oct 23

La subnormal

La Subnormal En matemáticas la subnormal es la proyección de la normal sobre un eje. Hoy hablamos de ella en nuestra píldora.

Esta entrada participa en la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog El zombi de Schrödinger.

Esta entrada participa en la Edición LVII del Carnaval de la Física del Carnaval de la Física, cuyo anfitrión es el blog Divulgación.

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oct 22

Triángulo de diferencias absolutas

billarComo muchos de vosotros las matemáticas comenzaron a cautivarme con problemas matemáticos. Perdido en el tiempo mantengo un recuerdo muy claro de uno de ellos. Un profesor nos lo planteó y me enfrasqué en él hasta encontrar la solución. Ese problema me acompañó, recordándolo tanto él como la solución. Lo que no conseguí conocer era el origen del problema, incluso el nombre correcto. Al comienzo del curso accedí a la edición de la serie TEMAS, Julio/Septiembre 2014 – Nº 77, Martin Gardner: El universo matemágico de Martin Gardner, y, como no, apareció el problema. Con anterioridad pensé en Gardner, pero no conseguí encontrar este problema. Lo traigo como recuerdo de mi incipiente juventud.

En Junio de 1977, Investigación y Ciencia nº 9, publicó la sección habitual de Martin Gardner titulada Ocho rompecabezas y un juego. El primero lo denominó El triángulo de bolas de billar americano. Gardner contaba que al coronel George Sicherman, de la Universidad de Buffalo, se le había ocurrido un problema, hacía 10 años, observando una partida de billar: ¿es posible formar un triángulo de diferencias al situar las bolas en la disposición triangular habitual antes de comenzar una partida?

Si pensamos en las tres primeras bolas la respuesta es muy sencilla:

bolas3Es una disposición muy simple. Compliquémosla, ahora toca las seis primeras bolas. En este caso tampoco resulta tan difícil:

bolas6a

Como vemos la mesa de billar se va llenando de bolas. Pero esta disposición no es la única. A poco que miremos, eliminando las simétricas vemos tres más:

bolas6b

La intuición nos dice que no tenemos por qué pararnos con seis bolas. El siguiente número es el 10 (el cuarto número triangular, $T_4$). Aquí ya empezamos a calentar los motores del auténtico puzzle matemático. Una solución será

bolas10aY decimos una, porque de diez bolas podemos encontrar hasta cuatro. ¿Cuáles? Que el curioso lector las busque como aperitivo, pues la dificultad propia se encuentra en las 15 primeras bolas.

El reto que proponía Gardner consistía en encontrar la disposición con 15 bolas. Gardner y Sicherman conocían la solución y además sabían que esta era única. En el artículo Martin Gardner diría:

Que yo sepa no se ha hecho ninguna labor sobre lo que podríamos llamar el problema general de las bolas del billar americano. Con cualquier número triangular de bolas, consecutivamente a partir de 1, ¿será siempre posible formar un triángulo de diferencias? Y si no, ¿cuál sería el mayor triángulo para el que existe solución? Si lo hay, ¿cuál es?

Solo me resta decir, que intenté resolver el problema in silico, llegando a concluir que para $T_6$ y $T_7$ no había solución. En la revista nos cuentan que George Sicherman lo había probado antes hasta $T_8$, encontrando una demostración sencilla para probar que no existe solución para todos los órdenes $2^n-2$ con $n$ mayor que 2. Pero esa información la dejamos para que el lector la lea en la revista.

Esta entrada participa en la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog El zombi de Schrödinger.

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oct 16

In silico

pill_insilicoIn silico (hecho por computadora o vía simulación computacional) hoy en nuestra píldora semanal.

Este post participa en la XXXIII edición del Carnaval de Biología, que hospeda @CEAmbiental en su blog Consultoría y Educación Ambiental

Esta entrada participa en el XL Carnaval de Química alojado en el blog ‘Ciencia Explicada

 

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oct 06

El universo matemágico de Martin Gardner

Temas77La revista Temas IyC nos sorprende con un especial de Martin Gardner: El universo matemágico de Martin Gardner.

Dentro de la serie TEMAS, Julio/Septiembre 2014 – Nº 77, hacen un especial de este ilustre divulgador de los juegos matemáticos.

Aún no siendo matemático, se graduó en filosofía en el Tecnológico de California, era un gran aficionado a las matemáticas.  En 1956 comenzó a trabajar con Scientific American, “escribiendo en esa revista la sección «Juegos matemáticos» (también en ­Investigación y Ciencia desde sus inicios, en octubre de 1976). Su interés y formación multidisciplinares hicieron que los temas elegidos para su columna fueran apreciados tanto por matemáticos profesionales como por otros lectores. La clave de su secreto radicaba en la estupenda colaboración con matemáticos de primera línea; Gardner les consultaba hasta aclarar la cuestión, momento en que escribía lo que había sido capaz de comprender”(Fernando Blasco, Martin Gardner, el hombre que convirtió a miles de niños en matemáticos y a miles de matemáticos en niños).

En el contenido que nos proporciona Temas IyC podemos encontrar una colección de sus trabajos.

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oct 01

Las paradojas de las series divergentes

numberphileEs normal que las paradojas despierten curiosidad y, periódicamente, surgen hechos que nos las recuerdan o nos las dan a conocer por primera vez. Esto lo digo por el vídeo siguiente

¿Cómo puede una suma de números positivos dar un número negativo? Precisamente esta paradoja es la que presenta la suma de las series divergentes.

Desde hace mucho, pero que mucho, tiempo las sumas de infinitos números ha despertado la curiosidad de cuantos las abordaban. Los primeros intentos de darle un sentido los encontramos con Oresme; pero recordad que ya los griegos dudaban del concepto de infinito. ¡Ahí está el quid de todas las series!, el tratamiento del infinito.

Cauchy sentó las bases de hablar con propiedad de una suma infinita. Hoy las conocemos como las convergentes y divergentes. Cauchy comenzó los cimientos del concepto de límite y claramente podía entenderse que una serie convergente tenía sentido sumarse, porque convergía. ¿Y una serie divergente?; es decir, una serie divergente es la que no converge, sin embargo nada podemos decir sobre si es posible sumarla. Bueno, no es exactamente así (Hardy con Divergent Series -Oxford, Clarendon Press, 1949.- se empeñó darles un sentido), el problema reside en qué entendemos por sumar. La grandeza de las matemáticas es que casi todo está entroncado, y las sumas infinitas presentan las mismas paradojas que presentaban la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX.

La serie que aparece en el vídeo es una serie divergente y como ésta nos encontramos muchas (1-2+3-4+…,1-1+1-1+…1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·, o La leyenda del ajedrez), todas con un nexo común

Las series divergentes son una invención del diablo. Usándolas se puede llegar a cualquier conclusión y es así cómo estas series han dado lugar a tantas falacias y paradojas… Con la excepción de la serie geométrica no existe en toda la matemática una sola serie infinita cuya suma haya sido determinada rigurosamente. En otras palabras, las cosas más importantes en matemáticas son las que tienen un fundamento más débil… El que muchos resultados sean correctos a pesar de ello es extraordinariamente sorprendente. Yo estoy tratando de encontrar una razón para ello; es una cuestión profundamente interesante. Niels Henrik Abel (Peligrosas y complicadas series divergentes)

El historiador de las matemáticas Ivor Grattan-Guinness utilizaba el mismo comienzo que Abel

Las series divergentes son un invento del diablo, y es una vergüenza que se ose basar en ellas demostración alguna. Mediante su uso es posible extraer la conclusión que se desee y esa es la razón por la que estas series han sido el origen de tantas falacias y paradojas. Es que puede uno pensar en algo más descorazonador que decir que: $0 = 1 − 2^n + 3^n − 4^n +$ etc.: donde $n$ es un número positivo. Amigos, he aquí algo de lo que nos podemos reír. Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.

Resumiendo: parafraseando a gaussianos, “el fallo está en mezclar la aritmética finita (números) con la transfinita (infinitos)“. O, podemos considerar que, la suma de series divergentes, es otra cosa y en un futuro puede que veamos aplicaciones de ellas.

 

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sep 29

Matemáticas es una carrera con salidas

 Hoy podemos leer en expansión.com un interesante artículo: Adivina cuál será tu empleo del futuro.

Según datos de la Comisión Europea, para el año que viene habrá un déficit de 700.000 profesionales especializados en ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas. Son los denominados profesionales CTM (por sus siglas en inglés).

En uno de los apartados del artículo hace referencia a las matemáticas, con el título que hemos elegido para la entrada.

Un matemático puede, por ejemplo, convertirse en experto analista web o data scientist. En realidad, hace años que las empresas de business intelligence contratan a este tipo de perfiles para ayudar a definir el peso relativo de cada parámetro sobre las previsiones de negocio, por ejemplo.

 

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sep 28

Cauchy y la fórmula de Euler

Augustin Louis Cauchy.JPG

«Augustin Louis Cauchy». Disponible bajo la licencia Public domain vía Wikimedia Commons.

Por fórmula de Euler conocemos varios resultados, pero al que nos queremos referir al que involucra lo que se denominará por Característica de Euler o Característica de Euler-Poincaré, pues fue este último que la extendió a la topología incipiente que se estaba pergeñando a finales del XIX. Cuando la Característica de Euler la aplicamos a un poliedro obtenemos la famosa Fórmula de Euler para los poliedros:

En un poliedro convexo con $C$ caras, $A$ aristas y $V$ vértices se cumple que: $$C-A+V=2$$

Euler la encontró mientras trataba de clasificar los poliedros, y en 1758 nos dejó por escrito:

Mientras que en geometría plana los polígonos se podrían clasificar muy fácilmente según el número de sus lados que, por supuesto, siempre es igual al número de sus ángulos, en esterometría la clasificación de los poliedros representa un problema mucho más difícil, puesto que el solo número de caras es insuficiente para este fin.

Lo curiosos es que Euler dio con la fórmula, pero no logró dar una demostración de su validez general. Parece que Descartes, más de un siglo antes, había encontrado un resultado equivalente, sino el mismo, pues en un manuscrito de Leibniz se ve un resultado similar que dice haber copiado de otro manuscrito de Descartes, hoy desaparecido. Es muy posible que la prueba de Descartes sea la que nos enseña gaussianos en La fórmula de Euler, ¿la descubrió Descartes?.

Independientemente de esa prueba de Descartes, hasta 1811 nadie conocía una prueba general de la Fórmula de Euler para los poliedros, hasta que un joven aspirante a ingeniero puso su interés en ella. Augustin Louis Cauchy encontró la primera demostración publicada. Esta la podéis ver en Euler’s polyhedron formula.

Referencia:

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sep 20

Matemáticas ocultas en la pintura del Renacimiento

Pacioli.jpg

«Pacioli» por Atribuido a Jacopo de’Barbari (1460/1470–antes de 1516) – Lauwers, Luc & Willekens, Marleen: Five Hundred Years of Bookkeeping: A Portrait of Luca Pacioli (Tijdschrift voor Economie en Management), Katholieke Universiteit Leuven, 1994, vol. XXXIX issue 3 p. 289–304) [1]. Disponible bajo la licencia Public domain vía Wikimedia Commons.

La publicación de De Divina Proportione (1509) de Luca Pacioli supuso la expansión de una relación, casi mística, entre las matemáticas y el arte, que ha inspirado a los artistas a lo largo de los siguientes siglos. Pacioli no descubrió nada nuevo, la divina proporción, como la llamase Pacioli, era lo que los griegos llamaban simplemente sección y consistía en el punto de una recta, que divide a esta en dos segmentos, donde la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

Euclides la mencionó Los Elementos, Definición 3 del Libro Sexto, llamando a este procedimiento cortar una recta en extrema y media razón. Fidias la empleó en sus esculturas, así como en el Partenón. Ese conocimiento griego llevó a que siglos después el Renacimiento reclamase su presencia.

No debemos olvidarnos de la importancia cultural del Renacimiento. El ambiente reinante bebía con avidez los nuevos conocimientos y reclamaba más conforme ingería. Las matemáticas vivieron un resurgir y las Bellas Artes aprendieron lo importante que resultaba la geometría de Euclides en las nuevas concepciones arquitectónicas y pictóricas: la perspectiva estaba dando sus primeros pasos.

Fue precisamente esa idea de perspectiva, que rondaba la mente de los artistas, lo que movió en estudio de las proporciones. Luca Pacioli había escrito un libro, acabado hacia 1487, que hoy conocemos con el nombre de Summa, cuyo título terminaba hablando de las proporciones. Aunque Summa pasa a la historia como el primer gran libro que divulga el álgebra, relacionará a su escritor con uno de los pintores más famosos del momento: Leonardo da Vinci.

Ambos se conocen como miembros de la corte del duque Ludovico Sforza, y serán muy buenos amigos. Es posible que Leonardo iniciara a Pacioli en la importancia que las proporciones estaban tomando en los pintores de la época. Así Alberti, Bellini, Mantenga, Botticelli o Miguel Ángel trataban de sacar conclusiones prácticas de las matemáticas para aplicar a la perspectiva.

botticelli-naci

El nacimiento de Venus (La Nascita di Venere) Sandro Botticelli, 1484. Se considera que debió pintarse entre 1482 y 1484, antes de los trabajos de Pacioli, muestra que las ideas de la proporción ideal estaban introduciéndose.

En Summa, Pacioli no va más allá de lo que Euclides escribe; sin embargo, su interés por las proporciones no decae y, entre 1496 y 1498, escribirá De divina Proportione. Leonardo será su gran aliado y se encargará de los dibujos que ilustran la obra, lo que demuestra que ambos colaboran en el interés por estudiar las proporciones y encontrar la divina proporción. Será Leonardo quien la apellidará como “áurea“. A Pacioli y Leonardo le debemos que a nosotros nos haya llegado la “división en media y extrema razón” de los griegos como “sección áurea”, “número áureo”, “proporción áurea”,

La Gioconda, Leonardo da Vinci, 1503-1519. En su rostro se observa un conjunto de rectángulos áureos superpuestos.

La Gioconda, Leonardo da Vinci, 1503-1519. En su rostro se observa un conjunto de rectángulos áureos superpuestos.

Este mes podéis leer más en Historia NG #129, dónde escriben de La Proporción Áurea, como invitación a leer el libro con el mismo título de la colección El mundo es matemático.

Sagrada Familia (Tondo Doni) Miguel Ángel, Hacia 1503. Muestra el llamado pentalfa o pentáculo que utlizaban los pintores renacentistas. Al tratarse de un pentánogo, la relación entre sus segmentos abodece al número áureo, como conocían los pitagóricos.

Sagrada Familia (Tondo Doni) Miguel Ángel, Hacia 1503. Muestra el llamado pentalfa o pentáculo que utilizaban los pintores renacentistas. Al tratarse de un pentágono, la relación entre sus segmentos obedece al número áureo, como conocían los pitagóricos.

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

Otras referencias:

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