may 01

“Edición 6.4: pseudoprimos” del Carnaval de Matemáticas (20-27 de mayo)

carnaval-de-matem64jpg De nuevo pimedios se siente agradecido de albergar una nueva edición del Carnaval de Matemáticas. En esta ocasión la Edición 6.4 se dedica a los pseudoprimos.

La fascinación por los números primos ha cautivado a  los matemáticos desde los principios de la matemática. Euclides fue el primero en buscar propiedades, pero el gran salto se produjo tras la reaparición de la obra Arithmetica de Diofanto de Alejandría. Esta obra serviría de inspiración para el gran gestor de la teoría de números actual: Pierre de Fermat.

Este jurista francés y aficionado a las matemáticas, encontró en 1636 una propiedad que cumplían los números primos(Teorema pequeño de Fermat):

Si $p$ es primo y no divide a un entero $a$>0 entonces divide a  $a^p-a$

Este resultado lleva implícito una prueba para determinar que un número no es primo: si $n$ y $a$ son coprimos y  $a^{p-1}\not\equiv 1(mod\, n) $, entonces $n$ no pude ser primo. Pero, ¿qué ocurre si $a^{p-1}\equiv 1(mod\, n) $?, ¿podemos afirmar que $n$ es primo? La respuesta es que no. Sólo existe un resultado así de simple que nos ofrezca una condición de primalidad: el Teorema de Wilson.

Aún así el Teorema pequeño de Fermat nos ofrece una posibilidad más sencilla de estudiar la primalidad que el Teorema de Wilson. Si un número cumple el teorema es un buen candidato a ser primo. De modo que podemos utilizar el teorema como un test para determinar los candidatos a ser primos. Si además utilizamos como $a$, en el teorema, los números primos menores, será más fuerte y constituiremos el test de primalidad de Fermat.  A estos candidatos que superen el test se les denomina pseudoprimos o pseudoprimos de Fermat. Formalmente, los pseudoprimos son aquellos números que no siendo primos, verifican el Teorema pequeño de Fermat de base b. El programa de cifrado PGP utiliza este test para comprobar si los grandes números aleatorios que elige son primos.

Si cambiamos la base a la que sometemos un número $n$ y sigue superando el test, la probabilidad de que sea primo aumenta considerablemente. En 1912 Robert Daniel Carmichael probó que existen pseudoprimos que verifican el test para cualquier base. Estos pseudoprimos especiales se les denomina números de Carmichael.

Así presentamos la Edición 6.4: pseudoprimos del Carnaval de Matemáticas, que se celebrará entre el 20 y 27 de mayo, ambos incluidos. Entre el 28 y 30 de mayo se publicará el resumen del Carnaval.

El procedimiento para participar es sencillo: escribir una entrada, de tema libre, en un blog, que esté relacionada con las matemáticas (la entrada que no el blog). Deberéis hacer constar que la entrada participa en el Carnaval,  mencionando la edición y un enlace a esta entrada que os convoca; por ejemplo,

Esta entrada participa en la Edición 6.4: pseudoprimos del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

Para que pueda localizaros con facilidad y realizar el resumen correctamente, os pediré que me indiquéis vuestra participación de una de estas dos formas:

  • Mediante un comentario en esta misma entrada con un enlace a tu aportación.
  • Por Twitter incluyendo la etiqueta #CarnaMat64 y que haga mención a mi cuenta (@pimediosEs).

Como recuerdo os dejo las ediciones que se han celebrado hasta ahora:

I

II

III

IV

V

VI

¡Ale!, a trabajar y que los pseudoprimos os inspiren.

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abr 30

Tycho Brahe y la supernova

Porträtt av Tycho Brahe - Skoklosters slott - 90153.tif

«Porträtt av Tycho Brahe – Skoklosters slott – 90153» por Desconocido – Jens Mohr – LSH 90153 (sm_dig3678). Disponible bajo la licencia Dominio público vía Wikimedia Commons.

En 1572 el astrónomo Tycho Brahe realizó un descubrimiento impactante: avistó una stella nova en el firmamento. Este hallazgo acababa con inviolabilidad e inmutabilidad de la concepción aristotélica del universo.

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abr 25

El ajedrez y los matemáticos

ajedrezLa pasión por el ajedrez resulta bastante común en los matemáticos. El magno Euler resolvió “el problema del caballo” y el principie Carl F. Gauss se interesó por “el problema de las 8 damas“. Pero no es sólo el interés en problemas que también despertó en otros matemáticos como Georg Pólya, Lindelöf, Landau y Donald E. Knuth (creador del $\TeX$), la explosión por el juego fue muy fructífera en el siglo XIX y principios del XX. Wilhelm Steinitz fue distinguido estudiante de matemática y campeón mundial de ajedrez, y los campeones Emanuel Lasker, campeón del mundo durante 27 años, y Max Euwe se doctoraron en matemáticas.

Ayer, Leóntxo Garcia, en El País, nos recordó una de las partidas ilustres que perduran en el ajedrez: la siempreviva. La combinación que dio como resultado esta partida se le debe al matemático alemán Adolf Anderssen, considerado en mejor ajedrecista de la época.

Disfruten de ella porque es una auténtica belleza.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta quincuagésima tercera edición, también denominada 6.3: Teorema de Pitágoras, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

Referencia

 

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abr 23

El qubit y el algoritmo de Shor

Bloch sphere for 1-qubit systems Copied from English Wikipedia Category:Quantum Mechanics

La computación cuántica es un paradigma de computación que abre una vía diferente a la computación clásica. Si en computación básica utilizamos el bit para definir, sólo, dos estados posibles, en computación cuántica utlizamos el qubit.

 

 

Cuando en la década de los 80, del siglo pasado, empiezan asurgir la primeras teorías de computación cuántica, el nobel Richard Feynman expone que los fenómenos cuánticos habilitarían que algunos cálculos de gran dificultad se realizaran de manera más rápida en un ordenador cuántico. Estos fenómenos se derivaban en una complejidad cuántica (complejidad dada en las amplitudes de probabilidad que determinan el estado del sistema cuántico). Pero, ¿sería posible desarrollar esta complejidad cuántica en un proceso computacional? Feynman muestra que es probable que estados cuánticos complejos no sean viables de simular en la computación clásica existente, y propone cómo debería ser la nueva computación. Ahora nos falta un algoritmo que funcione en esa nueva concepción.

Este algoritmo vendrá de la mano del matemático Peter Shor. En 1995 publicaría Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer, donde expondría un algoritmo cuántico para descomponer en factores un número N en tiempo $O((log N)^3)$. La demostración se vería en 2001 desarrollada por IBM, donde utilizaron el algoritmo de Shor para descomponer 15 en sus factores usando una computadora cuántica con 7 qubits.

El algoritmo de Shor ha pasado a ser considerado un paradigma de los algoritmos cuánticos y, su fama, en cierta medida, se debe al trasfondo de su utilización. La descomposición en factores primos es la clave para atacar al RSA. El algoritmo de Shor pone de manifiesto que la venidera era de los computadores cuánticos dejará obsoletos los actuales sistemas criptográficos.

 Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta quincuagésima tercera edición, también denominada 6.3: Teorema de Pitágoras, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

Referencia

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abr 22

Curvas con historia: la cicloide

charlas El próximo jueves 23 de abril, a las 18:00 concluye el III ciclo de charlas divulgativas sobre historia de las matemáticas. Como las anteriores se celebrará en el Salón de actos del Museo de la Universidad de Murcia, Cuartel de Artillería, Murcia.

En esta ocasión Pepe Rosell, hará un recorrido por curvas que han resuelto problemas en
las matemáticas y que tienen nombre propio: cuadratriz, cisoide, espiral, campila; así hasta llegar a Galileo que propuso la cicloide, intentando explicar el revuelo que se formó con la curva y los problemas que solucionó la misma.

cicloide

José Jesús Rosell Escolar es Licenciado en Matemáticas y Máster en Matemática Avanzada por la Univerdidad de Murcia. En la actualidad ejercce como profesor de matemáticas en el IES Sabina Mora de Roldán. Es miembro de grupo PiCuadrado de Historia de las Matemáticas e investiga en historia de las matemáticas en el proceso de algebrización del siglo XVII.

¡Os esperamos!

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta quincuagésima tercera edición, también denominada 6.3: Teorema de Pitágoras, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

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mar 27

Criptografía simétrica

csimetricaDesignamos por criptografía simétrica a los métodos criptográficos en los cuales se usa una misma clave para cifrar y descifrar mensajes.

Un ejemplo sencillo lo podemos hacer utilizando la simetría de una matriz. Supongamos que tenemos una frase:

edición 6.2 del carnaval de matemáticas en el blog la aventura de la ciencia

Ahora dispongamos la frase en una matriz cuadrada de orden mayor que el número de caracteres a cifrar:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
e& d& i& c& i& o& n& & 6 \\ \hline
.& 2& & d& e& l& & c& a \\ \hline
r& n& a& v& a& l& & d &e \\ \hline
& m& a& t& e& m& a& t &i\\ \hline
c&a& s& & e& n& & e&l\\ \hline
&  b& l& o& g& & l&a&  \\ \hline
a&v& e& n& t& u&r&a &\\ \hline
d&e& & l& a& &c&i&e\\ \hline
n&c& i& a& & &&&\\ \hline
\end{array}$$

Ahora trasponemos la matriz:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
e &. &r &  &c &  &a &d &n\\ \hline
d &2 &n &m &a &b &v & e&c\\ \hline
i&&a&a&s&l&e&&i\\ \hline
c&d&v&t& &o&n&l&a\\ \hline
i&e&a&e&e&g&t&a&\\ \hline
o&l&l&m&n& &u&&\\ \hline
n&&&a&&l&r&c&\\ \hline
&c&d&t&e&a&a&i&\\ \hline
6&a&e&i&l& & &e&\\ \hline \end{array}$$
Lo que nos da la frase

e.r c adnd2nmabveci aasle icdvt onlaieaeegta ollmn u  n  a lrc  cdteaai 6aeil  e

Como vemos el proceso es muy simple y la clave Trasponer matriz 9×9 es la misma para el que cifrar y el que descifra. Pero se puede complicar más, ejemplos tenemos en DES o en AES.

Con esta entrada participamos en la Edición 6.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es La Aventura de la Ciencia,.

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mar 24

Las agujas que apuntan a $\pi$

Weisstein, Eric W. “Buffon’s Needle Problem.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html

Siguiendo la estela marcada en la Edición 6.2: Número $\pi$ del Carnaval de Matemáticas y, al anfitrión de la La Aventura de la Ciencia, no nos resistimos a incluir, en la participación en el carnaval, el recuerdo a una curiosa forma de encontrar a $\pi$: La aguja de Buffon, un curioso experimento que genera el valor de $pi$.

La aguja de Buffon ha dado muchas entradas en la web. Sin ir más lejos ayer Clara Grima la llevó a cienciaxplora.com

Tambien la podemos encontrar en gaussianos, donde nos explica como Buffon la planteó. O en estadísticaparatodos donde vemos el razonamiento detallado del problema. Y en ciencianet podemos encontrar  simuladores.

No dejemos de verlo en el experimento de fq-experimentos, que nos demuestra cómo enseñar estadística jugando.

Con esta entrada participamos en la Edición 6.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es La Aventura de la Ciencia,.

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mar 23

Recordando a Emmy Noether

emmy-noethers-133rdHoy google nos regala un nuevo doodle con la celebración de una científica, en este caso matemática, ilustre: Emmy Noether.

De Emmy ya nos contó David Cresto en la pasada Edición 5.2: Emmy Noether del carnaval. Hoy también se suman la Voz de Galicia, Emmy Noether: la primera dama de las matemáticas; abc.es,
Emmy Noether, la mujer a la que Einstein consideró una «genio de las matemáticas»; lavanguardia.com,Emmy Noether, nuevo ‘doodle’ de Google; o antena3.com,Google homenajea a Emmy Noether, la primera dama de las matemáticas, entre otros. Entre los muchos blog de divulgación una pequeña muestra de mujeresconciencia.com, Emmy Noether, matemática.

Para terminar añadimos otra frase de su amigo Pavel Sergeevich Aleksandrov:

Emmy Noether fue la más grande de las mujeres matemáticas, una gran científica, magnífica profesora y una inolvidable persona.

Con esta entrada participamos en la Edición 6.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es La Aventura de la Ciencia.

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