Nov 28

In Memoriam

Jose Emilio Olivares y Gustavo Fortea (detrás), realizadores de pimedios en iradio

Jose Emilio Olivares y Gustavo Fortea (detrás), realizadores de pimedios en iradio

Gustavo fortea era un alumno de Ing. en Telecomunicaciónes apasionado por la pesca, afable, extrovertido y siempre con una sonrisa dispuesta. Desde que decidimos hacer el programa de radio, en podcast, pimedios, trabajó junto con su compañero Emilio en la realización de los programas. En el laboratorio de sonido se encargaba de las mezclas, grabación, realización,… todo lo necesario para que el programa saliese puntualmente las temporadas que lo emitimos. En el equipo habíamos más, pero Gustavo y José eran los mecánicos. Este fin de semana pasado Gustavo nos dejó en un accidente de tráfico. Te recordamos.

La vida de los muertos está en la memoria de los vivos.
Marco Tulio Cicerón.


Volvemos a traer este programa emitido donde apareció Gustavo interpretando a Niels Bohr en la famosa anécdota con Einstein. Que sirva como un pequeño homenaje.

“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”

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Nov 25

Entre medias

MathematicalMeans.svg

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética (A), cuadrática (Q), geométrica (G) y armónica (H) de dos números a y b.De DzenanzTrabajo propio, Dominio público, Enlace

Si preguntamos, todos conocen qué es la media aritmética:
$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$$
Insistimos y puede que comprendan cuando hablamos de la media geométrica:
$${\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$$

Menos han oído hablar de la media cuadrática:
$$x_{{{\mathrm {RMS}}}}={\sqrt {{1 \over N}\sum _{{i=1}}^{{N}}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}} \over N}}$$

Y menos aún de la media armónica:
$${\displaystyle {H}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}}$$

Existen más medias que apenas encontraríamos población, alejada de las matemáticas, que las identifiquen. Pero si tengo que quedarme con una, elijo la media heroniana:

 

“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”

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Nov 02

El radio de curvatura de Johann Bernoulli

Con la aparición del cálculo diferencial en el siglo XVII el proceso de calcular tangentes resultaba sumamente sencillo. ¿Y si buscamos que la tangente sea una circunferencia? Es decir, la circunferencia tangente en el punto dado de una curva. Isaac Newton la describió en su Principia, dando una construcción geométrica para conseguirla. Esta circunferencia se denomina  circunferencia osculatriz, que fue llamada “circulum osculans” (“círculo que besa”) por Leibniz. Se trata de una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta normal a la curva, llamado centro de curvatura, y un radio que denominamos radio de curvatura de la curva en ese punto. Será un siglo después cuando la geometría diferencial de curvas tendrá su esplendor, consiguiendo las fórmulas del triedro de Frênet-Serret que hoy conocemos. Pero a finales del XVII ya se veía la relación directa entre la longitud de arco y el radio de curvatura.

La fórmula del radio de curvatura para una curva plana, $y=f(x)$, es la dada por $$R_{c}={\frac {\left[1+\left({\frac {df}{dx}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}{\left|{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\right\vert}}$$
Esta fórmula la describió Johann Bernoulli en sus trabajos, deduciéndola de la siguiente forma.

radio_curvatura

Consideremos el radio $\overline{OD}$ y $\overline{BD}$, perpendiculares a la curva $AB$, que se unen en el centro de la circunferencia osculatriz $D$ de nuestra figura. El radio de la curvatura en $B$ es $r=\overline{BD}$, y la diferencial de la longitud de arco es $ds=\overline{BO}$. Del hecho que los triángulos $BHJ$ y el dado por los segmentos $ds$, $dx$ y $dy$, son semejantes, se sigue que
$$\frac{\overline{JH}}{\overline{BJ}}=\frac{dy}{dx}.$$
Ahora,
$$\frac{\overline{JH}}{\overline{BJ}}=\frac{\overline{AH}-x}{y}.$$ Por tanto,
$$\overline{AH}=x+y\frac{dy}{dx}.$$
Cogemos $x$ como variable independiente tal que $d^2x=0$, de donde seguimos que $\overline{GH}$, como diferencial de $\overline{AH}$, estará dado por
$$\overline{GH}=d(\overline{AH})=d\left(x+y\frac{dy}{dx}\right)=dx+\frac{(dy)^2+yd^2y}{dx}.$$
A continuación Johann Bernoulli pone de manifiesto la semejanza de los triángulos $DGH$ y $DCB$, que dan la proporción
$$\frac{\overline{BC}}{\overline{HG}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{HD}}.$$
Resulta que
$$\overline{BC}=\frac{(dx)^2+(dy)^2}{dx},\quad \overline{BD}=r,$$
y
$$\overline{HD}=r-\overline{BH}=r-\frac{y\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}{dx}.$$
Sólo nos queda sustituir en las ecuaciones anteriores para obtener
$$r=-\frac{\left[(dx)^2+(dy)^2\right]^{3/2}}{(dx)(d^2y)}=\frac{(ds)^3}{(dx)(d^2y)}.$$
Así consigue Johann Bernoulli encontrar el radio de curvatura. El paso para obtener la primera fórmula es dividir numerador y denominador por $(dx)^3$. Pero esa fórmula no la utilizó Johann Bernoulli. En aquel siglo la formulación de $y=f(x)$ todavía no se utilizaba.

Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.

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Oct 19

El volumen del tetraedro

Un tetraedro es una pirámide de base triangular. Como figura geométrica hablamos de un poliedro de cuatro caras triangulares. El tetraedro es un de los sólidos platónicos, cuando los triángulos son equiláteros, siendo conocido desde la Grecia clásica. Así que el volumen era conocido, siendo $$V=\frac{1}{3}hA,$$ donde $h$ es la altura y $A$ el área de la base.

Triangle with notations 2.svg


De David Weisman (Dweisman) – En-Wiki. Original description is/was here, Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2596911

Herón de Alejandría(siglo I d. C.) había encontrado una fórmula para determinar el área de un triángulo:
$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

donde $s=\frac{a+b+c}{2}$, el semiperímetro del triángulo. Esta fórmula la probó en su libro Metrica, escrito sobre el 60 de nuestra era. Es probable que Arquímedes la conociera y Heron simplemente la recogió.

Siglos después Tartaglia, a mediados del siglo XVI, extendería la fórmula de Herón (ver Heron-type formula for the volume of a tetrahedron)

Fue en el siglo de las luces cuando Lagrange encontró un sencillo modo de calcular el volumen, atendiendo a las coordenadas, que hoy mantenemos. En su artículo Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires, publicado en 1775, propone (las fórmulas hoy adaptadas)  que el área de un triángulo es

$$A = \frac{1}{2!}\, \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2  & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix},$$

y el volumen de un tetraedro

$$V = \frac{1}{3!}\, \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix}$$

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Oct 11

Cardano y la suspensión cardán

Retrato de Gerolamo Cardano

No sólo de matemáticas vivían los matemáticos del siglo XVI. Gerolamo Cardano era un hombre del renacimiento. Médico, matemático, astrólogo y filósofo, entre otras ocupaciones, además de inventor y estudioso. Lo dicho, un sabio renacentista. Su padre, Fazio Cardano, fue un amigo de Leonardo Da Vinci, lo que quizás contribuyó al carácter polifacético de este investigador. Una de sus investigaciones fue la suspensión cardán, denominada así en su honor.

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Oct 04

El calendario gregoriano, Google, Luigi Lilio y Pedro Chacón

Hoy Google nos recuerda la adopción del calendario gregoriano el 4 de cotubre de 1582; el 434º aniversario. elmundo.com nos cuenta aquel suceso, Calendario gregoriano: Google recuerda que hace 434 años que se implantó, y elpais.com la curiosidad que provocó su implantación, El calendario gregoriano y los diez días que nunca existieron.

El proceso de reforma del calendario lo impulsó el Papa Gregorio XIII (de ahí el nombre). En 2012 abc.es nos informó sobre un grupo de científicos de la Universidad de Salamanca que elaboró un informe en 1515, germen de lo que posteriormente sería el nuevo calendario gregoriano(Un libro sitúa en Salamanca los orígenes del actual calendario). Sin embargo, el artífice científico de la supervisión de los cálculos fue el jesuita alemán, matemático y astrónomo, Christopher Clavius, considerado el Euclides del siglo XVI. La reforma del calendario se basó originalmente en los trabajos del Luigi Lilio que, aunque murió antes de ver considerado su trabajo, su hermano remitió a la Comisión encargada de la reforma. En esta comisión estaba un matemático español, Pedro Chacón, profesor en la Universidad de Salamanca. Pedro Chacón fue el editor del compendio sobre la reforma del calendario que había dejado manuscrito el italiano Luigi Lilio, que fue enviado después para su consulta por el papa Gregorio XIII a los monarcas y a varias universidades de la cristiandad entre 1577 y 1578, y que sería la base de la reforma del calendario gregoriano (1582)[, 1]. Desgraciadamente Pedro Chacón también murió antes de la culminación de la reforma del calendario.

El mérito de trabajo sólo pervive en las figuras del Papa Gregorio XIII y el gran astrónomo Christopher Clavius; sin embargo, los trabajos de los matemáticos Luigi Lilio y Pedro Chacón también merecen un notable recuerdo en la contribución a la reforma.

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Sep 30

Georg Cantor y la apeirofobia

Esta entrada está inspirada en la lectura de la entrada de Marta Macho, Apeirofobia, en el blog Cuaderno de Cultura Científica.

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

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Sep 28

Los Bernoulli andan a la gresca

Decía Wittgenstein que “la medida del genio es el carácter (aun cuando el carácter en sí no constituye el genio). El genio no es ‘talento y carácter’, sino carácter que se manifiesta en la forma de un talento especial”[1]. Wittgenstein no utiliza la palabra carácter en la afección del estado de ánimo, sinónimo de firmeza, energía o genio; sino más bien nos habla del conjunto de cualidades psíquicas y afectivas que condicionan la conducta de cada individuo. La disquisición de Wittgenstein se realiza entorno al análisis entre la relación de genialidad y talento; el genio y el talentoso.

Hagamos la, normalmente fallida, traslación a un ambiente matemático; por ejemplo, el álgebra, un ideal es talentoso pero un ideal máximal es un genio. O en el campo de análisis real, todo conjunto de talentosos tiene un supremo, el genio. El problema reside en que máximal o supremo sólo hay uno. Por tanto, en la riña de dos genios sólo puede quedar uno.

La familia Bernoulli es la clara evidencia que el genio o el talento se hereda. Desde que los dos hermanos Jakob y Johann iniciaran su carrera en las ciencias, en el siglo XVII, tres generaciones de matemáticos y/o físicos han firmado con el apellido Bernoulli en grandes contribuciones a la ciencia. Pero eso no quita que entre ellos la fraternidad reinase.

Cuando comenzó Jakob Bernoulli, de la mano de Leibniz, a destacar pronto se vio que era una matemático talentoso; pero su hermano Johann no le iba a la zaga. En 1686, Leibniz propone la determinación de la curva descrita por un móvil que desciende con velocidad constante; es decir, la isócrona(el lector avezado en estos temas la reconocerá rápidamente, pues coincide con la tautócrona y, como a continuación diremos, con la braquistrócona). Jakob publica la solución en 1690, en Acta Eruditorum, incluyendo un problema que había encontrado, y pensaba, de naturaleza similar. Jakob propone encontrar la forma que adopta una cuerda suspendida de dos poste, siendo esta flexible y homogénea y sometida sólo a la fuerza de su propio peso. El reto alentó al hermano Johann que, con la ayuda del “nuevo cálculo” de Leibniz, utilizado por Jakob en la solución anterior, resolvió el problema. El resultado fue un chute de vanidad hasta tal punto que “se ufanaba de haber resuelto un problema para el que su hermano Jakob se había mostrado incapaz”[2]. Tal fue el subidón que decidió retar a la comunidad de matemáticos, proponiendo el reto a través del Acta eruditorum de junio de 1696. Este es el conocido problema de la braquístocrona (Miguel Ángel Morales nos lo recuerda en su reciente entrada en El Aleph, Y el premio al camino más corto es para…). Al parecer el ego de Jakob se sintió afectado, resolvió el problema mediante “un método capaz de ser generalizado y que contenía en ciernes lo esencial del Cálculo de variaciones”[2]. Es más, el trabajo lo titula: Resolución del problema de mi hermano, a quien yo a mi vez planteo otro. Como dice Gutiérrez, se había creado una rivalidad entre los dos, tan fructífera en el terreno científico como penosa en el ámbito personal. El problema pueden verlo en la referencia, lo que aquí nos trae fue la consecuencia.

Sin ánimo de parecer una entrada de prensa amarilla, el propósito de la misma era discurrir sobre el genio, su genialidad y el carácter que presumimos de ellos. Ambos hermanos eran talentosos y, probablemente, llegaron a genios, en el sentido de Wittgenstein; pero la consideración que uno tenía del otro parece enmarcas más dentro de las peculiaridades que vemos en algunos genios: ellos son los ideales maximales.

Johann aceptó el reto y resolvió el problema, comentándole a Leibniz, mentor de ambos, que sólo necesitó unos pocos minutos (de Newton se dice que encontró la solución al reto de la braquístocróna la misma noche que se lo comunicaron). No había concluido 1696 y las espadas estaban en todo lo alto. Con tensa calma Jakob le preguntó a su hermano si estaba seguro de la solución propuesta. Repetidas veces Johann aseguró que sí. Y Jakob se dio el gustazo de rebatirlo con una crítica demoledora.

Cualquiera diría que eso no se le hace a un hermano, pero es que a veces… La genialidad de Johann es posible que superase a la de su hermano, pero en el carácter seguro. Por aquellos años, la Academia de París proponía concursos que buscaban resolver problemas actuales.  Si el recuerdo no me traiciona, corría el año 1725 cuando Johann y Daniel Bernoulli, padre e hijo, se presentaron al concurso sin que el otro lo supiese. El problema trataba sobre los relojes de arena y las clepsidras en un viaje marino. Ambos ganaron ex aequo, con un planteamiento similar (normal, ya que Daniel había aprendido hidrodinámica de su padre). Sin embargo, a papa no le sentó bien. Resultado: “Vete, vete me has hecho daño… Vete, vete lejos de aquí“(Los Amaya).

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

[1] Cultura contra civilización: en torno a Wittgenstein, Jacobo Muñoz

[2] Jakob Bernoulli: La geometría y el nuevo cálculo, Santiago Gutiérrez, SUMA, 51, Febrero 2006, pp. 89-92.

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Sep 21

¿Calculamos $\pi$?

Desde la antigüedad la fascinación por calcular las cifras decimales de $\pi$ motivó a los matemáticos. Arquímedes, Ptolomeo, Liu Hui, Zu Chongzhi, al-Kashi, Viète, Leibniz, Newton, … y un largo etcétera pusieron su empeño en encontrar procedimientos que abreviasen el cómputo de $\pi$, o los obtuviesen con mayor precisión. La fórmula más precisa que se consiguió antes de la eclosión de los computadores, la descubrió el genio indio Srinivasa Ramanujan(Ramanujan y el número pi):
$${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$$

que obtiene 8 decimales exactos de $\pi$ en cada iteración. Pero estamos en la era de los computadores, ¿cómo lo hacemos ahora?

En 1984, los hermanos Jonathan y Peter Borwein   publican una iteración de convergencia de orden  4: dados

$${\begin{aligned}a_{0}&=2{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\\y_{0}&={\sqrt {2}}-1\end{aligned}}$$

entonces,

$${\begin{aligned}y_{k+1}&={\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1/4}}}\\a_{k+1}&=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})\end{aligned}}$$

La sucesión $a_k$ converge a $1/\pi$. Los dos hermanos habían encontrado alguna más, con orden de convergencia mayores. En 1986, David Harold Bailey utilizó una de ellas para desarrollar un programa de cálculo de $\pi$, escrito para la NASA, como test para detectar problemas en la Cray-2[1].

En 1995 Peter Borwein y Simon Plouffe encuentran una forma de calcular dígitos en binario del logaritmo de 2, empezando en una cifra arbitraria. Plouffe se da cuenta que tiene un filón y produce la fórmula:
$$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)\right]$$
El estudio de esta fórmula y su aplicación para calcular $\pi$ lo publican David H. Bailey, Peter Borwein, and Simon Plouffe en 1997 “The BBP Algorithm for Pi” (PDF).

Con esta fórmula, uno puede derivar un algoritmo que compute dígitos de $\pi$ en una posición arbitraria y, además, en base hexadecimal. En 1997, Frabrice  Bellard de INRIA, calculó 152 dígitos binarios de $\pi$ empezando en la billonésima posición digital binaria. El cálculo tardó 12 días en 20 estaciones de trabajo que trabajan en paralelo a través de Internet. Repetiría la proeza en último día del año 2009, con 9 Desktop PCs,  Core i7 CPU a 2.93 GHz, durante 131 días, para obtener más de $2\times 10^{12}$ decimales.

En los años 80 del pasado siglo, Yasumasa Kanada también trabajaba en el cálculo de decimales de $\pi$, utilizando HITAC S-820/80, con procesador vectorial, llegando a obtener 1.073.740.799 decimales. Pero los hermanos Chudnovsky no le iban a la zaga, utilizando un IBM 3090, y la fórmula:

$${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(640320^{3})^{k+1/2}}}.\!
$$

El algoritmo dado por los hermanos Chudnovsky se usó en diciembre de 2013 para alcanzar los 12.1 billiones de dígitos[2].

Así que Kanada, viendo como estaban los competidores, se escurrió el cerebelo y desarrolló Super PI, un programa (ejecutable en Windows) que permitía calcular un número determinado de decimales a partir de uno dado; es decir, el mismo sistema que se le ocurrió a Plouffe. Super PI utiliza el algoritmo de Gauss-Legendre:

Primero inicializamos: $a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac  {1}{{\sqrt  {2}}}}\qquad t_{0}={\frac  {1}{4}}\qquad p_{0}=1.$

Segundo, iteramos hasta que la diferencia de $a_n$ y $b_n$ sea de la precisión deseada:

$${\begin{aligned}a_{{n+1}}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{{n+1}}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{{n+1}}&=t_{n}-p_{n}(a_{{n}}-a_{{n+1}})^{2},\\p_{{n+1}}&=2p_{n}.\end{aligned}}$$

Por último aproximamos

$$\pi \approx {\frac  {(a_{{n+1}}+b_{{n+1}})^{2}}{4t_{{n+1}}}}.$$

Con este algoritmo Kanada batiría el récord en 2002, 1.241.100.000.000 dígitos[3]

Super Pi se vio pronto superado por el programa y-cruncher de Alexander Yee, con el que Shigeru Kondo comenzó a desbordar récord, desde agosto de 2010, hasta alcanzar los 12.1 billones de digitos – Diciembre de 2013. En la actualidad y-cruncher mantiene el récord, obtenido en octubre de 2014, con 13.3 billones de dígitos. El programa utiliza la fórmula de los hermanos Chudnovsky. El último récord se consiguió con 2 x Xeon E5-4650L @ 2.6 GHz, 192 GB DDR3 @ 1333 MHz y 24 x 4 TB + 30 x 3 TB.

Como veis, utilizando una fórmula y paralelizando sus desarrollos podemos encontrar las cifras de $\pi$ que deseemos, sólo es cuestión de tiempo. Por ejemplo, en A very simple simulation program: Parallel computation of PI, encontráis un programa sencillo que se basa en una aproximación por Simpson de la integral

$$\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx. $$

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Sep 16

El método de exhausción

La propiedad arquimediana de los números reales no dice que:

Si $y$ es un número real arbitrario y $x > 0$ entonces existe un entero positivo $n$ tal que $nx>y$.

Esta propiedad surge del lema con el que trabajaba Arquímedes: dadas dos magnitudes que tengan razón(es decir, que sean del mismo tipo y ninguna de las dos sea cero), entonces se puede encontrar un múltiplo de cualquiera de ellas que exceda a la otra[1]. Arquímedes la recuperó de Eudoxo de Cnido(Siglo IV a.C.), quien lo utilizó para demostrar el volumen de ciertas sólidos ya intuidos por Demócrito.

El método que utilizó, hoy se de nomina método de exhausción y lo podemos considerar el antecedente del cálculo integral.

El método consiste en aproximar un resultado buscado con otros conocidos. Así Antifonte (430 a. C.) determinó el área de un círculo(*), inscribiendo en él triángulos cada vez más pequeños, hasta completar su área.

Arquímedes lo utilizó para calcular la longitud de una circunferencia(lo que conlleva el calculo de $\pi$). Inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares en una circunferencia de radio unitario, podemos hallar el área del círculo, la longitud de la circunferencia y el número $\pi$ con tantas cifras decimales como queramos(aquí tenemos cómo lo hizo El algoritmo de Arquímedes para calcular Pi).

El nombre de método de exhausción no lo utilizaron los griegos, se debe al matemático del siglo XVII Grégoire de Saint-Vincent(1584-1667)[1]

  • [1] Carl B. Boyer. Historia de la matemática.

(*)[Actualización]Como hemos dicho, Arquímedes atribuyó el método a Eudoxo, aunque parece que este se limitó a formalizar y sistematizar el procedimiento de Antifonte. Más tarde, Euclides, le daría rigurosidad trantándolo en la Proposición 1 del Libro X en sus Elementos. [Antiphon the Sophist]

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