ene 27

Función Z: buscando primos

By Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866. Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859 [Public domain or Public domain], via Wikimedia Commons

Hoy en día a todos conocemos (o, al menos, nos suena) la función zeta de Riemann, $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s},$$ para valores complejos con parte real mayor que uno. Posiblemente la hipótesis de Riemann sobre esta función sea el problema del siglo y quien lo resuelva pasará a los anales de las matemáticas. Deseo contaros es un poco de la historia que  condujo hacía Bernhard Riemann.

En 1737 Euler  (el maestro de todos los matemáticos, como lo llamaría William Dunham) probó la existencia de infinitos primos de una forma muy peculiar y original $$\sum_{n=1}^\infty \, \frac{1}{n^s}  = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}(1), $$ para $s>1$.

Para ser precisos Euler concluyó que
$$\sum_{n=1}^\infty \, \frac{1}{n} = \prod_{p} \frac{1}{1-\frac{1}{p}}(2), $$
que equivalía a decir que el conjunto de números primos era infinito, pues sólo de esa forma el producto de la derecha sería divergente, de igual modo que la serie armónica de la izquierda. En el siglo XVIII de Euler no se las tenían con las precisiones y pulcritud demostrativa que Cauchy impondría en el siguiente siglo. Por ese motivo el resultado esperó hasta que Leopold Kronecker lo justificase con rigurosidad cauchiana en 1876, interpretando el resultado (2) como haciendo tender $s\to 1^+$ en $(1)$. No por ello las matemáticas dejarían de progresar. Este hallazgo sería el punto de partida para lo que se conocerá como teoría analítica de números.

Curiosamente el resultado cumbre de la teoría analítica de números, surge poco tiempo después del trabajo de Euler, una vez más de la mano de otro genio. Con sólo 14 años Gauss conjetura que
$$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\pi(\alpha)\ln\alpha}{\alpha}=1;$$
es decir, el número de primos que no exceden de $\alpha$ para valores cada vez más grandes de $\alpha$ se aproxima al cociente $\frac{\alpha}{\ln\alpha}$.

Gauss no lo probó, tampoco Adrien-Marie Legendre que lo reformuló en 1798. Tendríamos que esperarnos a 1896 para que lo hicieran, de forma independiente, Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin, ambas demostraciones basadas en el trabajo de Riemann sobre la función z.

Volvamos a 1837 cuando, otro de los grandes impulsores de la teoría analítica de números, entra en escena Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Dirichlet desea probar la conjetura de Gauss y utiliza el trabajo de Euler para crear primero la serie de Dirichlet y después las funciones L de Dirichlet: $$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s},$$ donde $\chi$ es un carácter de Dirichlet y $s$ una variable compleja cuya componente real es mayor que 1. Estudiando esta serie Dirichlet prueba su célebre teorema relativo a los primos existentes en una progresión aritmética.

Y aquí llegamos a 1859 cuando Riemann publica Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, su ensayo Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada. Riemann comienza el artículo diciendo:

No creo expresar mejor mi agradecimiento por la distinción que la Academia me ha hecho al nombrarme como uno de sus correspondientes que haciendo uso el privilegio que conlleva dicho nombramiento para comunicarle una investigación sobre la densidad de los números primos. Una materia que a causa del interés que Gauss y Dirichlet le han dedicado durante muchos años no parece indigna de una tal comunicación. Para esta investigación mi punto de salida es la observación de Euler…(*)

Este ensayo contendrá la archiconocida hipótesis de Riemann.

Esta entrada participa en la Edición 5.X: Sofia Kovalévskaya del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews

(*) José Luis Muñoz, Rieman. Una visión nueva de la geometría. Nivola.

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ene 23

Halley y los 40 chelines

Edmund Halley.gif

Edmund Halley” by Thomas Murray – uploaded from http://www.phys.uu.nl/~vgent/astrology/newton.htm – Transferred from en.wikipedia – Original uploader was Lumos3. Licensed under Public Domain via Wikimedia Commons

Edmond Halley fue un gran astrónomo, además de matemático y físico. Debemos recordad que gracias a su empeño Isaac Newton publicó Philosophiæ naturalis principia mathematica. , considerada una de las obras científicas cumbre de la historia. Sin el esfuerzo de Halley en convencer a Newton para que lo escribiera y el dinero que puso para su publicación, es muy probable que esta obra nunca se hubiese publicado.

Es conocido que el encuentro de Edmund Halley con Newton se debió a una apuesta por encontrar la justificación de lo que su momento era una hipótesis: la fuerza gravitacional que mantenía a los planetas en sus órbitas era inversamente proporcional quizá al cuadrado de las distancia al Sol.

En 1673 Huygens había probado, de manera simplista, que si $T$ es el período, entonces la aceleración de un planeta, que se mueve con velocidad constante $v$ en una órbita circular de radio $r$, viene dada por $$a=\frac{(2\pi r/T)^2}{r}.$$

Utilizando  la tercera ley de Kepler, $T^2$ es proporcional a $r^3$, y por tanto $\frac{r^3}{T^2}$ es constante, y $a$ resulta inversamente proporcional a $r^2$. Suponiendo que la fuerza atractiva F(que en aquellos momentos todavía no esta muy claro lo de gravedad) es proporcional a la aceleración, se obtiene que $F$ es inversamente proporcional a $r^2$. Este planteamiento parece coherente, si no fuera porque contradecía las otras dos leyes de Kepler.

Así que, estando en esas, uno de los hombres de ciencia más adinerados de la Inglaterra de la Restauración, sir Christopher Wren, charlaba con dos amigos, discípulos, incluso colegas (Hooke, participó con él en la reconstrucción de Londres tras el famoso gran incendio de 1666), Edmund Halley y Robert Hooke. Halley era un recién llegado a la alta ciencia de la que Wren y Hooke disfrutaban de reconocida fama, ambos participaron en la creación de la primera sociedad científica de la historia, la Royal Society de Londres. En esa charla arrancó, sin ellos saberlo, el descubrimiento más importante de… (dejemos que el lector coloque los adjetivos y sustantivos que estime apropiados) Os pondré las palabras de Halley sobre como surgió la búsqueda de la Ley de gravitación.

Me encontré con Sir Christopher Wren y Mr. Hooke, y conversando sobre ello, Mr. Hooke afirmó que todas las leyes de los movimientos celestes debían fundarse sobre ese principio, y que él mismo lo había hecho. Yo confesé el fracaso de mis intentos; y Sir Christopher, para animar la investigación, dijo que nos daría dos meses de plazo para que Mr. Hooke o yo le expusiéramos una demostración convincente de ese hecho y, aparte del honor, aquel de nosotros que lo lograra recibiría un obsequio de 40 chelines. Mr Hooke dijo que ya la tenía, pero que la ocultaría durante algún tiempo, con el fin de que los demás, tras probar y fracasar, la apreciaran en su justo valor cuando la hiciera pública.(*)

Halley que no cejó en su intento por demostrarlo, pero sus matemáticas no estaban a la altura. Le aconsejaron que fuera a consultarle al profesor de la Cátedra Lucasina de la Universidad de Cambridge, un huraño profesor muy docto en matemáticas. En efecto, ese profesor era Isaac Newton y del primer encuentro que tuvieron surgió una de las grandes anécdotas de la historia de la ciencia.

Halley le comentó a Newton sus dificultades para probar la hipótesis, a lo que Newton le contestó que él ya lo había resuelto, pero que la demostración la había dejado olvidada en algún cajón. No era inmodestia, meses más tarde le enviaría una cuartilla a Halley con la demostración: ese fue el principio de una fructífera relación para la ciencia.

Epílogo

Los 40 chelines no se los llevó nadie (hay que decir que en aquellos años era una pequeña fortuna). Halley consiguió la demostración más tarde de la fecha para concluir el reto. Hooke no presentó la suya (si acaso la tenía). Tiempo después tendría una trifulca con Newton sobre la paternidad de la prueba. Hooke nunca presentó pruebas claras que atestiguaran su paternidad. Y Newton…, Newton nunca se prestaba para nimiedades.

Esta entrada participa en la Edición 5.X: Sofia Kovalévskaya del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews

Esta entrada participa en la Edición LIX del Carnaval de la Física cuyo blog anfitrión es El Mundo de las Ideas.

(*) George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas.

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ene 22

Kurtosis se escribe con K

KurtosisEn teoría de la probabilidad y estadística, la Kurtosis es una medida de la forma. Esta medida la introdujo Karl Pearson en 1905, hoy la traemos en otra de nuestras píldoras.

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ene 16

La bruja de Agnesi

brujaagnesisEl 8 de enero de 1718 murio Maria Gaetana Agnesi, una eminete matemática que perdura en el saber popular por un ejemplo que lleva su nombre. La bruja de Agnesi es una curva que utilizó como ejemplo Maria Agnesi y cuyo uso posterior por parte del inglés Colson llevó a equivocar el nombre original aversiera de Agnesis por bruja de Agnesi.

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ene 09

Fuzzy clustering

inmemorian_antonioEl agrupamiento difuso (en inglés, fuzzy clustering) es una clase de algoritmos de clasificación que trata de minimizar una función objetivo, donde se pondera, la distancia cada elemento de la muestra a los centro de los diferentes grupos propuestos, mediante un grado de pertenencia difuso a los grupos estimados. Antonio Flores Sintas desarrolló, en 1999, un procedimiento que mejoraba la función objetivo y determinaba los grupos idóneos.

Su gran trabajo investigador no se ha valorado en su justa medida. Los que tuvimos la suerte de trabajar con él si conocimos su empeño docente y la gran actividad académica que desarrolló. Adiós amigo.

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ene 08

Kile para Windows

kileKile es un editor que nos es muy útil para generar documentos con LaTeX. En Linux no necesitamos hacer prácticamente nada para usarlo, salvo instalar y ya está. Pero en Windows es un proceso diferente. Veamos cómo hacemos una instalación para que funcione en Windows 7 perfectamente.

La intalación que traigo no tiene porque ser la mejor, ni la más eficaz: es la que me ha funcionado.

Hace tiempo preparé una entrada, pero lo cierto es que cada vez que tengo que reinstalar el programa en una máquina nueva, el nuevo sistema operativo o la caida de la página donde estaba el programa u otros problemas, hace que tenga que estudiar de nuevo su instalación. Así que he decidido dejarlo apuntado paso a paso.

Necesitamos descargarnos los siguientes programas:

  • KDE Installer for Windows
  • MiKTeX
  • Ghostscript

KDE Installer for Windows es un instalador del entorno KDE4 para Windows, es el que uso en Linux y me encanta. No lo necesitamos pero nos viene muy cómodo su utilización. Hasta hoy la última versión se puede descargar aquí.

600px-Installer-001Seguimos las instruciones como nos indican, hasta llegar a la elección de los paquetes:

KDE_kile

Elegimos kile, además podéis elegir el visor okular, cualquiera orto visor para PDF sirve, pero este visualiza también DVI y está preparado para iniciarse con kile directamente. Además instalo kbibtex (opcional, solo para los que utilices referencias). Una vex terminada la instalación seguimos con los siguientes paquetes.

MiKTeX es una implementación de TeX/LaTeX . Descargáis el instalador que encontraréis en el enlace anterior y lo instaláis.

basic-miktex-filecopy

Esta instlación es rápida y sencilla. Terminada instalamos Ghostscript.

Ghostscript es un interprete de PostScript para PDF. Ayuda a LaTeX para transformar los DVI en PDF, o directamente en PDF. No tengo claro si en las últimas versiones es necesario, pero no molesta. Como en el caso anterior os descargáis Ghostscript 9.15 y a ejecutar.

Una vez instalados todos los programas abrimos kile y nos vamos a Settings->System Check – Kile

kile_systemcheck

Continuamos y chequeamos que todo está en verde:

systemCheck

Terminamos y todo está listo para trabajar. Sencillo, ¿verdad? Espero que os sirva.

 

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dic 30

Viète y la suma de senos

vieta0El pasado día vimos como François Viète realizó la demostración del teorema de Pitágoras utilizando la circunferencia. Hoy vamos a traer otra de sus famosas fórmulas, la suma de dos senos:

$$\sin x +\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Lo podríamos resolver de forma sencilla, con los conocimientos que poseemos; pero volvamos al siglo XVI para ver cómo lo consiguió Viète. Una vez más la clave nos la proporciona la imagen que tenemos.

Si recordamos que la longitud de un arco de circunferencia es proporcional al ángulo y el radio, para nuestra circunferencia de la imagen, de radio unidad, $x$ representa tanto la longitud de arco como el ángulo de esta imagen

vieta1

Del mismo modo $y$ nos representa el ángulo del arco

vieta2

Lo que Viète pretendía hacer era calcular $$\sin x +\sin y.$$ Pero estos senos se corresponde con los segmentos dados por la siguiente imagen

vieta3

Es decir, $$\sin x +\sin y=\overline{AB}+\overline{CD},$$ o lo que es lo mismo

vieta4$$\sin x +\sin y=\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AE}.$$

Ahora, si consideramos el triángulo  $\widehat{EAC}$

vieta5

resulta $\overline{AE}=\overline{AC}\cos \angle EAC$. Por tanto

$$\sin x +\sin y=\overline{AC}\cos \angle EAC.$$

Por último tenemos el triángulo $\widehat{AOC}$, que es isósceles y su ángulo  $\angle AOC \equiv x+y$.

vieta6

Como la bisectriz de $\angle AOC$ divide el segmento $\overline{AC}$ en dos partes iguales, resultará que $$\sin \frac{\angle AOC}{2}=\frac{1}{2}\overline{AC},$$ y, por consiguiente $$\sin x +\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \angle EAC.$$

Sólo nos resta deducir que $\cos \angle EAC=\cos\frac{x-y}{2}$, que lo dejaremos como ejercicio para el lector.

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dic 23

Bézout y Bachet: dos bes para un teorema

bezout En la asignatura de Matemática Discreta, introduzco a los alumnos en la Teoría de números (como preludio de un futuro estudio de la criptografía). Lo primero que vemos es la divisibilidad en los números enteros, y, con ella, el resultado que denomino Teorema de Bézout, conocido como identidad de Bézout. Como ejemplo le propongo la entrada de gaussianos, Cómo resolver ecuaciones diofánticas, donde se ejemplifica a la perfección su uso en la solución de ecuaciones diofánticas.

bachet1612La identidad de Bézout no se debe a Étienne Bézout(1730-1783), si no a Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638). El francés Gaspard Bachet fue, entre otras cosas, matemático. Además publicó un trabajo que lo coloca entre los predecesores más antiguos de Martin Gardner. En esta obra de 1612, Problèmes plaisans et delectables qui se font par les nombres, escribe una colección de problemas que hoy en día podríamos incluirla dentro de las matemáticas recreativas. Uno de los más famosos es el Problema de las pesas.

bachetDe este libro se realizaría una edición en 1624. En esta edición aparecería un problema que implica la ecuación $$ax+by=1,$$ donde el máximo común divisor de $a$ y $b$ es 1. Bachet muestra cómo encontrar la solución entera.

Siendo curioso este libro y con ejemplos muy útiles, en el incipiente renacimiento de la aritmética griega que se estaba viviendo en aquel siglo, a Bachet se le recordará por su traducción de la gran obra de Diofanto de Alejandría. En 1621 aparecería Arithmetica de Diofanto que inspirará a Fermat.

En 1758 Étienne Bézout fue elegido miembro de la Academia de las Ciencias Francesa y, en los años siguientes, conseguiría prestigio y puestos donde se valoraba sus conocimientos de matemáticas. Como profesor en el cuerpo de artillería, redactó para sus alumnos Cours de mathématiques à l’usage de la marine et de l’artillerie. Seis volúmenes que aparecieron entre 1770 y 1782, que llegarán a ser textos de referencia para los futuros alumnos de la École Polytechnique.

Nos interesa, principalmente, un trabajo que publicó en 1779, Théorie générale des équations algébraiques, donde generaliza el resultado de Bachet y que, desde entonces, es el que acostumbramos a enseñar.

En Éléments d’histoire des mathématiques, Bourbaki, al resultado que hoy traemos, le pone el nombre de « théorème de Bézout ».  Hoy lo podemos encontrar en Wikipedia como théorème de Bachet-Bézout.

Esta entrada participa en la Edición 5.9 Emma Castelnuovo del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

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dic 19

La demostración más sencilla del teorema de Pitágoras

pitagoras_vietaA muchos matemáticos, o aficionados por las matemáticas, les dio, y les sigue dando, por buscar demostraciones del teorema Pitágoras. En la wiki encontramos diversas demostraciones, y gaussianos nos ofrece un buen surtido (
Lo que se puede hacer con GeoGebra (IX): Demostración visual del teorema de Pitágoras,La demostración del presidente,Demostración “simétrica” del teorema de Pitagoras,
Demostrando el teorema de Pitágoras con la fórmula de Herón, Sencilla demostración del teorema de Pitágoras, entre otras)

Aquí sugeriremos una más: la demostración que nos proporcionó François Viète (o como más lo conocemos con su nombre españolizado, Francisco Vieta)

Veamos cómo lo hace:

pitagoras_vietaFijándonos en la figura observamos que $$\overline{DC}=\overline{DA}+\overline{AC}$$ y $$\overline{DA}=\overline{AB},$$ pues tanto $\overline{DA}$ como $\overline{AB}$ son radios de la circunferencia. Así $$\quad \quad \overline{DC}=\overline{AB}+\overline{AC}\quad \quad (1).$$

Veamos ahora que $$\overline{CE}=\overline{AE}-\overline{AC},$$ y, como $\overline{AE}$ es el radio, $$\overline{AE}=\overline{AB}.$$ Por tanto, $$\quad \quad \overline{CE}=\overline{AB}-\overline{AC}\quad \quad (2).$$pitagoras_vieta

El producto $$\overline{DC}\cdot\overline{CE}$$ puede obtenerse de (1) y (2), siendo $$\overline{DC}\cdot\overline{CE}=(\overline{AB}+\overline{AC})(\overline{AB}-\overline{AC})=\overline{AB}^2-\overline{AC}^2\quad (3)$$

Ahora sólo nos resta aplicar el resultado de Euclides III.35 que nos relaciona las longitudes de segmentos de rectas que pasan por un punto y cortan a una circunferencia fija. Como $\overline{CB}$ es perpendicular a $\overline{DE}$, Euclides III.35 nos dice que  $$\overline{DC}\cdot\overline{CE}=\overline{CB}^2\quad (4)$$

pitagoras_vietaYa tenemos lo que buscábamos, de (3) y (4) resulta $$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{CB}^2.$$

Es muy probable que Vieta dedujese este resultado cuando estudiaba los trabajos de Pappus, en 1589 Federico Commandino tradujo sus obras en un libro titulado Mathematicae Collectiones. E Igualmente de probable que este libro inspirase a Vieta como la Arithmetica de Diofanto inspiraría a Fermat unos años después.  En el siglo XX, Hardy utilizaría la misma idea de Vieta para encontrar otra demostración similar.

Seguro que hemos exagerado con el titular, algunos pueden pensar que no es la demostración más sencilla. Lo dejaremos que es la demostración más sencilla que hasta ahora he visto; aunque, reconozco, que me quedan muchas por ver.
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