradición helenista. Arquímides, Hipatia o Ptolomeo son continuadores de un conocimiento griego en un mundo romano, o donde Roma comenzaba a mostrar su influencia, en el caso de Arquímides.

Para algunos historiadores la decadencia de las matemáticas, tras el periodo griego, fue debido al impacto negativo de Roma.

Algunos historiadores atribuyen esta decadencia a las insuficiencias y limitaciones del álgebra geométrica griega, y otros al frío hálito de Roma. C. Boyer, Historia de la matemática.

No cabe duda que hay parte de razón: los romanos fueron un pueblo conquistador, amante del dios Marte. Sin embargo, Boyer también nos dice:

El periodo que va de Hiparco a Ptolomeo a lo largo de tres siglos fue uno de predominio de la matemática aplicada.

Más prácticos que teóricos, los romanos buscaban la aplicación: Arquímedes y Herón de Alejandría son exponentes de matemáticas aplicadas. Las matemáticas que ayudaban, por ejemplo, en la construcción.

Marco Vitruvio fue arquitecto e ingeniero, en la Roma de Julio Cesar. De él tenemos De architectura, la referencia por antonomasia del conocimiento arquitectónico de la antigüedad grecolatina(no se si atreverme a decir que por ella puede considerarsele el Euclides de la arquitectura). Leonardo da Vinci le homenajeará con el famoso dibujo. No cabe duda que Vitruvio conoce la geometría, las proporciones, las figuras. Continua con la labor de Arquímedes, describiendo la construcción del tornillo de Arquímedes, relojes de sol y de agua, incluso el uso de la eolípila (la primera máquina de vapor, que ideó Herón de Alejandría) Quizás no veamos las matemáticas, pero De architectura, contenía, además construcciónGnomónica y Mecánica (matemáticas aplicadas).

Es posible que Vitruvio no se parase en analizar la geometría como los helenistas de Alejandría. Para Roma era más importante los acueductos, los puentes, las ingenierías militar y de minas, la metalurgia, la agrimensura.  Higino Gromático ejercía de agrimensor en la época del emperador Trajano(el hispano, sobre quien Santiago Posteguillo ha escrito una  excelente trilogía), y era geógrafo, cartógrafo y matemático. Se le atribuye un tratado sobre campamentos militares. Experto en gnomónica escribió un amplio trabajo en agrimensura.

El interés en Roma por las matemáticas parece no equiparse al pasado en Grecia, o el mismo que se mantiene en la Alejandría helenística. En el blog sobre la educación de la Roma Antigua podemos leer:

La organización de la enseñanza en la época imperial siguió siendo parecida a la época anterior con sus tres grados del literato, el gramático y el retórico; pero con un nuevo sentido imperial, de absorción y nacionalización de las regiones conquistadas. Se da la universalización de la cultura romana y en particular de la lengua latina y del derecho.

De nuevo se manifiesta que el desarrollo matemático está relegado, incluso en la educación. Pero una vez más no significa que en la Roma Imperial no se desarrollasen las matemáticas. Cómo de otro modo habrían construido el Panteón de Roma. Se erigió entre los años 118 y 125 d.C., durante el reinado de Adriano(otro hispano). De planta circular, es la construcción con la cúpula mayor jamás construida hasta el siglo XX. Se cree que la dirección del proyecto cayó en las manos de Apolodoro de Damasco, quien también construiría la imponente Columna de Trabajo. La visión de la obra encandiló a genios que le siguieron, como Miguel Ángel o Brunelleschi.

HISTORIA NATIONAL GEOGRAPHIC 158 – Feb 2017.

No tenemos la documentación que utilizaron los constructores del Panteón, pero nos basta con observar para afirmar que el conocimiento de la geometría debía ser excelso.

Si tuviésemos que medir el conocimiento y desarrollo de las matemáticas de una sociedad, la construcción de una esfera estaría entre los logros mas avanzados. La Roma Imperial lo hizo.

Ahora analicemos la fría verdad: los historiadores no han encontrado documentos que refuten su opinión sobre el estancamiento de las matemáticas en la época romana. Quizás se perdiesen. O quizás no se han fijado en sus construcciones.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima segunda edición, también denominada 8.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.
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Feb 28

Cómo resolver un juego de monedas con inducción matemática (II)

Llegó la hora de dar la solución al problema planteado en Cómo resolver un juego de monedas con inducción matemática (I). Como muchos habréis intuido, necesitamos un número impar de caras en una fila, para que esta pueda vaciarse por completo. La cuestión es cómo demostramos que esta afirmación es cierta. Aquí es donde entra en juego la inducción matemática.

Ya sabemos que necesitamos una proposición, que dependa de un entero positivo:

P(n): “Toda fila de n monedas con un número impar de caras es vaciable”

En este caso utilizaremos el Principio de inducción fuerte.

Obviamente (esta palabra nunca les gusta a los alumnos) P(1) se cumple; pues si la fila sólo contiene una moneda, la podremos eliminar sólo si es cara. Ahora consideremos una fila de $k>1$ monedas, donde suponemos que para toda fila de longitud menor o igual que $k$ la podemos vaciar si tiene un número impar de caras. Veamos que ocurre cuando tengamos $k+1$ monedas en nuestra fila.

Supongamos que nuestra fila de $k+1$ monedas tiene un número impar de caras. Entonces elegimos la primera cara presente de izquierda a derecha. Puede darse dos casos. Que la primera cara sea la primera moneda(1) o que no(2).

(1)C*** ó (2)+***C***

Si es la primera moneda, caso (1), al eliminarla y darle la vuelta a la contigua sucederá que esta es cara o cruz.

(1)C***-> (1)C** ó (2)+**

Si es cara repetimos el proceso hasta vaciar la fila o que aparezca una cruz, y en tal caso, continuaríamos como  en el caso (2).

Resulta que nuestra cara no es la primera moneda, caso (2).

******C******

Al eliminarla volteamos las contiguas y tendremos dos nuevas filas, resultado de la eliminación de la cara.

“*****C” y “{C ó +}*****”

Las dos nuevas filas en las que se ha troceado la fila original, tienen una cantidad menor que $k$ de monedas. Y resulta que las dos nuevas filas tienen una cantidad impar de monedas. La primera subfila, la que resulta a la izquierda de la cara eliminada, porque sólo tendrá la cara que acabamos de sacar al darle la vuelta a la cruz contigua a la cara eliminada. Del mismo modo, la segunda subfila, la situada a la derecha, porque el número impar de caras se mantiene al darle la vuelta a la contigua a la eliminada. Expliquemos esto.

Si “{C ó +}*****” resulta “C*****”, entonces la cara eliminada reaparece manteniendo el mismo número de caras impar que habían antes de la eliminación.

Si “{C ó +}*****” resulta “+*****”, entonces la eliminación de la cara a provocado que la cara contigua pase a cruz, con lo cual restamos dos caras del computo inicial de caras, antes de la eliminación. Si al número impar de caras le restamos dos, seguiremos teniendo un número impar de caras.

Por la hipótesis de inducción, las dos nuevas subfilas, como tienen un número impar de caras, podrán ser vaciables completamente. Por tanto, habremos vaciado toda la fila y quedará probado para la fila con $k+1$ monedas. Hemos concluido el paso de la inducción que nos lleva a justificar que es válido para toda fila de n monedas con un número de ellas mostrando la cara.

Con lo dicho, necesitamos  un número impar de caras; es decir, si la fila tiene un número impar de caras, seguro que la podremos  vaciar. Pero, ¿puede vaciarse en algún caso de que tenga un número par? En el ejemplo de la primera entrada vimos un caso de un número par de caras que no tenía solución. ¿Podemos afirmar que cualquier fila con un número par de caras no será vaciable? Ya tenemos otro problema planteado. Se atreven.

Esta entrada participa en la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

 

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Feb 22

Cómo resolver un juego de monedas con inducción matemática (I)

Conocemos cientos de ejemplos donde las matemáticas nos ilustran el procedimiento para resolver un problema aparentemente alejado de ellas. A los alumnos este tipo de juegos les despierta la curiosidad. Precisamente al estudiar la inducción matemática me ha surgido un ejemplo digno de captar la atención de nuestros alumnos más hambrientos de conocimiento. En esta entrada relataremos el problema y en la próxima daremos la solución matemática del mismo.

Primero le pondremos un nombre: El solitario de monedas, o, Fila cero. La verdad es que cualquiera de estos nombres es inventado, porque el original lo desconozco(si alguien sabe el nombre o su procedencia que lo indique; es posible que Martin Gardner esté detrás).

Comencemos con la exposición de nuestro particular solitario. Supongamos que disponemos de un número de monedas (grande o pequeño da igual) que colocaremos en filas sobre la mesa donde vamos a jugar. Al colocarlas al azar, dispondremos de una serie de filas donde veremos la cara o cruz de las mismas. Por ejemplo:

monedas1

La cara es el dibujo de nuestros reyes y la cruz muestra al quijote. El juego consiste en, eliminando todas las monedas de una fila que muestren una cara, dejar libre la fila de monedas, de ahí Fila cero. Pero debemos ejecutar una acción en la fila cada vez que eliminemos una cara. ¿Cuál?: dar la vuelta a las monedas colindantes de la misma fila. Hagamos un ejemplo que nos lo ilustre. Para una mejor visualización marquemos nuestra mesa:

monedas2

El jugar novato elegiría la 3 fila para jugar porque sólo tiene 4 monedas, y, aparentemente, será la más sencilla de vaciar.

monedas3

Empezamos con la cara de la primera columna. Al ser cara podemos eliminar la moneda, pero debemos darle la vuelta a su colindante, en este caso sólo la moneda situada en la columna 2(c2). Se nos quedaría así:

monedas4

Siguiente movimiento. Buscamos otra cara y la eliminamos, dándole la vuelta a la de al lado; por ejemplo la columna 4(c4).

monedas5

Ya vislumbramos que elijamos la que elijamos su retirada hará que la otra de la vuelta y quede cruz:

monedas6

El resultado es que no podemos eliminar la moneda restante, y, por tanto, no habremos resuelto satisfactoriamente  nuestro solitario.

Sigamos jugando, porque la fila a elegir es arbitraria, por ejemplo la última fila.

monedas7

Movamos rápido: eliminamos la c6 y damos las vueltas a sus colindantes, c5 y c7:

monedas8

La c7 queda sola, podemos eliminarla como la c5 dándole la vuelta a la c4:

monedas9

Ahora un movimiento audaz: eliminamos la c2 y cambiamos c1 y c3.

monedas10

Y el siguiente paso salta a la vista del jugador avezado: eliminamos c1 por ser cara y c4, y cambiamos c3, apareciendo una cara en c3 solita en la fila y lista para ser eliminada en el siguiente movimiento. Final. Listo. Hemos conseguido dejar la fila a cero. Terminamos nuestro solitario satisfactoriamente.

Fijémonos que, en el movimiento audaz eliminamos c2, de elegir la cara de c3 para eliminar, darían la vuelta las caras contiguas, resultando tres monedas c1, c2 y c4 donde se ve sólo la cruz, las únicas monedas presentes en la fila, y no podríamos eliminar ninguna más. Consecuencia: la fila no se podría vaciar.

Ahora le toca a la mente matemática: ¿Cuándo podremos encontrar una solución a nuestro problema? ¿Existe para cualquier fila que escojamos? ¿Tenemos un algoritmo que nos lleve a la solución? En tal caso, ¿bajo que condiciones? Como leéis, los matemáticos somos gente dada a calentarnos la cabeza. La cuestión es que algunas de las preguntas podemos darle solución matemática, y ese es el problema que os traslado. Concretemos; por ejemplo, ¿cuándo la fila elegida será factible vaciarla? Y recordad, no basta con enunciar  una conjetura, hay que probarla.

Esta entrada participa en la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Nota: La pista está en el título.

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Ene 28

El ocaso de un genio

Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg

De Christoph Bernhard Francke – /gbrown/philosophers/leibniz/BritannicaPages/Leibniz/LeibnizGif.html, Dominio público, Enlace

El 14 de noviembre de 1716 falleció en Hanover, Gottfried Wilhelm Leibniz. Geor Ludwig von Hannover, Elector de Hannover (nombre con el que se le dominaba a quien regía un Electorado, un estado dentro del Sacro Imperio Romano-Germánico durante la época tardía de la Era Moderna), rehuyó asistir a su entierro. Leibniz había servido con ahínco a tres gobernantes consecutivos de la Casa de Brunswick. Geor Ludwig fue el último descendiente de la casa en donde Leibniz ejercía como gran sabio(estamos al comienzo del afán de los gobernantes en disputarse el mecenazgo de las mentes más privilegiadas).

La razón nadaba corriente arriba del Canal de la Macha. Por los cruces de sangre, Geor Ludwin se había convertido en rey de Gran Bretaña y de Irlanda el 1 de agosto de 1714. El primer monarca de la casa Hanover de Gran Bretaña e Irlanda, que dará reyes a Inglaterra hasta 1917, cuando Jorge V decidió cambiar el nombre, para esconder su procedencia germánica.

Geor Ludwig von Hannover, designado rey bajo el nombre de Jorge I de Gran Bretaña, lidiaba con otros problemas añadidos al peso de la corona, como obtener el cariño de sus súbditos. Apenas habló inglés de manera fluida en su reinado y luchó durante los dos primeros en asentar las delicadas patas de la silla real (un auténtico juego de tronos). Para más preocupaciones, tres años antes de su nombramiento, un mindundi llamado John Keill había acusado a su adalid de la ciencia de plagiar a Newton.

La acusación brotó en varias ocasiones anteriores, con tintes de sana (y a veces no tan sana) rivalidad entre gentes de ciencia, y ante el avance fulgurante que el nuevo cálculo estaba realizando en el continente, a espaldas de la pérfida Albión. La eclosión del genio de Newton eclipsaba a cuantos estaban a su alrededor, y los sabios continentales debían reconocerlo.

Aquella acusación de John Keill, lanzada en Philosophical Transactions, la publicación bandera de la Real Sociedad de Londres, melló el ánimo de Leibniz por encima de cualquier otra acusación. Él había sido merecedor del nombramiento de miembro externo de la Sociedad. Reconocimiento otorgado desde 1673, cuando había mostrado su máquina capaz de realizar cálculos aritméticos. En aquella maravillosa década de 1670-80, cuando la manzana de Newton revotó de su cabeza a las manos de Leibniz.

Inmediatamente Leibniz requirió un disculpa y la Real Sociedad (que no de San Sebastián) respondió con una investigación. El peso de Isaac Newton, a la sazón, Presidente de la sociedad científica, decantó la balanza. Eran innecesarias las réplicas y contrarréplicas sobre la paternidad del cálculo: los dados estaban echados.

Leibniz malgastó sus últimos años, apartado de la corte de Hannover, con los vilipendios de los newtonianos, desapareciendo sin que ninguna de las prestigiosas academias, a las cuales había contribuido en su engrandecimiento, considerasen conveniente honrar su memoria. De la corte de su mecenas, el ya entonces rey Jorge I, sólo un secretario asistió al funeral; posiblemente a levantar acta.

Epílogo

Quizás se pregunten por qué de esta entrada. La misma es el resultado de una pequeña rabieta al preparar un tema para una entrada con la que participar en el carnaval. La idea primera era hablar de las ecuaciones diferencias, su historia, el leitmotiv de este blog. Al consultar la wiki sobre las ecuaciones diferenciales y leer su historia, pone:

ecd_wiki

¡Lo ven! Se fijan cuando Isaac Newton escribe la lista, por primera vez, de tres clases de ecuaciones diferenciales. ¡Pues no! Newton nunca escribió eso, porque en 1671 ya estaba muerto. Y aunque era una reedición de su tratado del Método de las fluxiones y series infinitas, publicada en 1736, cuando llevaba nueve años muerto, tampoco lo expresó así. La clave de la fulgurante expansión del cálculo no se debió a Newton; sino, como se escribe en Controversia del cálculo, al poder expresivo de la notación de Leibniz. La misma que es el punto de inicio de las ecuaciones que aparecen en la wiki, y con el mismo nombre que Leibniz nos legó: cálculo diferencial e integral.

Este post participa en la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog del IMUS.

PD: Las ecuaciones diferenciales tampoco nacen con la obra de Newton, pero eso es otra historia.

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Dic 23

Quiero media derivada

Una de las muuuuchas cosas que podemos hacer con las matemáticas es sorprender a nuestros alumnos. Quién no ha comprobado la incredulidad de un alumno cuando afirmamos que 2 · 3 =0, claro está en $\mathbb{Z}_6$. Luego tenemos que justificar que $\mathbb{Z}_6$ es el anillo de las clases residuales módulo 6, donde la multiplicación resulta aparentemente extraordinaria; tanto que 4 · 3 =0 y ¡$5^2=1$!. El álgebra del primer curso en las universidades proporciona desconciertos a los ojos de un alumno preuniversitario. Pero el cálculo no se queda atrás.

La expresión $$\frac{d^{\tfrac{1}{2}}x}{dx^{\tfrac{1}{2}}}=2\sqrt{\frac{x}{\pi}}$$ la desarrolló Sylvestre François Lacroix, en 1819, como ejemplo de un intento de definir la derivada para cualquier orden.

Otros matemáticos persiguieron el mismo propósito, dado que el planteamiento de Lacroix presentaba problemas. Por ejemplo, en 1848 el reverendo William Center observó que sabiendo que la derivada fraccionaria de una constante era cero, resultaba que
$$\frac{d^{\tfrac{1}{2}}x^0}{dx^{\tfrac{1}{2}}}=\frac{\Gamma(1)}{\Gamma(\tfrac{1}{2})}x^{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\pi x}}.$$
center
Es normal, rara vez la definición matemática surge espontáneamente: los conceptos matemáticos son el resultado de una gestación ardua y una depuración exhaustiva.

En la depuración del cálculo fraccionario participaron eminentes matemáticos como Lioville, Cayley, Riemann, Weyl o Hardy, llegando hasta H. T. Davis que en 1936 escribió The Theory of Linear Operators, un texto bibliográfico sobre la teoría de operadores y donde desarrolló el cálculo fraccionario.

La definición de la derivada fraccionaria está ligada inseparablemente a la función $\Gamma$, y puede darse para una función $f(x)$ y un valor $0<\alpha<1$ como
$$\frac{d^\alpha}{dx^{\alpha}}f(x)=\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}\,\frac {d}{dx}\int _{0}^{x}\,\frac {f(t)}{(x-t)^{\alpha}}\,dt.$$
Para otros valores, es otra historia.

Esta entrada participa en la Edición 7.9 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog de José Luis Muñoz.

Para más información puede leerse el trabajo Génesis y desarrollo del Cálculo Fraccional de José Manuel Sánchez Muñoz, Revista Pensamiento Matemático, V1, Octubre, 2011.

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Nov 28

In Memoriam

Jose Emilio Olivares y Gustavo Fortea (detrás), realizadores de pimedios en iradio

Jose Emilio Olivares y Gustavo Fortea (detrás), realizadores de pimedios en iradio

Gustavo fortea era un alumno de Ing. en Telecomunicaciónes apasionado por la pesca, afable, extrovertido y siempre con una sonrisa dispuesta. Desde que decidimos hacer el programa de radio, en podcast, pimedios, trabajó junto con su compañero Emilio en la realización de los programas. En el laboratorio de sonido se encargaba de las mezclas, grabación, realización,… todo lo necesario para que el programa saliese puntualmente las temporadas que lo emitimos. En el equipo habíamos más, pero Gustavo y José eran los mecánicos. Este fin de semana pasado Gustavo nos dejó en un accidente de tráfico. Te recordamos.

La vida de los muertos está en la memoria de los vivos.
Marco Tulio Cicerón.


Volvemos a traer este programa emitido donde apareció Gustavo interpretando a Niels Bohr en la famosa anécdota con Einstein. Que sirva como un pequeño homenaje.

“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”

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Nov 25

Entre medias

MathematicalMeans.svg

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética (A), cuadrática (Q), geométrica (G) y armónica (H) de dos números a y b.De DzenanzTrabajo propio, Dominio público, Enlace

Si preguntamos, todos conocen qué es la media aritmética:
$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$$
Insistimos y puede que comprendan cuando hablamos de la media geométrica:
$${\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$$

Menos han oído hablar de la media cuadrática:
$$x_{{{\mathrm {RMS}}}}={\sqrt {{1 \over N}\sum _{{i=1}}^{{N}}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}} \over N}}$$

Y menos aún de la media armónica:
$${\displaystyle {H}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}}$$

Existen más medias que apenas encontraríamos población, alejada de las matemáticas, que las identifiquen. Pero si tengo que quedarme con una, elijo la media heroniana:

 

“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”

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Nov 02

El radio de curvatura de Johann Bernoulli

Con la aparición del cálculo diferencial en el siglo XVII el proceso de calcular tangentes resultaba sumamente sencillo. ¿Y si buscamos que la tangente sea una circunferencia? Es decir, la circunferencia tangente en el punto dado de una curva. Isaac Newton la describió en su Principia, dando una construcción geométrica para conseguirla. Esta circunferencia se denomina  circunferencia osculatriz, que fue llamada “circulum osculans” (“círculo que besa”) por Leibniz. Se trata de una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta normal a la curva, llamado centro de curvatura, y un radio que denominamos radio de curvatura de la curva en ese punto. Será un siglo después cuando la geometría diferencial de curvas tendrá su esplendor, consiguiendo las fórmulas del triedro de Frênet-Serret que hoy conocemos. Pero a finales del XVII ya se veía la relación directa entre la longitud de arco y el radio de curvatura.

La fórmula del radio de curvatura para una curva plana, $y=f(x)$, es la dada por $$R_{c}={\frac {\left[1+\left({\frac {df}{dx}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}{\left|{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\right\vert}}$$
Esta fórmula la describió Johann Bernoulli en sus trabajos, deduciéndola de la siguiente forma.

radio_curvatura

Consideremos el radio $\overline{OD}$ y $\overline{BD}$, perpendiculares a la curva $AB$, que se unen en el centro de la circunferencia osculatriz $D$ de nuestra figura. El radio de la curvatura en $B$ es $r=\overline{BD}$, y la diferencial de la longitud de arco es $ds=\overline{BO}$. Del hecho que los triángulos $BHJ$ y el dado por los segmentos $ds$, $dx$ y $dy$, son semejantes, se sigue que
$$\frac{\overline{JH}}{\overline{BJ}}=\frac{dy}{dx}.$$
Ahora,
$$\frac{\overline{JH}}{\overline{BJ}}=\frac{\overline{AH}-x}{y}.$$ Por tanto,
$$\overline{AH}=x+y\frac{dy}{dx}.$$
Cogemos $x$ como variable independiente tal que $d^2x=0$, de donde seguimos que $\overline{GH}$, como diferencial de $\overline{AH}$, estará dado por
$$\overline{GH}=d(\overline{AH})=d\left(x+y\frac{dy}{dx}\right)=dx+\frac{(dy)^2+yd^2y}{dx}.$$
A continuación Johann Bernoulli pone de manifiesto la semejanza de los triángulos $DGH$ y $DCB$, que dan la proporción
$$\frac{\overline{BC}}{\overline{HG}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{HD}}.$$
Resulta que
$$\overline{BC}=\frac{(dx)^2+(dy)^2}{dx},\quad \overline{BD}=r,$$
y
$$\overline{HD}=r-\overline{BH}=r-\frac{y\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}{dx}.$$
Sólo nos queda sustituir en las ecuaciones anteriores para obtener
$$r=-\frac{\left[(dx)^2+(dy)^2\right]^{3/2}}{(dx)(d^2y)}=\frac{(ds)^3}{(dx)(d^2y)}.$$
Así consigue Johann Bernoulli encontrar el radio de curvatura. El paso para obtener la primera fórmula es dividir numerador y denominador por $(dx)^3$. Pero esa fórmula no la utilizó Johann Bernoulli. En aquel siglo la formulación de $y=f(x)$ todavía no se utilizaba.

Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.

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